二、拓展性作业
9.【阅读理解】
如果把一个命题(记作 $ p $)的条件和结论交换位置,得到另一个命题(记作 $ q $),那么这两个命题叫作互逆命题,其中命题 $ p $ 称为原命题,命题 $ q $ 称为原命题的逆命题。
例如:原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”。
【解决问题】
给出命题 $ p $:“如果 $ a = b $,那么 $ |a| = |b| $。”
(1)写出命题 $ p $ 的条件和结论,及逆命题 $ q $;
(2)判断逆命题 $ q $ 是真命题还是假命题,若是真命题,请证明;若是假命题,请举出一个反例进行说明。

9. (1)命题 $ p $ 的条件是 $ a = b $,结论是 $ |a| = |b| $;逆命题 $ q $是“如果 $ |a| = |b| $,那么 $ a = b $”。
(2)逆命题 $ q $ 是假命题,反例:$a=3,b=-3,|3|=|-3|$,但是 3 不等于-3。

【分析】
本题考查命题相关的基础概念应用，解题思路如下：
(1) 命题通常写成“如果…那么…”的形式，“如果”引领的内容是命题的条件，“那么”引领的内容是命题的结论，直接拆分原命题p即可得到对应的条件和结论；再根据互逆命题的定义，将原命题的条件和结论交换位置，就能得到逆命题q。
(2) 判断命题真假时，真命题需要通过逻辑推理证明成立，假命题只需要举出一个满足命题条件、但不满足命题结论的反例即可。结合绝对值的性质，互为相反数的两个数绝对值相等但数值本身不等，据此即可举出反例证明逆命题为假。
【解析】
(1) 原命题p为“如果$a=b$，那么$|a|=|b|$”，因此命题p的条件是$a=b$，结论是$|a|=|b|$；根据互逆命题的定义，交换条件和结论后，逆命题q为“如果$|a|=|b|$，那么$a=b$”。
(2) 结合绝对值的性质可知，互为相反数的两个数绝对值相等，但数值本身不相等，因此逆命题q是假命题。举反例：取$a=3$，$b=-3$，此时$|3|=|-3|=3$，满足逆命题的条件$|a|=|b|$，但$3\ne-3$，不满足逆命题的结论$a=b$，可证明逆命题为假。
【答案】
(1)命题 $ p $ 的条件是 $ a = b $,结论是 $ |a| = |b| $;逆命题 $ q $是“如果 $ |a| = |b| $,那么 $ a = b $”。
(2)逆命题 $ q $ 是假命题,反例:$a=3,b=-3,|3|=|-3|$,但是 3 不等于-3。
【知识点】
命题的结构；互逆命题；真假命题判断
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心是对命题相关定义的准确理解，掌握拆分命题找条件结论、交换条件结论写逆命题、举反例判定假命题这几个核心方法即可轻松解题。
【难度系数】
0.8

10. 阅读下面关于“$\sqrt{2}$不是有理数”的证明过程,并填空:
“$\sqrt{2}$不是有理数”,对于这一事实的证明,最早出现在亚里士多德的著作中,但他声明来源于毕达哥拉斯学派。欧几里得在《原本》中给出了证明。
证明:假设$\sqrt{2}$是有理数,
因为$\sqrt{2}＞0$,所以必然有两个正整数$a,b$,使
$\sqrt{2}=\frac{b}{a}$①,
而且$a,b$互质(即没有1以外的公因数)。
等式①两边平方,得$(\sqrt{2})^2=(\frac{b}{a})^2$,即$2=\frac{b^2}{a^2}$。所以$b^2=$②。
上面式子的右边是偶数,所以左边$b^2$也是偶数,因而$b$也是。
可设$b=2k$($k$是正整数),代入②,得$4k^2=2a^2$,即$2k^2=a^2$。
所以$a$也是偶数,这说明$a,b$都是偶数,不是,
与假设相矛盾,即$\sqrt{2}$有理数。

10. $2a^2$ 偶数 互质的两个数 不是

【分析】
本题采用反证法证明“$\sqrt{2}$不是有理数”，解题时可顺着证明的逻辑链条逐空推导：首先对等式进行变形得到$b^2$的表达式；再结合奇偶性的性质判断$b$的属性；之后根据$a$、$b$均为偶数的结论，对比最初“$a,b$互质”的假设找到矛盾；最后根据反证法的逻辑得出最终结论。
【解析】
1. 对等式$2=\frac{b^2}{a^2}$两边同时乘以$a^2$，可得$b^2=2a^2$，因此第一个空填$2a^2$；
2. 根据奇偶性的性质：奇数的平方为奇数，偶数的平方为偶数。已知$b^2$是偶数，因此$b$必然是偶数，第二个空填偶数；
3. 最初假设$a,b$互质，现在推导得出$a$、$b$都是偶数，说明二者有公因数2，不是互质的两个数，第三个空填互质的两个数；
4. 推导结果与假设矛盾，说明“$\sqrt{2}$是有理数”的假设错误，因此$\sqrt{2}$不是有理数，第四个空填不是。
【答案】
$2a^2$；偶数；互质的两个数；不是
【知识点】
反证法；有理数的概念；奇偶性判断
【点评】
本题以经典的无理数证明过程为载体，既考查了反证法的证明逻辑，也巩固了互质、奇偶性、等式变形等基础知识点，能够帮助学生理解否定性命题的证明思路，掌握反证法“假设→推导矛盾→否定假设→原命题成立”的核心步骤。
【难度系数】
0.8