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【例1】在同一平面直角坐标系中，画出函数$y_1=2x^2$，$y_2=2(x-2)^2$与$y_3=2(x+2)^2$的图象，并说明$y_2$，$y_3$的图象与$y_1=2x^2$的图象的关系.
规律总结 抛物线$y=ax^2$左右平移的规律:向左平移$h(h＞0)$个单位长度,得抛物线$y=a(x+h)^2$,向右平移$h(h＞0)$个单位长度,得抛物线$y=a(x-h)^2$,简称为"左加右减".
规律总结 抛物线$y=ax^2$左右平移的规律:向左平移$h(h＞0)$个单位长度,得抛物线$y=a(x+h)^2$,向右平移$h(h＞0)$个单位长度,得抛物线$y=a(x-h)^2$,简称为"左加右减".
答案
解:如图
. $y_2$ 的图象由 $y_1=2x^2$ 的图象向右平移 2 个单位长度得到；$y_3$ 的图象由 $y_1=2x^2$ 的图象向左平移 2 个单位长度得到。解析
【分析】
首先观察三个函数的解析式，它们的二次项系数均为2，说明三个抛物线的开口方向、开口大小完全相同，仅位置存在差异，因此只需判断图象的平移关系即可。解题时可以通过对比三个函数的顶点坐标，根据顶点的平移方向和距离确定抛物线的平移规律，也可以直接运用抛物线平移“左加右减”的规律，针对自变量x的变化判断平移方式。
【解析】
1. 先确定三个二次函数的顶点坐标：
函数$y_1=2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；
函数$y_2=2(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$；
函数$y_3=2(x+2)^2$的顶点坐标为$(-2,0)$。
2. 对比顶点的平移判断图象平移关系：
点$(0,0)$向右平移2个单位长度得到点$(2,0)$，因此$y_2$的图象是$y_1=2x^2$的图象向右平移2个单位长度得到的；
点$(0,0)$向左平移2个单位长度得到点$(-2,0)$，因此$y_3$的图象是$y_1=2x^2$的图象向左平移2个单位长度得到的。
也可直接根据“左加右减”的平移规律判断：自变量x减去2对应图象向右平移2个单位，自变量x加上2对应图象向左平移2个单位。
【答案】
如图。$y_2$ 的图象由 $y_1=2x^2$ 的图象向右平移 2 个单位长度得到；$y_3$ 的图象由 $y_1=2x^2$ 的图象向左平移 2 个单位长度得到。
【知识点】
二次函数图象平移；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心是掌握抛物线平移时“左加右减”的规律，注意平移规律是针对自变量x本身的变换，熟练掌握该规律即可快速解决这类图象平移问题。
【难度系数】
0.9
首先观察三个函数的解析式，它们的二次项系数均为2，说明三个抛物线的开口方向、开口大小完全相同，仅位置存在差异，因此只需判断图象的平移关系即可。解题时可以通过对比三个函数的顶点坐标，根据顶点的平移方向和距离确定抛物线的平移规律，也可以直接运用抛物线平移“左加右减”的规律，针对自变量x的变化判断平移方式。
【解析】
1. 先确定三个二次函数的顶点坐标：
函数$y_1=2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；
函数$y_2=2(x-2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$；
函数$y_3=2(x+2)^2$的顶点坐标为$(-2,0)$。
2. 对比顶点的平移判断图象平移关系：
点$(0,0)$向右平移2个单位长度得到点$(2,0)$，因此$y_2$的图象是$y_1=2x^2$的图象向右平移2个单位长度得到的；
点$(0,0)$向左平移2个单位长度得到点$(-2,0)$，因此$y_3$的图象是$y_1=2x^2$的图象向左平移2个单位长度得到的。
也可直接根据“左加右减”的平移规律判断：自变量x减去2对应图象向右平移2个单位，自变量x加上2对应图象向左平移2个单位。
【答案】
如图
。$y_2$ 的图象由 $y_1=2x^2$ 的图象向右平移 2 个单位长度得到；$y_3$ 的图象由 $y_1=2x^2$ 的图象向左平移 2 个单位长度得到。【知识点】
二次函数图象平移；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数图象平移的基础题型，核心是掌握抛物线平移时“左加右减”的规律，注意平移规律是针对自变量x本身的变换，熟练掌握该规律即可快速解决这类图象平移问题。
【难度系数】
0.9
【变式1】(2025滁州月考)将抛物线$y=(x+3)^2$平移得到抛物线$y=x^2$，则这个平移过程正确的是（
A.向左平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向上平移3个单位长度
D.向下平移3个单位长度
B
）A.向左平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向上平移3个单位长度
D.向下平移3个单位长度
答案
B
解析
【分析】
解题时可以从两个角度思考：一是抛物线平移的本质是顶点的平移，我们可以先分别确定两个抛物线的顶点坐标，通过顶点的移动方向和距离判断抛物线的平移方式；二是直接利用二次函数平移规律“左加右减，上加下减”（其中左右平移针对自变量x，上下平移针对常数项），推导如何平移原式可得到目标解析式。
【解析】
方法一：利用顶点坐标判断
抛物线$y=(x+3)^2$是顶点式，其顶点坐标为$(-3,0)$；
抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
顶点从$(-3,0)$移动到$(0,0)$，横坐标增加了3，纵坐标不变，即顶点向右平移了3个单位长度，因此对应抛物线向右平移3个单位长度。
方法二：利用平移规律验证
根据“左加右减”的平移规则，若将抛物线向右平移3个单位长度，需将原式中的$x$替换为$x-3$，代入得：
$y=(x-3+3)^2=x^2$，与目标解析式一致，故平移方式为向右平移3个单位长度。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象的平移规律、二次函数的顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，两种解题方法都需要熟练掌握，通过顶点坐标判断平移更直观，利用平移规律推导更直接，牢记相关规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可以从两个角度思考：一是抛物线平移的本质是顶点的平移，我们可以先分别确定两个抛物线的顶点坐标，通过顶点的移动方向和距离判断抛物线的平移方式；二是直接利用二次函数平移规律“左加右减，上加下减”（其中左右平移针对自变量x，上下平移针对常数项），推导如何平移原式可得到目标解析式。
【解析】
方法一：利用顶点坐标判断
抛物线$y=(x+3)^2$是顶点式，其顶点坐标为$(-3,0)$；
抛物线$y=x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。
顶点从$(-3,0)$移动到$(0,0)$，横坐标增加了3，纵坐标不变，即顶点向右平移了3个单位长度，因此对应抛物线向右平移3个单位长度。
方法二：利用平移规律验证
根据“左加右减”的平移规则，若将抛物线向右平移3个单位长度，需将原式中的$x$替换为$x-3$，代入得：
$y=(x-3+3)^2=x^2$，与目标解析式一致，故平移方式为向右平移3个单位长度。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象的平移规律、二次函数的顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，两种解题方法都需要熟练掌握，通过顶点坐标判断平移更直观，利用平移规律推导更直接，牢记相关规则就能快速解题。
【难度系数】
0.8
【变式2】把二次函数$y=a(x-h)^2$的图象向左平移2个单位长度后，得到$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$的图象，则$a=$
$-\frac{1}{2}$
，$h=$$1$
。答案
a. $-\frac{1}{2}$ h. $1$
解析
【分析】
解题思路可分为两步：① 二次函数图象平移仅改变位置，不改变开口方向和大小，因此二次项系数a不变，可直接得到a的值；② 熟练运用二次函数顶点式平移的“左加右减”规则，列出平移后的解析式，与已知平移后的解析式对比即可求出h的值。
【解析】
1. 求a的值：
二次函数图象平移时，图象的形状、开口方向均不变，因此二次项系数a与平移后函数的二次项系数相等，可得$a=-\frac{1}{2}$。
2. 求h的值：
原函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-h)^2$，根据函数图象平移“左加右减”的规则，向左平移2个单位后，自变量x替换为$x+2$，得到平移后的解析式：
$y=-\frac{1}{2}[(x+2)-h]^2=-\frac{1}{2}(x + 2 - h)^2$
已知平移后解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$，因此两个解析式的自变量部分常数项相等：
$2 - h = 1$
解得$h=1$。
【答案】
$a=-\frac{1}{2}$，$h=1$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式的性质
【点评】
本题考查二次函数图象平移的基础应用，核心是牢记“左加右减、上加下减”的平移规则，同时明确平移不会改变二次项系数a的取值，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：① 二次函数图象平移仅改变位置，不改变开口方向和大小，因此二次项系数a不变，可直接得到a的值；② 熟练运用二次函数顶点式平移的“左加右减”规则，列出平移后的解析式，与已知平移后的解析式对比即可求出h的值。
【解析】
1. 求a的值：
二次函数图象平移时，图象的形状、开口方向均不变，因此二次项系数a与平移后函数的二次项系数相等，可得$a=-\frac{1}{2}$。
2. 求h的值：
原函数解析式为$y=-\frac{1}{2}(x-h)^2$，根据函数图象平移“左加右减”的规则，向左平移2个单位后，自变量x替换为$x+2$，得到平移后的解析式：
$y=-\frac{1}{2}[(x+2)-h]^2=-\frac{1}{2}(x + 2 - h)^2$
已知平移后解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$，因此两个解析式的自变量部分常数项相等：
$2 - h = 1$
解得$h=1$。
【答案】
$a=-\frac{1}{2}$，$h=1$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式的性质
【点评】
本题考查二次函数图象平移的基础应用，核心是牢记“左加右减、上加下减”的平移规则，同时明确平移不会改变二次项系数a的取值，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
【例2】已知二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$。
(1)其图象的开口________，对称轴为直线________。
(2)在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出抛物线。
(3)观察图象确定：
①抛物线的顶点坐标是________。
②当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而________；当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而________。
③当$x=\_\_\_\_\_\_$时，$y$有最________值，其最值是________。
(4)抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$可以看成是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$经过怎样的平移得到的？
易错提醒 抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点坐标是$(h,0)$，不是$(-h,0)$；对称轴是直线$x=h$，不是直线$x=-h$。
(1)其图象的开口________，对称轴为直线________。
(2)在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出抛物线。
(3)观察图象确定：
①抛物线的顶点坐标是________。
②当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而________；当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而________。
③当$x=\_\_\_\_\_\_$时，$y$有最________值，其最值是________。
(4)抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$可以看成是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$经过怎样的平移得到的？
易错提醒 抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点坐标是$(h,0)$，不是$(-h,0)$；对称轴是直线$x=h$，不是直线$x=-h$。
答案
(1) 向下 $x=1$
(2) 画图略
(3) ① $(1,0)$ ② 减小 增大 ③ $1$ 大 $0$
(4) 抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$ 可以看成是由抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 向右平移 1 个单位长度得到的。
(2) 画图略
(3) ① $(1,0)$ ② 减小 增大 ③ $1$ 大 $0$
(4) 抛物线 $y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$ 可以看成是由抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 向右平移 1 个单位长度得到的。
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：1. 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，先根据$a$的符号判断开口方向，$a＜0$开口向下，$a＞0$开口向上，对称轴为直线$x=h$；2. 画函数图象采用描点法，先取对称轴及左右对称的点计算对应函数值，再描点、用平滑曲线连接；3. 顶点坐标为$(h,0)$，结合开口方向判断增减性：开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小，顶点处取最大值；4. 函数图象平移遵循“左加右减（针对$x$），上加下减（针对常数项）”的规律，据此判断平移方向和距离。
【解析】
(1) 二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$中，$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此图象开口向下；根据顶点式性质，对称轴为直线$x=1$。
(2) 采用描点法画图：①列表：取$x=-1,0,1,2,3$，对应$y$值分别为$-2,-\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2},-2$；②在坐标系中描出上述点；③用平滑曲线顺次连接各点，即可得到抛物线。
(3) ①顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，因此该抛物线顶点为$(1,0)$；②抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，因此当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大；③由于抛物线开口向下，函数有最大值，在顶点处取得最值，即当$x=1$时，$y$有最大值$0$。
(4) 根据二次函数平移规律“左加右减”，抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的自变量$x$替换为$x-1$即可得到$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$，因此是向右平移1个单位长度得到的。
【答案】
(1) 向下；$x=1$
(2) 画图略
(3) ①$(1,0)$ ②减小；增大 ③$1$；大；$0$
(4) 抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$可以看成是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向右平移1个单位长度得到的。
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的图象与增减性；二次函数图象的平移
【点评】
本题是二次函数的基础题，核心考查顶点式中参数的意义、图象性质和平移规律，解题时要注意区分顶点式中$h$的符号，避免对称轴、顶点坐标判断错误，以及平移时方向搞反，熟练掌握基础性质是解决后续二次函数综合题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：1. 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，先根据$a$的符号判断开口方向，$a＜0$开口向下，$a＞0$开口向上，对称轴为直线$x=h$；2. 画函数图象采用描点法，先取对称轴及左右对称的点计算对应函数值，再描点、用平滑曲线连接；3. 顶点坐标为$(h,0)$，结合开口方向判断增减性：开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小，顶点处取最大值；4. 函数图象平移遵循“左加右减（针对$x$），上加下减（针对常数项）”的规律，据此判断平移方向和距离。
【解析】
(1) 二次函数$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$中，$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此图象开口向下；根据顶点式性质，对称轴为直线$x=1$。
(2) 采用描点法画图：①列表：取$x=-1,0,1,2,3$，对应$y$值分别为$-2,-\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2},-2$；②在坐标系中描出上述点；③用平滑曲线顺次连接各点，即可得到抛物线。
(3) ①顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，因此该抛物线顶点为$(1,0)$；②抛物线开口向下，对称轴为$x=1$，因此当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大；③由于抛物线开口向下，函数有最大值，在顶点处取得最值，即当$x=1$时，$y$有最大值$0$。
(4) 根据二次函数平移规律“左加右减”，抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$的自变量$x$替换为$x-1$即可得到$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$，因此是向右平移1个单位长度得到的。
【答案】
(1) 向下；$x=1$
(2) 画图略
(3) ①$(1,0)$ ②减小；增大 ③$1$；大；$0$
(4) 抛物线$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$可以看成是由抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$向右平移1个单位长度得到的。
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的图象与增减性；二次函数图象的平移
【点评】
本题是二次函数的基础题，核心考查顶点式中参数的意义、图象性质和平移规律，解题时要注意区分顶点式中$h$的符号，避免对称轴、顶点坐标判断错误，以及平移时方向搞反，熟练掌握基础性质是解决后续二次函数综合题的关键。
【难度系数】
0.8
