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(2) 2,3,5,6,9这五个数据的平均数和方差各为多少？6,9,15,18,27这五个数据的平均数和方差各为多少？试比较这两组数据的平均数和方差，你能得出什么结论？
答案
（2）2,3,5,6,9这组数据的平均数为5,方差为6;6,9,15,18,27这组数据的平均数为15,方差为54;后一组数据中的每个数是前一组的3倍,其平均数是前一组数据平均数的3倍,方差是前一组数据方差的9倍.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，回忆平均数和方差的计算公式，平均数等于所有数据之和除以数据总个数，方差是每个数据与平均数差值的平方的平均数；第二步，分别代入公式计算两组数据的平均数和方差；第三步，观察两组数据的对应倍数关系，对比平均数、方差的倍数变化，总结出通用规律。
【解析】
1. 计算第一组数据2,3,5,6,9的平均数和方差：
平均数$\overline{x_1}=\frac{2+3+5+6+9}{5}=\frac{25}{5}=5$
方差$s_1^2=\frac{(2-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2}{5}=\frac{9+4+0+1+16}{5}=\frac{30}{5}=6$
2. 计算第二组数据6,9,15,18,27的平均数和方差：
平均数$\overline{x_2}=\frac{6+9+15+18+27}{5}=\frac{75}{5}=15$
方差$s_2^2=\frac{(6-15)^2+(9-15)^2+(15-15)^2+(18-15)^2+(27-15)^2}{5}=\frac{81+36+0+9+144}{5}=\frac{270}{5}=54$
3. 对比分析：观察可知第二组每个数据都是第一组对应数据的3倍，此时$\overline{x_2}=3\overline{x_1}$，$s_2^2=3^2× s_1^2$，可得出对应规律。
【答案】
2,3,5,6,9这组数据的平均数为5,方差为6;6,9,15,18,27这组数据的平均数为15,方差为54;后一组数据中的每个数是前一组的3倍,其平均数是前一组数据平均数的3倍,方差是前一组数据方差的9倍。
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，数据变换的统计规律
【点评】
本题既考查平均数、方差的基础计算能力，也引导学生探究数据倍数变换对统计量的影响，掌握本题总结的规律可简化后续同类题的计算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，回忆平均数和方差的计算公式，平均数等于所有数据之和除以数据总个数，方差是每个数据与平均数差值的平方的平均数；第二步，分别代入公式计算两组数据的平均数和方差；第三步，观察两组数据的对应倍数关系，对比平均数、方差的倍数变化，总结出通用规律。
【解析】
1. 计算第一组数据2,3,5,6,9的平均数和方差：
平均数$\overline{x_1}=\frac{2+3+5+6+9}{5}=\frac{25}{5}=5$
方差$s_1^2=\frac{(2-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2}{5}=\frac{9+4+0+1+16}{5}=\frac{30}{5}=6$
2. 计算第二组数据6,9,15,18,27的平均数和方差：
平均数$\overline{x_2}=\frac{6+9+15+18+27}{5}=\frac{75}{5}=15$
方差$s_2^2=\frac{(6-15)^2+(9-15)^2+(15-15)^2+(18-15)^2+(27-15)^2}{5}=\frac{81+36+0+9+144}{5}=\frac{270}{5}=54$
3. 对比分析：观察可知第二组每个数据都是第一组对应数据的3倍，此时$\overline{x_2}=3\overline{x_1}$，$s_2^2=3^2× s_1^2$，可得出对应规律。
【答案】
2,3,5,6,9这组数据的平均数为5,方差为6;6,9,15,18,27这组数据的平均数为15,方差为54;后一组数据中的每个数是前一组的3倍,其平均数是前一组数据平均数的3倍,方差是前一组数据方差的9倍。
【知识点】
平均数的计算，方差的计算，数据变换的统计规律
【点评】
本题既考查平均数、方差的基础计算能力，也引导学生探究数据倍数变换对统计量的影响，掌握本题总结的规律可简化后续同类题的计算过程，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
变式:已知一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为$m$,方差为$n$,则另一组数据$ax_1+b,ax_2+b,ax_3+b,ax_4+b,ax_5+b$的平均数和方差各是多少？
答案
变式:平均数为$am+b$,方差为$a^2n$.
解析
【分析】
要计算变换后新数据的平均数和方差，我们可以从平均数、方差的定义公式出发，先根据已知条件写出原数据的平均数、方差的表达式，再将新数据代入对应的公式展开化简，结合原数据的统计量结果就能推导出新数据的平均数和方差。
【解析】
首先根据已知条件写出原数据的平均数和方差的表达式：
1. 原数据平均数：$m=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}$，因此$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5m$。
2. 原数据方差：$n=\frac{(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+(x_3-m)^2+(x_4-m)^2+(x_5-m)^2}{5}$，因此$(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+\dots+(x_5-m)^2=5n$。
接下来计算新数据的平均数：
设新数据$ax_1+b,ax_2+b,\dots,ax_5+b$的平均数为$\overline{x}'$，根据平均数定义：
$\overline{x}'=\frac{(ax_1+b)+(ax_2+b)+(ax_3+b)+(ax_4+b)+(ax_5+b)}{5}$
$=\frac{a(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)+5b}{5}$
将$x_1+x_2+\dots+x_5=5m$代入上式：
$\overline{x}'=\frac{a·5m + 5b}{5}=am+b$
再计算新数据的方差：
设新数据的方差为$s'^2$，根据方差定义：
$s'^2=\frac{(ax_1+b-\overline{x}')^2+(ax_2+b-\overline{x}')^2+\dots+(ax_5+b-\overline{x}')^2}{5}$
将$\overline{x}'=am+b$代入括号内的表达式化简：
$ax_i+b - (am+b)=a(x_i - m)$（$i=1,2,\dots,5$）
因此方差公式可改写为：
$s'^2=\frac{[a(x_1-m)]^2+[a(x_2-m)]^2+\dots+[a(x_5-m)]^2}{5}$
$=\frac{a^2·[(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+\dots+(x_5-m)^2]}{5}$
将$(x_1-m)^2+\dots+(x_5-m)^2=5n$代入上式：
$s'^2=\frac{a^2·5n}{5}=a^2n$
【答案】
平均数为$am+b$，方差为$a^2n$
【知识点】
1. 平均数的计算
2. 方差的计算
3. 统计量变换规律
【点评】
本题核心是考查平均数和方差的定义，推导得出的结论可以作为规律直接使用：当一组数据的每个数据都进行$ax+b$的线性变换时，平均数变为原平均数的$a$倍加$b$，方差变为原方差的$a^2$倍，熟练掌握该规律可以快速解决同类型的统计量计算问题。
【难度系数】
0.75
要计算变换后新数据的平均数和方差，我们可以从平均数、方差的定义公式出发，先根据已知条件写出原数据的平均数、方差的表达式，再将新数据代入对应的公式展开化简，结合原数据的统计量结果就能推导出新数据的平均数和方差。
【解析】
首先根据已知条件写出原数据的平均数和方差的表达式：
1. 原数据平均数：$m=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}$，因此$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=5m$。
2. 原数据方差：$n=\frac{(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+(x_3-m)^2+(x_4-m)^2+(x_5-m)^2}{5}$，因此$(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+\dots+(x_5-m)^2=5n$。
接下来计算新数据的平均数：
设新数据$ax_1+b,ax_2+b,\dots,ax_5+b$的平均数为$\overline{x}'$，根据平均数定义：
$\overline{x}'=\frac{(ax_1+b)+(ax_2+b)+(ax_3+b)+(ax_4+b)+(ax_5+b)}{5}$
$=\frac{a(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)+5b}{5}$
将$x_1+x_2+\dots+x_5=5m$代入上式：
$\overline{x}'=\frac{a·5m + 5b}{5}=am+b$
再计算新数据的方差：
设新数据的方差为$s'^2$，根据方差定义：
$s'^2=\frac{(ax_1+b-\overline{x}')^2+(ax_2+b-\overline{x}')^2+\dots+(ax_5+b-\overline{x}')^2}{5}$
将$\overline{x}'=am+b$代入括号内的表达式化简：
$ax_i+b - (am+b)=a(x_i - m)$（$i=1,2,\dots,5$）
因此方差公式可改写为：
$s'^2=\frac{[a(x_1-m)]^2+[a(x_2-m)]^2+\dots+[a(x_5-m)]^2}{5}$
$=\frac{a^2·[(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+\dots+(x_5-m)^2]}{5}$
将$(x_1-m)^2+\dots+(x_5-m)^2=5n$代入上式：
$s'^2=\frac{a^2·5n}{5}=a^2n$
【答案】
平均数为$am+b$，方差为$a^2n$
【知识点】
1. 平均数的计算
2. 方差的计算
3. 统计量变换规律
【点评】
本题核心是考查平均数和方差的定义，推导得出的结论可以作为规律直接使用：当一组数据的每个数据都进行$ax+b$的线性变换时，平均数变为原平均数的$a$倍加$b$，方差变为原方差的$a^2$倍，熟练掌握该规律可以快速解决同类型的统计量计算问题。
【难度系数】
0.75
