登录
9. 《周髀算经》中的“赵爽弦图”体现了数形结合的思想，其中蕴含了丰富的线段比例关系。
（1）如图①，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成大正方形ABCD。已知$AE:AF=1:3$，则$\frac{EF}{AB}=$
（2）小晨在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造了“类赵爽弦图”。如图②，由三个全等的含有一个角是$120°$的三角形和一个小等边三角形组成大等边三角形ABC。已知$AE:AF=1:3$，求$\frac{EF}{AB}$的值。
（1）如图①，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成大正方形ABCD。已知$AE:AF=1:3$，则$\frac{EF}{AB}=$
$\frac{\sqrt{10}}{5}$
。（2）小晨在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造了“类赵爽弦图”。如图②，由三个全等的含有一个角是$120°$的三角形和一个小等边三角形组成大等边三角形ABC。已知$AE:AF=1:3$，求$\frac{EF}{AB}$的值。
答案
（1）$\frac{\sqrt{10}}{5}$
（2）连结BE,设$S_{△ ABE}=S$。因为$AE:AF=1:3$,所以$AE:EF=1:2$,所以$S_{△ ABF}=S_{△ BCD}=S_{△ ACE}=3S$,$S_{△ BEF}=2S$,$CD:CE=1:3$,所以$S_{△ BDE}=6S$,$S_{△ DEF}=4S$,$S_{△ ABC}=13S$。因为$S_{△ DEF}=4S=\frac{\sqrt{3}}{4}EF^2$,$S_{△ ABC}=13S=\frac{\sqrt{3}}{4}AB^2$,所以$\frac{EF}{AB}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$。
（2）连结BE,设$S_{△ ABE}=S$。因为$AE:AF=1:3$,所以$AE:EF=1:2$,所以$S_{△ ABF}=S_{△ BCD}=S_{△ ACE}=3S$,$S_{△ BEF}=2S$,$CD:CE=1:3$,所以$S_{△ BDE}=6S$,$S_{△ DEF}=4S$,$S_{△ ABC}=13S$。因为$S_{△ DEF}=4S=\frac{\sqrt{3}}{4}EF^2$,$S_{△ ABC}=13S=\frac{\sqrt{3}}{4}AB^2$,所以$\frac{EF}{AB}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$。
解析
【分析】
（1）解决第（1）问首先要明确赵爽弦图中四个直角三角形全等，结合已知的线段比例设参数，利用全等三角形对应边相等求出小正方形边长EF，再通过勾股定理求出大正方形边长AB，最后计算两者的比值即可。
（2）解决第（2）问可先根据AE:AF=1:3推出AE与EF的比例关系，再利用全等三角形的性质得到各三角形底边的比例关系，结合“同高三角形面积比等于底之比”、“等边三角形面积比等于边长比的平方”两个性质，分别表示出小等边三角形DEF和大等边三角形ABC的面积，最后通过面积比推导出边长的比值。
【解析】
（1）设$AE=a$，
∵$AE:AF=1:3$，
∴$AF=3a$。
∵图中四个直角三角形全等，
∴$BF=AE=a$，
∴小正方形的边长$EF=AF-AE=3a-a=2a$。
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{(3a)^2+a^2}=\sqrt{10}a$，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{2a}{\sqrt{10}a}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。
（2）连结$BE$，设$S_{△ ABE}=S$。
∵$AE:AF=1:3$，
∴$AE:EF=1:2$。
∵$△ ABE$和$△ BEF$同高，面积比等于底的比，
∴$S_{△ BEF}=2S$，
∴$S_{△ ABF}=S_{△ ABE}+S_{△ BEF}=3S$。
由题意得$△ ABF≌△ BCD≌△ CAE$，
∴$S_{△ BCD}=S_{△ ACE}=3S$，且$CE=AF=3AE$，$CD=AE$，
∴$CD:CE=1:3$，即$CD:DE=1:2$。
∵$△ BCD$和$△ BDE$同高，面积比等于底的比，
∴$S_{△ BDE}=2S_{△ BCD}=6S$，
同理可得小等边$△ DEF$的面积$S_{△ DEF}=4S$。
∴大等边$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=S_{△ ABF}+S_{△ BCD}+S_{△ ACE}+S_{△ DEF}=3S+3S+3S+4S=13S$。
∵等边三角形的面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}· 边长^2$，即等边三角形面积与边长的平方成正比，
∴$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABC}}=\frac{EF^2}{AB^2}=\frac{4S}{13S}=\frac{4}{13}$，
∴$\frac{EF}{AB}=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$。
【答案】
（1）$\frac{\sqrt{10}}{5}$；（2）$\frac{2\sqrt{13}}{13}$
【知识点】
全等三角形的性质，勾股定理，比例线段
【点评】
本题以传统数学文化中的赵爽弦图为背景，考查数形结合思想的应用，解题时可通过设参数将线段比例转化为具体的边长或面积关系计算，既可以用勾股定理直接计算边长，也可以用面积法简化计算，要求熟练掌握特殊三角形的性质和比例相关结论。
【难度系数】
0.6
（1）解决第（1）问首先要明确赵爽弦图中四个直角三角形全等，结合已知的线段比例设参数，利用全等三角形对应边相等求出小正方形边长EF，再通过勾股定理求出大正方形边长AB，最后计算两者的比值即可。
（2）解决第（2）问可先根据AE:AF=1:3推出AE与EF的比例关系，再利用全等三角形的性质得到各三角形底边的比例关系，结合“同高三角形面积比等于底之比”、“等边三角形面积比等于边长比的平方”两个性质，分别表示出小等边三角形DEF和大等边三角形ABC的面积，最后通过面积比推导出边长的比值。
【解析】
（1）设$AE=a$，
∵$AE:AF=1:3$，
∴$AF=3a$。
∵图中四个直角三角形全等，
∴$BF=AE=a$，
∴小正方形的边长$EF=AF-AE=3a-a=2a$。
在$Rt△ ABF$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}=\sqrt{(3a)^2+a^2}=\sqrt{10}a$，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{2a}{\sqrt{10}a}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。
（2）连结$BE$，设$S_{△ ABE}=S$。
∵$AE:AF=1:3$，
∴$AE:EF=1:2$。
∵$△ ABE$和$△ BEF$同高，面积比等于底的比，
∴$S_{△ BEF}=2S$，
∴$S_{△ ABF}=S_{△ ABE}+S_{△ BEF}=3S$。
由题意得$△ ABF≌△ BCD≌△ CAE$，
∴$S_{△ BCD}=S_{△ ACE}=3S$，且$CE=AF=3AE$，$CD=AE$，
∴$CD:CE=1:3$，即$CD:DE=1:2$。
∵$△ BCD$和$△ BDE$同高，面积比等于底的比，
∴$S_{△ BDE}=2S_{△ BCD}=6S$，
同理可得小等边$△ DEF$的面积$S_{△ DEF}=4S$。
∴大等边$△ ABC$的面积$S_{△ ABC}=S_{△ ABF}+S_{△ BCD}+S_{△ ACE}+S_{△ DEF}=3S+3S+3S+4S=13S$。
∵等边三角形的面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}· 边长^2$，即等边三角形面积与边长的平方成正比，
∴$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABC}}=\frac{EF^2}{AB^2}=\frac{4S}{13S}=\frac{4}{13}$，
∴$\frac{EF}{AB}=\sqrt{\frac{4}{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$。
【答案】
（1）$\frac{\sqrt{10}}{5}$；（2）$\frac{2\sqrt{13}}{13}$
【知识点】
全等三角形的性质，勾股定理，比例线段
【点评】
本题以传统数学文化中的赵爽弦图为背景，考查数形结合思想的应用，解题时可通过设参数将线段比例转化为具体的边长或面积关系计算，既可以用勾股定理直接计算边长，也可以用面积法简化计算，要求熟练掌握特殊三角形的性质和比例相关结论。
【难度系数】
0.6
