9. 为解决供水问题需铺设一条长2 400米的管道，实际施工时……设实际每天铺设管道x米，可得方程$\frac{2400}{x-20} - \frac{2400}{x} = 6$。根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为 （）

A.每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成
B.每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成
C.每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成
D.每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成

B

【分析】首先明确设实际每天铺设管道$x$米，从方程的分母可推出原计划每天铺设的长度为$(x-20)$米，即实际每天比原计划多铺设20米；再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，原计划完成时间为$\frac{2400}{x-20}$天，实际完成时间为$\frac{2400}{x}$天，方程中两者的差为6，说明原计划用时比实际多6天，即实际提前6天完成，结合选项即可确定缺失条件。
【解析】设实际每天铺设管道$x$米，则原计划每天铺设管道$(x-20)$米。根据工程问题的基本关系“工作时间=工作总量÷工作效率”：
1. 原计划完成任务的时间为：$\frac{2400}{x-20}$天；
2. 实际完成任务的时间为：$\frac{2400}{x}$天；
3. 由方程$\frac{2400}{x-20} - \frac{2400}{x} = 6$可知，原计划用时比实际用时多6天，即实际每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成，对应选项B。
【答案】B
【知识点】分式方程的应用
【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用，核心是理清工作效率、工作时间与工作总量的关系，通过分析方程中各量的含义推导缺失条件，属于基础应用题。
【难度系数】0.5

10. 如图,一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后,其折射光线与另一束经过光心O的光线相交于点P,点F为焦点。若∠1=α,∠2=β,则∠3的度数表示为 （）

A.α−β
B.2α−β
C.180°+α−β
D.180°−α+β

D 解析:如图。因为$AB// OF$,$∠ 1 = α$,所以$∠ BFO = 180° - ∠ 1 = 180° - α$。因为$∠ POF = ∠ 2$,$∠ 2 = β$,所以$∠ POF = β$。因为$∠ 3 + ∠ OPF = 180°$,$∠ BFO + ∠ POF + ∠ OPF = 180°$,所以$∠ 3 = ∠ BFO + ∠ POF = 180° - α + β$。思路点拨:本题属于跨学科综合题,结合凸透镜成像的知识考查了平行线的性质,解题的基本思路是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系。

【分析】
本题需结合凸透镜的光学性质与几何角度关系解题：首先利用平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点，得到AB与主光轴OF平行，再结合平行线的性质求出相关角度，最后通过三角形内角和的关系推导∠3的度数。
【解析】
1. 由平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过焦点，可知AB//OF。根据平行线同旁内角互补，得∠BFO = 180° - ∠1 = 180° - α。
2. 过光心O的光线与主光轴形成的∠2和∠POF相等，即∠POF = ∠2 = β。
3. 在△OPF中，根据三角形内角和为180°，有∠3 + ∠OPF = 180°；同时，∠BFO + ∠POF + ∠OPF = 180°，联立两式可得∠3 = ∠BFO + ∠POF = (180° - α) + β = 180° - α + β。
【答案】
D
【知识点】
凸透镜光学性质、平行线性质、三角形内角和
【点评】
本题跨学科结合物理与数学知识，需运用凸透镜的光线折射规律和几何角度关系推导，考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.5

11. 因式分解：$2x^2 - x = \_\_\_\_\_\_$。

$x(2x-1)$

【分析】
这道题是因式分解题，解题思路是先确定多项式各项的公因式，再通过提取公因式的方法完成因式分解。首先观察多项式$2x^2 - x$，两项分别为$2x^2$和$-x$，它们的公因式是$x$，接着将公因式$x$提取出来，剩余的项整理后即可得到结果。
【解析】
解：对$2x^2 - x$因式分解时，
先确定公因式：多项式$2x^2$与$-x$的公因式为$x$，
提取公因式得：$2x^2 - x = x(2x - 1)$。
【答案】
$x(2x - 1)$
【知识点】
因式分解-提公因式法
【点评】
本题考查基础的因式分解方法，核心是掌握公因式的确定规则（系数取各项系数的最大公约数，相同字母取最低次幂），属于初一数学的基础题型，只要熟练掌握提公因式法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

12.将$2x+3y=2$变形,用含$x$的代数式表示$y$,那么$y=$$\underline{\qquad\qquad\qquad}$。

$\dfrac{2-2x}{3}$

【分析】本题要求将二元一次方程$2x + 3y = 2$变形为用含$x$的代数式表示$y$，解题思路是利用等式的基本性质，先通过移项将含$y$的项单独放在等式一侧，再将$y$的系数化为1，即可得到目标表达式。
【解析】对等式$2x + 3y = 2$移项，将$2x$移到等式右边，得$3y = 2 - 2x$；再将等式两边同时除以$3$，把$y$的系数化为1，得到$y = \dfrac{2 - 2x}{3}$。
【答案】$\dfrac{2 - 2x}{3}$
【知识点】二元一次方程的变形；用代数式表示未知数
【点评】本题属于代数基础题型，考查等式性质的应用，核心是移项和系数化为1的基本操作，难度较低，只要掌握等式的基本性质就能正确解答。
【难度系数】0.9

13.如图,将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置,已知点A,D之间的距离为1,BC=3,则BF的长是。

4

【分析】本题考查图形平移的性质，解题关键是明确平移后对应点所连线段的长度相等（即平移距离相等）。首先确定平移的距离为AD的长度，再结合BC的长度，将BF拆分为对应线段的和，进而计算出BF的长度。
【解析】根据平移的性质，三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置，对应点的连线长度相等，因此平移距离AD=BE=CF=1。观察线段BF，其由BC和CF组成，已知BC=3，CF=1，所以BF=BC+CF=3+1=4。
【答案】4
【知识点】图形的平移性质
【点评】本题是平移性质的基础应用题，难度较低，只要掌握平移的基本性质，就能快速得出结果，属于基础题型。
【难度系数】0.7

14.一次数学测试后,某班50名学生的成绩被分为5组,第1至4组的频数分别为13,9,8,10,则第5组的频率是。

0.2

【分析】要计算第5组的频率，需先利用“总频数等于各组频数之和”求出第5组的频数，再根据“频率=频数÷数据总数”的公式进行计算。
【解析】解：总学生数为50，前4组的频数和为13+9+8+10=40，因此第5组的频数为50-40=10；根据频率的计算公式，第5组的频率=10÷50=0.2。
【答案】0.2
【知识点】频数与频率、统计初步
【点评】本题是统计类基础计算题，核心考查频数与频率的基本关系，解题关键是掌握总频数与各组频数的和相等，以及频率的计算方法，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】0.8

15.规定:若实数$a,b,c$满足$a^c = b(a≥0$且$a≠1,b＞0)$,则记作$[a,b]=c$。例如:$3^2=9$,则$[3,9]=2$。若$[2,3]=m,[2,5]=n,[2,p]=t$,且$m+n=t$,则$p$的值是________。

15 解析:因为$[2,3]=m$,$[2,5]=n$,$[2,p]=t$,所以$2^m=3$,$2^n=5$,$2^t=p$,所以$2^m · 2^n=15$,即$2^{m+n}=15$,又因为$m+n=t$,所以$2^t=15$,所以$p=15$。

【分析】首先明确题目中的新定义：若[a,b]=c，则等价于$a^c = b$（$a≥0$且$a≠1,b＞0$）。根据该定义，将题目中的$[2,3]=m$、$[2,5]=n$、$[2,p]=t$转化为指数形式：$2^m=3$，$2^n=5$，$2^t=p$。已知$m+n=t$，利用同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），可计算$2^{m+n}$的值，再结合$m+n=t$的条件，即可求出$p$的值。
【解析】根据新定义：
因为$[2,3]=m$，所以$2^m=3$；
因为$[2,5]=n$，所以$2^n=5$；
因为$[2,p]=t$，所以$2^t=p$。
根据同底数幂的乘法法则：$2^m · 2^n = 2^{m+n}$，代入$2^m=3$、$2^n=5$得：$2^{m+n}=3×5=15$。
又因为$m+n=t$，所以$2^t=15$，结合$2^t=p$，可得$p=15$。
【答案】15
【知识点】新定义运算、同底数幂的乘法
【点评】本题是新定义运算结合指数运算法则的基础题，关键在于正确理解新定义的含义，将新定义转化为指数形式，再利用同底数幂的乘法法则计算，主要考查学生对新定义的转化能力和基本指数运算的掌握，难度适中。
【难度系数】0.5

16.如图,正方形 AEHG,EBKF 和正方形 NKCM 摆放在长方形 ABCD中,AB=3,BC=4,且BK＞KC。已知正方形AEHG与正方形NKCM的面积之和为7,则长方形PFQD的面积为。

3 解析:设正方形AEHG的边长为$a$,正方形NKCM的边长为$b$,则$PF=AE=a$,$FQ=KC=b$,所以$S_{长方形PFQD}=PF · FQ=ab$。因为$AB=3$,$BC=4$,所以$BE=AB-AE=3-a$,$BK=BC-KC=4-b$。因为EBKF为正方形,所以$BE=BK$,即$3-a=4-b$,所以$b-a=1$。因为正方形AEHG与正方形NKCM的面积之和为7,所以$a^2 + b^2=7$。所以$ab=\dfrac{1}{2}[a^2 + b^2 - (b-a)^2]=\dfrac{1}{2} × (7-1)=3$,即长方形PFQD的面积为3。

【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设正方形的边长，利用正方形的边长关系和面积条件，结合完全平方公式的变形来推导目标长方形的面积。首先设正方形AEHG的边长为$a$，正方形NKCM的边长为$b$，目标长方形PFQD的面积可表示为$ab$；再根据AB、BC的长度及EBKF是正方形的条件，得到$a$与$b$的关系，最后结合两个正方形的面积和，通过公式变形求出$ab$的值。
【解析】
设正方形AEHG的边长为$a$，正方形NKCM的边长为$b$。
因为四边形EBKF是正方形，所以$BE = BK$。
由$AB=3$，得$BE = AB - AE = 3 - a$；由$BC=4$，得$BK = BC - KC = 4 - b$，因此：
$3 - a = 4 - b$，整理得$b - a = 1$。
已知正方形AEHG与NKCM的面积之和为7，即$a^2 + b^2 = 7$。
根据完全平方公式的变形：$ab = \frac{1}{2}[(a^2 + b^2) - (b - a)^2]$，代入数值计算：
$ab = \frac{1}{2}×(7 - 1^2) = \frac{1}{2}×6 = 3$，即长方形PFQD的面积为3。
【答案】
3
【知识点】
正方形性质、完全平方公式、长方形面积计算
【点评】
本题通过设未知数建立边长关系，结合正方形的性质和面积条件，利用完全平方公式的变形简化计算，关键是将目标面积转化为$ab$，难度中等，需要掌握公式的灵活运用。
【难度系数】
0.5

17.(8分)
(1)计算:$(-1)^2 + 2^{-1}$;
(2)化简:$x^2 - (x+1)(x-1)$。

(1)原式$=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$。
(2)原式$=x^2 - (x^2 - 1) = x^2 - x^2 + 1 = 1$。

【分析】
本题包含两小问，第(1)问为有理数混合运算，需先分别计算乘方和负整数指数幂，再进行加法运算；第(2)问为整式化简，需运用平方差公式展开后合并同类项。
【解析】
(1) 计算乘方与负整数指数幂：
$(-1)^2 = 1$，$2^{-1} = \dfrac{1}{2^1} = \dfrac{1}{2}$，
因此原式$=1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$。
(2) 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$展开：
$(x+1)(x-1) = x^2 - 1$，
则原式$=x^2 - (x^2 - 1) = x^2 - x^2 + 1 = 1$。
【答案】
(1) $\dfrac{3}{2}$；(2) $1$
【知识点】
负整数指数幂、平方差公式、整式的加减运算
【点评】
本题考查初中数学基础运算与化简的核心知识点，解题思路直接，步骤明确，属于学生必须熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8