思维导图·发展创新意识
轴对称
轴对称的概念{
轴对称图形
两个图形关于某条直线成轴对称
}
轴对称的性质:对称轴垂直平分连接对称点的线段
用坐标表示轴对称{
点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为
点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为
}
线段的垂直平分线{
定义:经过线段并且于这条线段的直线
性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的
判定:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的上
作图:用尺规作一条线段的垂直平分线
}
等腰三角形{
等腰三角形的性质{
对等角
“三线合一”
}
等腰三角形的判定:等角对
}
等边三角形{
性质:三个角都,并且每一个角都等于
判定{
三个角都的三角形
有一个角是的等腰三角形
}
}

解：
点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$\boldsymbol{(x,-y)}$
点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$\boldsymbol{(-x,y)}$
定义:经过线段$\boldsymbol{中点}$并且$\boldsymbol{垂直}$于这条线段的直线
性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的$\boldsymbol{距离相等}$
判定:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的$\boldsymbol{垂直平分线}$上
等腰三角形的性质：$\boldsymbol{等边}$对等角
等腰三角形的判定:等角对$\boldsymbol{等边}$
等边三角形性质:三个角都$\boldsymbol{相等}$,并且每一个角都等于$\boldsymbol{60°}$
等边三角形判定：三个角都$\boldsymbol{相等}$的三角形；有一个角是$\boldsymbol{60°}$的等腰三角形

【分析】
本题是轴对称章节的基础概念填空题，考察的均为该章节核心基础知识点，解题时逐一对应各知识点的记忆内容即可：①回忆坐标轴对称的点的坐标变化规律：关于x轴对称时横坐标不变，纵坐标取相反数；关于y轴对称时纵坐标不变，横坐标取相反数。②回忆线段垂直平分线的定义、性质、判定定理内容直接填空。③回忆等腰三角形“等边对等角”的性质和“等角对等边”的判定定理填空。④回忆等边三角形的性质和两个判定定理内容直接填空。
【解析】
1. 点关于坐标轴对称的坐标规律：
点$(x,y)$关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数，故坐标为$\boldsymbol{(x,-y)}$；
点$(x,y)$关于y轴对称时，纵坐标不变，横坐标互为相反数，故坐标为$\boldsymbol{(-x,y)}$。
2. 线段垂直平分线相关：
定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，因此依次填中点、垂直；
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，因此填距离相等；
判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此填垂直平分线。
3. 等腰三角形相关：
性质：等腰三角形的两个底角相等，简称为“等边对等角”，因此填等边；
判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为“等角对等边”，因此填等边。
4. 等边三角形相关：
性质：等边三角形的三个角都相等，结合三角形内角和为$180°$，可得每个角都等于$60°$，因此依次填相等、$60°$；
判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，因此依次填相等、$60°$。
【答案】
点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$\boldsymbol{(x,-y)}$；
点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$\boldsymbol{(-x,y)}$；
线段垂直平分线定义：经过线段$\boldsymbol{中点}$并且$\boldsymbol{垂直}$于这条线段的直线；
线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的$\boldsymbol{距离相等}$；
线段垂直平分线判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的$\boldsymbol{垂直平分线}$上；
等腰三角形的性质：$\boldsymbol{等边}$对等角；
等腰三角形的判定：等角对$\boldsymbol{等边}$；
等边三角形性质：三个角都$\boldsymbol{相等}$，并且每一个角都等于$\boldsymbol{60°}$；
等边三角形判定：三个角都$\boldsymbol{相等}$的三角形；有一个角是$\boldsymbol{60°}$的等腰三角形。
【知识点】
轴对称的坐标变换；线段垂直平分线；等腰（等边）三角形的性质与判定
【点评】
本题属于基础概念梳理题，全部考察轴对称章节的核心基础定义、定理内容，是解决轴对称相关几何综合题的基础，需要熟练记忆并灵活运用这些知识点。
【难度系数】
0.9

1. 中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广.下列四个汉字中,是轴对称图形的为().

A
B
C
D

C

【分析】
要判断哪个汉字是轴对称图形，首先回忆轴对称图形的判断标准：存在一条直线，将图形沿这条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合。接下来我们逐个对四个选项的汉字进行验证，看是否符合这个标准即可。
【解析】
轴对称图形的定义为：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形。
对各选项逐一判断：
A. “爱”字不存在这样的直线，使得折叠后两侧部分完全重合，不是轴对称图形；
B. “我”字不存在这样的直线，使得折叠后两侧部分完全重合，不是轴对称图形；
C. “中”字沿中间竖直的直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形；
D. “华”字不存在这样的直线，使得折叠后两侧部分完全重合，不是轴对称图形。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题结合中华汉字考查轴对称图形的判定，题目形式新颖，贴合传统文化，属于基础类题目，只要熟练掌握轴对称图形的判断方法即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. 在平面直角坐标系中, 点 $ P(a,2) $与点$ A(-3,m) $关于$ y $轴对称,则$ a,m $的值分别为().

A.$ 3,-2 $
B.$ -3,-2 $
C.$ 3,2 $
D.$ -3,2 $

C

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标变化规律。当两个点关于y轴对称时，它们的纵坐标相等，横坐标互为相反数。我们只需要把已知的两个点的横、纵坐标分别对应这个规律，就能求出a和m的值，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数。
已知点$P(a,2)$与点$A(-3,m)$关于$y$轴对称，因此：
横坐标$a$是$-3$的相反数，即$a = -(-3) = 3$；
纵坐标$m$和点$P$的纵坐标相等，即$m = 2$。
因此$a=3$，$m=2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的对称规律，属于基础题型，熟练掌握不同坐标轴、原点对称的点的坐标变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.9

3.若等腰三角形的顶角是$84°$,则一腰上的高与底边所成的角的度数是().

A.$42°$
B.$60°$
C.$36°$
D.$46°$

A

【分析】
解题思路可分为两步：首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，先求出等腰三角形的底角度数；再结合腰上的高与腰垂直的特点，可知高、底边、腰的下半段构成直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去底角度数即可求出所求角的度数。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC$，顶角$∠ A=84°$，$BD$是腰$AC$上的高，求$∠ DBC$的度数：
1. 求底角度数：
$\because AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形
$\therefore ∠ ABC=∠ C$
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-84°}{2}=48°$
2. 求$∠ DBC$的度数：
$\because BD$是$AC$边上的高
$\therefore ∠ BDC=90°$，$△ BDC$是直角三角形
根据直角三角形两锐角互余，得：
$∠ DBC+∠ C=90°$
$\therefore ∠ DBC=90°-48°=42°$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用等腰三角形的角度性质结合直角三角形的角度关系求解，解题时可以先画出草图辅助明确各个角的位置关系，避免混淆角度。
【难度系数】
0.8

4. 已知实数$x,y$满足$|x-4|+\sqrt{y-8}=0$,则以$x,y$的值为两边长的等腰三角形的周长是().

A.20 或 16
B.20
C.16
D.以上答案均不对

B

【分析】
首先根据非负数的性质：绝对值和算术平方根都具有非负性，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，可求出x、y的值。接下来构造等腰三角形时，需要分两种情况讨论：以x为腰长、y为底边长，或以y为腰长、x为底边长，最后必须用三角形三边关系验证两种情况是否能构成三角形，排除不符合的情况后计算周长即可。
【解析】
解：
∵ $|x-4|≥0$，$\sqrt{y-8}≥0$，且$|x-4|+\sqrt{y-8}=0$
∴ $x-4=0$，$y-8=0$
解得$x=4$，$y=8$
分两种情况讨论等腰三角形的边长：
① 若4为腰长，8为底边长，此时三角形三边长为4，4，8
∵ $4+4=8$，不满足三角形“两边之和大于第三边”的关系，无法构成三角形，故该情况舍去；
② 若8为腰长，4为底边长，此时三角形三边长为8，8，4
∵ $4+8＞8$，满足三角形三边关系，可构成三角形
此时周长为$8+8+4=20$
综上，等腰三角形的周长为20。
【答案】
B
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于易错题，解题时需注意两个要点：一是涉及等腰三角形边长的问题，要分腰和底两种情况分类讨论；二是求出三边长后必须验证是否满足三角形三边关系，避免忽略实际构成三角形的条件导致错选。
【难度系数】
0.6

5. 如图，P是∠AOB外的一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上.若$PM=2\ \mathrm{cm}$，$PN=3\ \mathrm{cm}$，$MN=3.5\ \mathrm{cm}$，则线段$QR$的长为().

A.$4.5\ \mathrm{cm}$
B.$5.5\ \mathrm{cm}$
C.$6.5\ \mathrm{cm}$
D.$7\ \mathrm{cm}$

A

【分析】
解题时首先利用轴对称的性质：若两个点关于某条直线对称，则这条直线是两点连线的垂直平分线，垂直平分线上的点到两个对称点的距离相等，由此可以得到QM=PM、RN=PN。接着先计算出线段QN的长度，再结合RN的长度，通过线段和差即可求出QR的长度。
【解析】
∵ 点P关于OA的对称点是Q，OA垂直平分线段PQ
∴ QM = PM = 2 cm
∵ MN = 3.5 cm，Q在线段MN上
∴ QN = MN - QM = 3.5 cm - 2 cm = 1.5 cm
∵ 点P关于OB的对称点是R，OB垂直平分线段PR
∴ RN = PN = 3 cm
又
∵ R落在MN的延长线上
∴ QR = QN + RN = 1.5 cm + 3 cm = 4.5 cm
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质；线段和差计算
【点评】
本题侧重考查轴对称性质的灵活应用，解题的关键是根据对称关系找到相等的线段，再结合已知线段的长度通过和差运算求解，只要理清各线段的位置关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.7