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10.如图所示的是小明家和学校所在地的简单地图，已知$OA=2\ \mathrm{km}$，$OB=3.5\ \mathrm{km}$，$OP=4\ \mathrm{km}$，点$C$为$OP$的中点，回答下列问题：
(1)图中与小明家距离相同的地方是哪两个？
(2)请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置。
(1)图中与小明家距离相同的地方是哪两个？
(2)请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置。
答案
10.解:(1)
∵点C为OP的中点,
∴OC=$\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×4=2$ (km).
∵OA=2 km,
∴图中与小明家距离相同的是学校和公园.
(2)学校在小明家北偏东$45°$的方向上,且到小明家的距离为2 km.
商场在小明家北偏西$30°$的方向上,且到小明家的距离为3.5 km.
停车场在小明家南偏东$60°$的方向上,且到小明家的距离为4 km.
∵点C为OP的中点,
∴OC=$\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×4=2$ (km).
∵OA=2 km,
∴图中与小明家距离相同的是学校和公园.
(2)学校在小明家北偏东$45°$的方向上,且到小明家的距离为2 km.
商场在小明家北偏西$30°$的方向上,且到小明家的距离为3.5 km.
停车场在小明家南偏东$60°$的方向上,且到小明家的距离为4 km.
解析
【分析】
第(1)问解题思路：小明家在O点，要找和小明家距离相同的地点，只需计算各点到O点的长度再比较即可。已知OP长度，结合C是OP中点的条件，先算出OC的长度，再和已知的OA、OB长度对比就能得到结果。
第(2)问解题思路：用方向和距离描述位置需要两个要素，首先依据“上北下南、左西右东”的规则，结合图中标注的角度换算出各地点相对于正方向的偏移角度，再对应给出到O点的距离即可。
【解析】
(1) 因为点C为OP的中点，根据线段中点的性质：
$\mathrm{OC}=\frac{1}{2}\mathrm{OP}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{km}$
已知$\mathrm{OA}=2\ \mathrm{km}$，因此$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$，即学校和公园到小明家的距离相等。
(2) 结合图中角度和方向规则计算：
学校和正东方向夹角为$45°$向北偏移，对应北偏东$45°$，距离为2km；
商场和正西方向夹角为$60°$向北偏移，$90°-60°=30°$，对应北偏西$30°$，距离为3.5km；
停车场和正东方向夹角为$30°$向南偏移，$90°-30°=60°$，对应南偏东$60°$，距离为4km。
【答案】
(1) 与小明家距离相同的地方是学校和公园。
(2) 学校在小明家北偏东$45°$的方向上，且到小明家的距离为2 km；
商场在小明家北偏西$30°$的方向上，且到小明家的距离为3.5 km；
停车场在小明家南偏东$60°$的方向上，且到小明家的距离为4 km。
【知识点】
线段中点定义，方向角表示，位置描述
【点评】
本题结合实际生活场景考察基础几何知识，解题的关键是掌握方向角的表述规范，以及描述位置时要同时具备方向、距离两个要素，避免角度和偏移方向对应错误。
【难度系数】
0.8
第(1)问解题思路：小明家在O点，要找和小明家距离相同的地点，只需计算各点到O点的长度再比较即可。已知OP长度，结合C是OP中点的条件，先算出OC的长度，再和已知的OA、OB长度对比就能得到结果。
第(2)问解题思路：用方向和距离描述位置需要两个要素，首先依据“上北下南、左西右东”的规则，结合图中标注的角度换算出各地点相对于正方向的偏移角度，再对应给出到O点的距离即可。
【解析】
(1) 因为点C为OP的中点，根据线段中点的性质：
$\mathrm{OC}=\frac{1}{2}\mathrm{OP}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{km}$
已知$\mathrm{OA}=2\ \mathrm{km}$，因此$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}$，即学校和公园到小明家的距离相等。
(2) 结合图中角度和方向规则计算：
学校和正东方向夹角为$45°$向北偏移，对应北偏东$45°$，距离为2km；
商场和正西方向夹角为$60°$向北偏移，$90°-60°=30°$，对应北偏西$30°$，距离为3.5km；
停车场和正东方向夹角为$30°$向南偏移，$90°-30°=60°$，对应南偏东$60°$，距离为4km。
【答案】
(1) 与小明家距离相同的地方是学校和公园。
(2) 学校在小明家北偏东$45°$的方向上，且到小明家的距离为2 km；
商场在小明家北偏西$30°$的方向上，且到小明家的距离为3.5 km；
停车场在小明家南偏东$60°$的方向上，且到小明家的距离为4 km。
【知识点】
线段中点定义，方向角表示，位置描述
【点评】
本题结合实际生活场景考察基础几何知识，解题的关键是掌握方向角的表述规范，以及描述位置时要同时具备方向、距离两个要素，避免角度和偏移方向对应错误。
【难度系数】
0.8
11.已知点P的坐标是$(a-b,b)$，若$a+b＜0,ab＜0,a＜b$，则点P在 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
11.B
解析
【分析】
要判断点P所在的象限，需先确定点P横坐标$a-b$和纵坐标$b$的正负性。首先根据$ab＜0$可判断a、b异号，再结合$a＜b$能确定a为负数、b为正数；接着利用$a+b＜0$推出负数a的绝对值大于正数b的绝对值，进而判断横坐标$a-b$的正负，最后结合各象限坐标的符号特征即可得出结论。
【解析】
1. 由$ab＜0$可知，a和b异号；
2. 又因为$a＜b$，异号两数中较小的数为负，所以$a＜0$，$b＞0$，即点P的纵坐标为正；
3. 已知$a+b＜0$，说明负数a的绝对值大于正数b的绝对值（$|a|＞|b|$）；
4. 横坐标$a-b = a + (-b)$，a是负数，$-b$也是负数，两个负数相加结果为负，即$a-b＜0$；
5. 点P的坐标符号为（负，正），符合第二象限内点的坐标特征，因此点P在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
有理数符号判断，不等式性质，象限坐标特征
【点评】
本题是基础概念综合题，解题核心是先通过已知不等式推导a、b的正负与绝对值大小关系，再判断点的横纵坐标符号，熟练掌握有理数运算符号规则和象限坐标特点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要判断点P所在的象限，需先确定点P横坐标$a-b$和纵坐标$b$的正负性。首先根据$ab＜0$可判断a、b异号，再结合$a＜b$能确定a为负数、b为正数；接着利用$a+b＜0$推出负数a的绝对值大于正数b的绝对值，进而判断横坐标$a-b$的正负，最后结合各象限坐标的符号特征即可得出结论。
【解析】
1. 由$ab＜0$可知，a和b异号；
2. 又因为$a＜b$，异号两数中较小的数为负，所以$a＜0$，$b＞0$，即点P的纵坐标为正；
3. 已知$a+b＜0$，说明负数a的绝对值大于正数b的绝对值（$|a|＞|b|$）；
4. 横坐标$a-b = a + (-b)$，a是负数，$-b$也是负数，两个负数相加结果为负，即$a-b＜0$；
5. 点P的坐标符号为（负，正），符合第二象限内点的坐标特征，因此点P在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
有理数符号判断，不等式性质，象限坐标特征
【点评】
本题是基础概念综合题，解题核心是先通过已知不等式推导a、b的正负与绝对值大小关系，再判断点的横纵坐标符号，熟练掌握有理数运算符号规则和象限坐标特点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
12.若点$A(x,y)$的坐标满足等式$x + y - xy = 0$，则称点A为“和谐点”.若某个“和谐点”到x轴的距离为4，则该点的坐标为（
A.$( \dfrac{4}{3},4 )$或$(2,2)$
B.$( \dfrac{4}{5},-4 )$或$( \dfrac{4}{3},4 )$
C.$( \dfrac{4}{5},-2 )$或$(-2,-2)$
D.$( \dfrac{4}{5},4 )$或$( -\dfrac{4}{3},-4 )$
$y\uparrow$
B
）A.$( \dfrac{4}{3},4 )$或$(2,2)$
B.$( \dfrac{4}{5},-4 )$或$( \dfrac{4}{3},4 )$
C.$( \dfrac{4}{5},-2 )$或$(-2,-2)$
D.$( \dfrac{4}{5},4 )$或$( -\dfrac{4}{3},-4 )$
$y\uparrow$
答案
12.B
解析
【分析】
解题首先要明确两个核心条件：一是“和谐点”满足等式$x + y - xy = 0$，二是点到x轴的距离为4。根据坐标的性质，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此先得到$y$的两种可能取值，再分别代入和谐点的等式求解对应的$x$值，即可得到点的坐标，最后匹配选项即可。
【解析】
∵ 点到x轴的距离为4，
∴ 点的纵坐标的绝对值为4，即$|y|=4$，解得$y=4$或$y=-4$。
∵ 该点是“和谐点”，满足等式$x + y - xy = 0$，分两种情况计算：
① 当$y=4$时，代入等式得：$x + 4 - 4x = 0$，
整理得：$-3x + 4 = 0$，解得$x = \dfrac{4}{3}$，此时点的坐标为$(\dfrac{4}{3}, 4)$；
② 当$y=-4$时，代入等式得：$x + (-4) - x×(-4) = 0$，
整理得：$5x - 4 = 0$，解得$x = \dfrac{4}{5}$，此时点的坐标为$(\dfrac{4}{5}, -4)$。
综上，该点的坐标为$(\dfrac{4}{5},-4)$或$(\dfrac{4}{3},4)$。
【答案】
B
【知识点】
点到坐标轴的距离，一元一次方程的解法，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系中点的坐标性质，解题关键是先根据点到x轴的距离确定纵坐标的所有可能取值，再分别代入等式求解横坐标，注意不要遗漏纵坐标为负的情况。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确两个核心条件：一是“和谐点”满足等式$x + y - xy = 0$，二是点到x轴的距离为4。根据坐标的性质，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此先得到$y$的两种可能取值，再分别代入和谐点的等式求解对应的$x$值，即可得到点的坐标，最后匹配选项即可。
【解析】
∵ 点到x轴的距离为4，
∴ 点的纵坐标的绝对值为4，即$|y|=4$，解得$y=4$或$y=-4$。
∵ 该点是“和谐点”，满足等式$x + y - xy = 0$，分两种情况计算：
① 当$y=4$时，代入等式得：$x + 4 - 4x = 0$，
整理得：$-3x + 4 = 0$，解得$x = \dfrac{4}{3}$，此时点的坐标为$(\dfrac{4}{3}, 4)$；
② 当$y=-4$时，代入等式得：$x + (-4) - x×(-4) = 0$，
整理得：$5x - 4 = 0$，解得$x = \dfrac{4}{5}$，此时点的坐标为$(\dfrac{4}{5}, -4)$。
综上，该点的坐标为$(\dfrac{4}{5},-4)$或$(\dfrac{4}{3},4)$。
【答案】
B
【知识点】
点到坐标轴的距离，一元一次方程的解法，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查平面直角坐标系中点的坐标性质，解题关键是先根据点到x轴的距离确定纵坐标的所有可能取值，再分别代入等式求解横坐标，注意不要遗漏纵坐标为负的情况。
【难度系数】
0.7
13.如图，在平面直角坐标系中，点A(-2,0)，点B在x轴的正半轴上，连接AC，BC，BC=10.若AB=BC，则点B的坐标是
(8,0)
。答案
13.(8,0)
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：首先根据点A的坐标得出OA的长度；再由题目给出的AB=BC、BC=10，通过等量代换得到AB的长度；最后结合A、B都在x轴上，A在负半轴、B在正半轴的位置特征，可知AB的长度等于OA与OB的长度和，据此算出OB的长度，就能得到B点坐标。
【解析】
解：已知点A的坐标为(-2,0)，因此OA的长度为2。
∵ BC=10，且AB=BC，
∴ AB=10。
又
∵点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，
∴ AB = OA + OB，
将AB=10、OA=2代入得：10 = 2 + OB，
解得OB=8。
∵点B在x轴正半轴，纵坐标为0，
∴点B的坐标为(8,0)。
【答案】
(8,0)
【知识点】
平面直角坐标系、线段长度计算、等量代换
【点评】
本题属于基础题，主要考查平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特征，结合线段的等量关系即可求解，解题的关键是理清x轴上两点距离与对应线段长度的关系。
【难度系数】
0.8
解题时从已知条件逐步推导：首先根据点A的坐标得出OA的长度；再由题目给出的AB=BC、BC=10，通过等量代换得到AB的长度；最后结合A、B都在x轴上，A在负半轴、B在正半轴的位置特征，可知AB的长度等于OA与OB的长度和，据此算出OB的长度，就能得到B点坐标。
【解析】
解：已知点A的坐标为(-2,0)，因此OA的长度为2。
∵ BC=10，且AB=BC，
∴ AB=10。
又
∵点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，
∴ AB = OA + OB，
将AB=10、OA=2代入得：10 = 2 + OB，
解得OB=8。
∵点B在x轴正半轴，纵坐标为0，
∴点B的坐标为(8,0)。
【答案】
(8,0)
【知识点】
平面直角坐标系、线段长度计算、等量代换
【点评】
本题属于基础题，主要考查平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特征，结合线段的等量关系即可求解，解题的关键是理清x轴上两点距离与对应线段长度的关系。
【难度系数】
0.8
14.对于平面直角坐标系中的任意一点$P(x,y)$,给出如下定义:记$a=-x,b=x-y$,那么我们把点$M(a,b)$与点$N(b,a)$称为点$P$的一对“完美点”.例如,点$P(-1,2)$的一对“完美点”是点$(1,-3)$与点$(-3,1)$.
(1)若点$A(6,y)$的一对“完美点”重合,则$y$的值为
(2)若点$B$的一个“完美点”的坐标为$(-2,9)$,则点$B$的坐标为
(1)若点$A(6,y)$的一对“完美点”重合,则$y$的值为
12
;(2)若点$B$的一个“完美点”的坐标为$(-2,9)$,则点$B$的坐标为
(2,-7)或(-9,-7)
.答案
14.(1)12 (2)(2,-7)或(-9,-7)
解析
【分析】
这是一道新定义类题型，解题核心是准确理解“完美点”的定义。(1)问中两个完美点重合，说明两点的横、纵坐标分别对应相等，我们可以先根据点A的横坐标写出a、b的表达式，再利用坐标相等列方程求解y；(2)问中已知一个完美点的坐标，需分两种情况讨论：该坐标是M(a,b)、该坐标是N(b,a)，分别对应求出a、b的值，再反推点B的x、y坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知点A的坐标为$(6,y)$，根据“完美点”定义：
$a=-x=-6$，$b=x-y=6-y$
则点A的一对“完美点”为$(-6,6-y)$和$(6-y,-6)$
∵ 两个完美点重合，
∴ 两点横、纵坐标分别相等，即$-6=6-y$
解得：$y=12$
(2) 已知点B的一个“完美点”坐标为$(-2,9)$，分两种情况讨论：
情况1：该完美点为$M(a,b)$，即$a=-2$，$b=9$
由$a=-x=-2$，得$x=2$
由$b=x-y=9$，代入$x=2$得：$2-y=9$，解得$y=-7$
此时点B坐标为$(2,-7)$
情况2：该完美点为$N(b,a)$，即$b=-2$，$a=9$
由$a=-x=9$，得$x=-9$
由$b=x-y=-2$，代入$x=-9$得：$-9-y=-2$，解得$y=-7$
此时点B坐标为$(-9,-7)$
综上，点B的坐标为$(2,-7)$或$(-9,-7)$
【答案】
(1)$12$；(2)$(2,-7)$或$(-9,-7)$
【知识点】
新定义理解，点的坐标，一元一次方程求解
【点评】
本题解题的关键是读懂新定义的规则，第二问需要注意完美点有两种可能的对应情况，需分类讨论避免漏解，整体侧重对信息提取能力和分类讨论思想的考查。
【难度系数】
0.6
这是一道新定义类题型，解题核心是准确理解“完美点”的定义。(1)问中两个完美点重合，说明两点的横、纵坐标分别对应相等，我们可以先根据点A的横坐标写出a、b的表达式，再利用坐标相等列方程求解y；(2)问中已知一个完美点的坐标，需分两种情况讨论：该坐标是M(a,b)、该坐标是N(b,a)，分别对应求出a、b的值，再反推点B的x、y坐标即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知点A的坐标为$(6,y)$，根据“完美点”定义：
$a=-x=-6$，$b=x-y=6-y$
则点A的一对“完美点”为$(-6,6-y)$和$(6-y,-6)$
∵ 两个完美点重合，
∴ 两点横、纵坐标分别相等，即$-6=6-y$
解得：$y=12$
(2) 已知点B的一个“完美点”坐标为$(-2,9)$，分两种情况讨论：
情况1：该完美点为$M(a,b)$，即$a=-2$，$b=9$
由$a=-x=-2$，得$x=2$
由$b=x-y=9$，代入$x=2$得：$2-y=9$，解得$y=-7$
此时点B坐标为$(2,-7)$
情况2：该完美点为$N(b,a)$，即$b=-2$，$a=9$
由$a=-x=9$，得$x=-9$
由$b=x-y=-2$，代入$x=-9$得：$-9-y=-2$，解得$y=-7$
此时点B坐标为$(-9,-7)$
综上，点B的坐标为$(2,-7)$或$(-9,-7)$
【答案】
(1)$12$；(2)$(2,-7)$或$(-9,-7)$
【知识点】
新定义理解，点的坐标，一元一次方程求解
【点评】
本题解题的关键是读懂新定义的规则，第二问需要注意完美点有两种可能的对应情况，需分类讨论避免漏解，整体侧重对信息提取能力和分类讨论思想的考查。
【难度系数】
0.6
