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1. 新情境 歼-20战斗机的功的计算 （2025·无锡滨湖区期中）如图所示，为2025年“九三阅兵”中飞行的我国自行研制的歼-20战斗机. 若该战斗机以2倍声速（取声速为340 m/s）匀速直线飞行10 min，发动机的功率为$1.02×10^{8}\ \mathrm{W}$. 问：
(1)发动机10 min内所做的功是多少？
(2)战斗机在飞行过程中所受的阻力是多少？
(1)发动机10 min内所做的功是多少？
(2)战斗机在飞行过程中所受的阻力是多少？
答案
(1)$6.12×10^{10}\ \mathrm{J}$ (2)$1.5×10^{5}\ \mathrm{N}$
[解析](1)根据$P=\dfrac{W}{t}$得发动机10 min内所做的功为$W=Pt=1.02×10^{8}\ \mathrm{W}×10×60\ \mathrm{s}=6.12×10^{10}\ \mathrm{J}$.(2)根据$P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{Fs}{t}=Fv$得,牵引力为$F=\dfrac{P}{v}=\dfrac{1.02×10^{8}\ \mathrm{W}}{2×340\ \mathrm{m/s}}=1.5×10^{5}\ \mathrm{N}$,战斗机以2倍声速匀速飞行,处于平衡状态,受到的空气阻力等于发动机的推力,即$F_{\mathrm{阻}}=F=1.5×10^{5}\ \mathrm{N}$.
思路引导 (1)根据$W=Pt$算出发动机10 min内所做的功.(2)根据$P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{Fs}{t}=Fv$算出牵引力,战斗机以2倍声速匀速飞行,处于平衡状态,受到的空气阻力等于发动机的推力,根据二力平衡条件得到阻力.
[解析](1)根据$P=\dfrac{W}{t}$得发动机10 min内所做的功为$W=Pt=1.02×10^{8}\ \mathrm{W}×10×60\ \mathrm{s}=6.12×10^{10}\ \mathrm{J}$.(2)根据$P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{Fs}{t}=Fv$得,牵引力为$F=\dfrac{P}{v}=\dfrac{1.02×10^{8}\ \mathrm{W}}{2×340\ \mathrm{m/s}}=1.5×10^{5}\ \mathrm{N}$,战斗机以2倍声速匀速飞行,处于平衡状态,受到的空气阻力等于发动机的推力,即$F_{\mathrm{阻}}=F=1.5×10^{5}\ \mathrm{N}$.
思路引导 (1)根据$W=Pt$算出发动机10 min内所做的功.(2)根据$P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{Fs}{t}=Fv$算出牵引力,战斗机以2倍声速匀速飞行,处于平衡状态,受到的空气阻力等于发动机的推力,根据二力平衡条件得到阻力.
2. 跨学科 做仰卧起坐动作的功与功率计算 如图所示,质量为 50 kg 的小华同学在做仰卧起坐运动. 若她上半身的质量约为全身质量的 40%,她在1 min 内做了 40 个仰卧起坐,每次上半身仰卧起坐重心上升的高度均为 0.3 m（g 取10 N/kg),求:
(1)小华受到的重力;
(2)完成一个仰卧起坐动作,小华做的功;
(3)小华在1 min 内克服重力做功的功率.
(1)小华受到的重力;
(2)完成一个仰卧起坐动作,小华做的功;
(3)小华在1 min 内克服重力做功的功率.
答案
(1)$500\ \mathrm{N}$ (2)$60\ \mathrm{J}$ (3)$40\ \mathrm{W}$
[解析](1)小华受到的重力$G=mg=50\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=500\ \mathrm{N}$.(2)完成一个仰卧起坐动作时,小华上半身的重力为$G_1=40\%G=40\%×500\ \mathrm{N}=200\ \mathrm{N}$,每次上半身重心上升的高度为$h=0.3\ \mathrm{m}$,故小华做的功为$W_1=G_1h=200\ \mathrm{N}×0.3\ \mathrm{m}=60\ \mathrm{J}$.(3)1 min内做了40个仰卧起坐,总功$W=40·W_1=40×60\ \mathrm{J}=2\ 400\ \mathrm{J}$,用时$t=60\ \mathrm{s}$,则小华在1 min内克服重力做功的功率$P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{2\ 400\ \mathrm{J}}{60\ \mathrm{s}}=40\ \mathrm{W}$.
[解析](1)小华受到的重力$G=mg=50\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=500\ \mathrm{N}$.(2)完成一个仰卧起坐动作时,小华上半身的重力为$G_1=40\%G=40\%×500\ \mathrm{N}=200\ \mathrm{N}$,每次上半身重心上升的高度为$h=0.3\ \mathrm{m}$,故小华做的功为$W_1=G_1h=200\ \mathrm{N}×0.3\ \mathrm{m}=60\ \mathrm{J}$.(3)1 min内做了40个仰卧起坐,总功$W=40·W_1=40×60\ \mathrm{J}=2\ 400\ \mathrm{J}$,用时$t=60\ \mathrm{s}$,则小华在1 min内克服重力做功的功率$P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{2\ 400\ \mathrm{J}}{60\ \mathrm{s}}=40\ \mathrm{W}$.
3. 如图甲所示,质量为 40 kg 的小荣同学站在高台上竖直向上匀速拉动绳子,脚与地面的总接触面积为$0.04\ \mathrm{m}^{2}$,现改变$G_{\mathrm{物}}$,计算并绘出机械效率$\eta$与$G_{\mathrm{物}}$的关系图像如图乙所示,不计绳重和摩擦.($g$取$10\ \mathrm{N/kg}$)
(1)当$G_{\mathrm{物}}=120\ \mathrm{N}$时,求此时绳子自由端的拉力.
(2)当$\eta=70\%$时,求此时被提升的物体重力是多少.
(3)若人站的位置能承受的最大压强为$12\ 500\ \mathrm{Pa}$,求该滑轮组所能提升物体的最大机械效率.
(1)当$G_{\mathrm{物}}=120\ \mathrm{N}$时,求此时绳子自由端的拉力.
(2)当$\eta=70\%$时,求此时被提升的物体重力是多少.
(3)若人站的位置能承受的最大压强为$12\ 500\ \mathrm{Pa}$,求该滑轮组所能提升物体的最大机械效率.
答案
(1)$50\ \mathrm{N}$ (2)$70\ \mathrm{N}$ (3)$90\%$
[解析](1)由图甲可知,绳子段数$n=3$,由图乙可知,当$G_{\mathrm{物}}=120\ \mathrm{N}$时,机械效率为$80\%$,不计绳重及摩擦,可得$\eta'=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\dfrac{Gh}{Fs}×100\%=\dfrac{120\ \mathrm{N}×h}{F×3h}×100\%=80\%$,解得$F=50\ \mathrm{N}$.(2)不计绳重和摩擦,根据$F=\dfrac{1}{n}(G+G_{\mathrm{动}})$可知,动滑轮重力为$G_{\mathrm{动}}=nF-G=3×50\ \mathrm{N}-120\ \mathrm{N}=30\ \mathrm{N}$.当$\eta=70\%$时,可得$\eta=\dfrac{W'_{\mathrm{有用}}}{W'_{\mathrm{总}}}×100\%=\dfrac{W'_{\mathrm{有用}}}{W'_{\mathrm{有用}}+W_{\mathrm{额外}}}×100\%=\dfrac{G'h}{G'h+G_{\mathrm{动}}h}×100\%=\dfrac{G'}{G'+G_{\mathrm{动}}}×100\%=\dfrac{G'}{G'+30\ \mathrm{N}}×100\%=70\%$,解得$G'=70\ \mathrm{N}$.(3)若人站的位置能承受的最大压强为$12\ 500\ \mathrm{Pa}$,人对地面的最大压力为$F_{\mathrm{压}}=pS=12\ 500\ \mathrm{Pa}×0.04\ \mathrm{m}^2=500\ \mathrm{N}$,小荣的重力$G_{\mathrm{人}}=m_{\mathrm{人}}g=40\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=400\ \mathrm{N}$,绳子的最大拉力$F'=F_{\mathrm{压}}-G=500\ \mathrm{N}-400\ \mathrm{N}=100\ \mathrm{N}$,不计绳重和摩擦,此时最大物重$G''=nF'-G_{\mathrm{动}}=3×100\ \mathrm{N}-30\ \mathrm{N}=270\ \mathrm{N}$,最大机械效率为$\eta''=\dfrac{W''_{\mathrm{有用}}}{W''_{\mathrm{总}}}×100\%=\dfrac{G''h}{F's}×100\%=\dfrac{G''h}{F'nh}×100\%=\dfrac{G''}{nF'}×100\%=\dfrac{270\ \mathrm{N}}{3×100\ \mathrm{N}}×100\%=90\%$.
4. 工人师傅利用如图甲所示的滑轮组搬运石材.
质量为$1.8× 10^{3}\ {kg}$的石材放在水平地面上，
在拉力$F$的作用下沿水平方向做匀速直线运
动，其路程随时间变化的图像如图乙所示.石
材在水平方向上受到的阻力为石材重的0.1，
滑轮组的机械效率为$75\%$，滑轮组和绳子的
自重不计($g$取$10\ {N/kg}$).求：
(1)石材受到的阻力；
(2)在石材移动$20\ {s}$过程中，工人做的有用功；
(3)在石材移动$20\ {s}$过程中，工人作用在绳子
自由端的拉力$F$.
质量为$1.8× 10^{3}\ {kg}$的石材放在水平地面上，
在拉力$F$的作用下沿水平方向做匀速直线运
动，其路程随时间变化的图像如图乙所示.石
材在水平方向上受到的阻力为石材重的0.1，
滑轮组的机械效率为$75\%$，滑轮组和绳子的
自重不计($g$取$10\ {N/kg}$).求：
(1)石材受到的阻力；
(2)在石材移动$20\ {s}$过程中，工人做的有用功；
(3)在石材移动$20\ {s}$过程中，工人作用在绳子
自由端的拉力$F$.
答案
(1)$1.8×10^3\ \mathrm{N}$ (2)$3.6×10^3\ \mathrm{J}$ (3)$800\ \mathrm{N}$
[解析](1)石材的重力$G=mg=1.8×10^3\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=1.8×10^4\ \mathrm{N}$,由石材在水平方向上受到的阻力为石材重的0.1可知,石材受到的阻力$f=0.1G=0.1×1.8×10^4\ \mathrm{N}=1.8×10^3\ \mathrm{N}$.(2)由图乙可知,石材移动1 m所需的时间为10 s,则石材移动的速度$v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{1\ \mathrm{m}}{10\ \mathrm{s}}=0.1\ \mathrm{m/s}$,20 s石材移动的距离$s_{\mathrm{物}}=vt'=0.1\ \mathrm{m/s}×20\ \mathrm{s}=2\ \mathrm{m}$,工人做的有用功$W_{\mathrm{有用}}=fs_{\mathrm{物}}=1.8×10^3\ \mathrm{N}×2\ \mathrm{m}=3.6×10^3\ \mathrm{J}$.(3)由图甲可知绳子段数$n=3$,则$\eta=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\dfrac{fs_{\mathrm{物}}}{Fs}×100\%=\dfrac{fs_{\mathrm{物}}}{Fns_{\mathrm{物}}}×100\%=\dfrac{f}{nF}×100\%$,绳子自由端的拉力$F=\dfrac{f}{n\eta}=\dfrac{1.8×10^3\ \mathrm{N}}{3×75\%}=800\ \mathrm{N}$.
思路引导 (1)根据$G=mg$求出石材的重力,根据石材在水平方向上受到的阻力为石材重的0.1求出石材受到的阻力.(2)根据图乙利用速度公式求出石材移动的速度,进而求出20 s石材移动的距离,根据$W_{\mathrm{有用}}=fs_{\mathrm{物}}$求工人做的有用功.(3)由图可知$n=3$,利用$\eta=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\dfrac{fs_{\mathrm{物}}}{Fs}×100\%=\dfrac{fs_{\mathrm{物}}}{Fns_{\mathrm{物}}}×100\%=\dfrac{f}{nF}×100\%$求绳子自由端的拉力.
[解析](1)石材的重力$G=mg=1.8×10^3\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=1.8×10^4\ \mathrm{N}$,由石材在水平方向上受到的阻力为石材重的0.1可知,石材受到的阻力$f=0.1G=0.1×1.8×10^4\ \mathrm{N}=1.8×10^3\ \mathrm{N}$.(2)由图乙可知,石材移动1 m所需的时间为10 s,则石材移动的速度$v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{1\ \mathrm{m}}{10\ \mathrm{s}}=0.1\ \mathrm{m/s}$,20 s石材移动的距离$s_{\mathrm{物}}=vt'=0.1\ \mathrm{m/s}×20\ \mathrm{s}=2\ \mathrm{m}$,工人做的有用功$W_{\mathrm{有用}}=fs_{\mathrm{物}}=1.8×10^3\ \mathrm{N}×2\ \mathrm{m}=3.6×10^3\ \mathrm{J}$.(3)由图甲可知绳子段数$n=3$,则$\eta=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\dfrac{fs_{\mathrm{物}}}{Fs}×100\%=\dfrac{fs_{\mathrm{物}}}{Fns_{\mathrm{物}}}×100\%=\dfrac{f}{nF}×100\%$,绳子自由端的拉力$F=\dfrac{f}{n\eta}=\dfrac{1.8×10^3\ \mathrm{N}}{3×75\%}=800\ \mathrm{N}$.
思路引导 (1)根据$G=mg$求出石材的重力,根据石材在水平方向上受到的阻力为石材重的0.1求出石材受到的阻力.(2)根据图乙利用速度公式求出石材移动的速度,进而求出20 s石材移动的距离,根据$W_{\mathrm{有用}}=fs_{\mathrm{物}}$求工人做的有用功.(3)由图可知$n=3$,利用$\eta=\dfrac{W_{\mathrm{有用}}}{W_{\mathrm{总}}}×100\%=\dfrac{fs_{\mathrm{物}}}{Fs}×100\%=\dfrac{fs_{\mathrm{物}}}{Fns_{\mathrm{物}}}×100\%=\dfrac{f}{nF}×100\%$求绳子自由端的拉力.
