登录
8. 如图,已知点 A 的坐标为$(-1,3)$,点 B 在 x 轴上,把$△ OAB$沿 x 轴向右平移到$△ DEF$,若平行四边形 AEFB 的面积为 6,则点 E 的坐标为
(1,3)
.答案
8. $(1,3)$ 解析:$\because$点$A$的坐标为$(-1,3)$,平行四边形$AEFB$的面积为6,$\therefore$平行四边形$AEFB$的高为3,底为$6÷3=2$,即$△ OAB$沿$x$轴向右平移到$△ DEF$,平移的距离为2个单位长度,将点$A(-1,3)$向右平移2个单位长度,所得到的点$E$的坐标为$(1,3)$.
9. 如图,在平面直角坐标系中,对正方形$ABCD$及其内部的每个点进行如下操作:先把每个点的横、纵坐标都乘$\dfrac{1}{2}$,再将得到的点先向右平移$m$个单位长度,再向上平移$n$个单位长度$(m＞0,n＞0)$,得到正方形$A'B'C'D'$及其内部的点,其中点$A,B$的对应点分别为$A',B'$.已知正方形$ABCD$内部的一点$F$经过上述操作后得到的对应点$F'$与点$F$重合,则点$F$的坐标是
(1,4)
.答案
9. $(1,4)$ 解析:由题可知,由点$A$到$A'$,可得方程组$\begin{cases} -3×\frac{1}{2}+m=-1,\\ 0×\frac{1}{2}+n=2, \end{cases}$由$B$到$B'$可得方程组$\begin{cases} 3×\frac{1}{2}+m=2,\\ 0×\frac{1}{2}+n=2, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=\frac{1}{2},\\ n=2. \end{cases}$设点$F$的坐标为$(x,y)$,则$F'$的坐标为$(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2},\frac{1}{2}y+2)$,由点$F'$,$F$重合,得方程组$\begin{cases} \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}=x,\\ \frac{1}{2}y+2=y, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1,\\ y=4, \end{cases}$即$F(1,4)$.
10. (2025·赤峰期末)如图,已知点$A(a,0)$,$B(b,0)$,满足$(3a+b)^2+\sqrt{b-3}=0$,将线段$AB$先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后得到线段$CD$,并连接$AC$,$BD$.
(1)求点$A$,$B$,$C$和$D$的坐标;
(2)点$M$从点$O$出发,以每秒2个单位长度的速度沿$y$轴正方向平移运动,设运动时间为$t$秒,当$△ ODM$的面积是12时,$t$的值为
(1)求点$A$,$B$,$C$和$D$的坐标;
(2)点$M$从点$O$出发,以每秒2个单位长度的速度沿$y$轴正方向平移运动,设运动时间为$t$秒,当$△ ODM$的面积是12时,$t$的值为
3
.答案
10. (1)$\because (3a+b)^2+\sqrt{b-3}=0$,$\therefore 3a+b=0$,$b-3=0$,$\therefore b=3$,$\therefore 3a+3=0$,$\therefore a=-1$,$\therefore A(-1,0)$,$B(3,0)$.$\because$线段$AB$先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后得到线段$CD$,$\therefore C(0,2)$,$D(4,2)$.
(2)3 解析:由题意得$M(0,2t)$,$\therefore OM=2t$.由(1)得$C(0,2)$,$D(4,2)$,$\therefore CD⊥ y$轴,即$CD=4$,则$△ ODM$的面积$=\frac{1}{2}× OM× CD$.$\because △ ODM$的面积是12,$\therefore \frac{1}{2}×2t×4=12$,解得$t=3$,即当$t=3$时,$△ ODM$的面积是12.
(2)3 解析:由题意得$M(0,2t)$,$\therefore OM=2t$.由(1)得$C(0,2)$,$D(4,2)$,$\therefore CD⊥ y$轴,即$CD=4$,则$△ ODM$的面积$=\frac{1}{2}× OM× CD$.$\because △ ODM$的面积是12,$\therefore \frac{1}{2}×2t×4=12$,解得$t=3$,即当$t=3$时,$△ ODM$的面积是12.
11. (2026·盐城期中)定义:在平面直角坐标系中,对于点 $M(x,y)$,若点 $N$ 坐标为 $(x+2a$,$-y-2a)$,我们称点 $N$ 是点 $M$ 的等距平移点,其中 $a$ 为等距平移常量.例如:当 $a=0$ 时,点$M(3,2)$ 的等距平移点 $N$ 为 $(3,-2)$.
(1)①当等距平移常量 $a=3$ 时,点 $M$ 坐标为$(4,3)$,则它的等距平移点 $N$ 的坐标为
②若点 $M$ 坐标为 $(-2,1)$,它的等距平移点 $N$在坐标轴上,则等距平移常量 $a=$
(2)若点 $M$ 在 $y$ 轴上,且它的等距平移点 $N$的坐标为 $(-2a+4,-9+4a)$,其中 $a$ 为等距平移常量,$O$ 为坐标原点,求 $△ OMN$ 的面积.
(3)点 $M(x,y_1)$ 的等距平移点是 $N(x+2a$,$y_2)$,其中 $a$ 为等距平移常量,若 $y_1-y_2=4$,且其中一个点到 $x$ 轴的距离等于另一个点到$x$ 轴的距离的 2 倍,求 $a$ 的值.
[二维码，视频讲题]
(1)①当等距平移常量 $a=3$ 时,点 $M$ 坐标为$(4,3)$,则它的等距平移点 $N$ 的坐标为
(10,-9)
;②若点 $M$ 坐标为 $(-2,1)$,它的等距平移点 $N$在坐标轴上,则等距平移常量 $a=$
1或$-\frac{1}{2}$
.(2)若点 $M$ 在 $y$ 轴上,且它的等距平移点 $N$的坐标为 $(-2a+4,-9+4a)$,其中 $a$ 为等距平移常量,$O$ 为坐标原点,求 $△ OMN$ 的面积.
(3)点 $M(x,y_1)$ 的等距平移点是 $N(x+2a$,$y_2)$,其中 $a$ 为等距平移常量,若 $y_1-y_2=4$,且其中一个点到 $x$ 轴的距离等于另一个点到$x$ 轴的距离的 2 倍,求 $a$ 的值.
[二维码，视频讲题]
答案
11. (1)①$(10,-9)$ 解析:$\because$当等距平移常量$a=3$时,点$M$坐标为$(4,3)$,$\therefore$点$N$的横坐标为$4+2×3=10$,纵坐标为$-3-2×3=-9$,$\therefore$点$N$的坐标为$(10,-9)$.
②1或$-\frac{1}{2}$ 解析:点$M$坐标为$(-2,1)$,它的等距平移点$N$在坐标轴上,当点$N$在$y$轴上时,$-2+2a=0$,解得$a=1$;当点$N$在$x$轴上时,$-1-2a=0$,解得$a=-\frac{1}{2}$.
(2)$\because$点$M$在$y$轴上,$\therefore$设$M(0,m)$,$\therefore M(0,m)$的等距平移点是$(2a,-m-2a)$.又点$M$的等距平移点$N$的坐标为$(-2a+4,-9+4a)$,$\therefore 2a=-2a+4$,$-m-2a=-9+4a$,解得$a=1$,$m=3$,$\therefore M(0,3)$,$N(2,-5)$,$\therefore OM=3$,$\therefore △ OMN$的面积为$\frac{1}{2}×3×2=3$.
(3)$\because$点$M(x,y_1)$,$\therefore$点$M(x,y_1)$的等距平移点是$(x+2a,-y_1-2a)$.又点$M(x,y_1)$的等距平移点是$N(x+2a,y_2)$,$\therefore -y_1-2a=y_2$.又$y_1-y_2=4$,$\therefore y_1=2-a$,$y_2=-a-2$,$\therefore M(x,2-a)$,$N(x+2a,-a-2)$.$\because$其中一个点到$x$轴的距离等于另一个点到$x$轴的距离的2倍,$\therefore$当$M$点到$x$轴的距离等于$N$点到$x$轴的距离的2倍时,$|2-a|=2|-a-2|$,$\therefore 2-a=2(-a-2)$或$2-a=-2(-a-2)$,解得$a=-6$或$a=-\frac{2}{3}$;当$N$点到$x$轴的距离等于$M$点到$x$轴的距离的2倍时,$|-a-2|=2|2-a|$,$\therefore -a-2=2(2-a)$或$-a-2=-2(2-a)$,解得$a=6$或$a=\frac{2}{3}$.综上,$a$的值为$-6$或$-\frac{2}{3}$或$\frac{2}{3}$或6.
②1或$-\frac{1}{2}$ 解析:点$M$坐标为$(-2,1)$,它的等距平移点$N$在坐标轴上,当点$N$在$y$轴上时,$-2+2a=0$,解得$a=1$;当点$N$在$x$轴上时,$-1-2a=0$,解得$a=-\frac{1}{2}$.
(2)$\because$点$M$在$y$轴上,$\therefore$设$M(0,m)$,$\therefore M(0,m)$的等距平移点是$(2a,-m-2a)$.又点$M$的等距平移点$N$的坐标为$(-2a+4,-9+4a)$,$\therefore 2a=-2a+4$,$-m-2a=-9+4a$,解得$a=1$,$m=3$,$\therefore M(0,3)$,$N(2,-5)$,$\therefore OM=3$,$\therefore △ OMN$的面积为$\frac{1}{2}×3×2=3$.
(3)$\because$点$M(x,y_1)$,$\therefore$点$M(x,y_1)$的等距平移点是$(x+2a,-y_1-2a)$.又点$M(x,y_1)$的等距平移点是$N(x+2a,y_2)$,$\therefore -y_1-2a=y_2$.又$y_1-y_2=4$,$\therefore y_1=2-a$,$y_2=-a-2$,$\therefore M(x,2-a)$,$N(x+2a,-a-2)$.$\because$其中一个点到$x$轴的距离等于另一个点到$x$轴的距离的2倍,$\therefore$当$M$点到$x$轴的距离等于$N$点到$x$轴的距离的2倍时,$|2-a|=2|-a-2|$,$\therefore 2-a=2(-a-2)$或$2-a=-2(-a-2)$,解得$a=-6$或$a=-\frac{2}{3}$;当$N$点到$x$轴的距离等于$M$点到$x$轴的距离的2倍时,$|-a-2|=2|2-a|$,$\therefore -a-2=2(2-a)$或$-a-2=-2(2-a)$,解得$a=6$或$a=\frac{2}{3}$.综上,$a$的值为$-6$或$-\frac{2}{3}$或$\frac{2}{3}$或6.
