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6. $(-10) ÷ (-\dfrac{1}{10}) ÷ (-12)$。
想一想:下面两种计算正确吗?若正确,请说明理由;若不正确,请给出正确的运算方法。
(1)解:原式$= (-10) ÷ (\dfrac{1}{10} ÷ 12)$
$= (-10) ÷ (\dfrac{1}{120})$
$= -1200$；
(2)解:原式$= (-\dfrac{1}{10}) ÷ (-10) ÷ (-12)$
$= \dfrac{1}{100} ÷ (-12)$
$= -\dfrac{1}{1200}$。
想一想:下面两种计算正确吗?若正确,请说明理由;若不正确,请给出正确的运算方法。
(1)解:原式$= (-10) ÷ (\dfrac{1}{10} ÷ 12)$
$= (-10) ÷ (\dfrac{1}{120})$
$= -1200$；
(2)解:原式$= (-\dfrac{1}{10}) ÷ (-10) ÷ (-12)$
$= \dfrac{1}{100} ÷ (-12)$
$= -\dfrac{1}{1200}$。
答案
解：两种计算都不正确。
(1)的错误：有理数除法没有结合律，该运算错误套用结合律，同时遗漏了除数的负号，运算逻辑错误。
(2)的错误：有理数除法没有交换律，该运算错误交换了原式中被除数和除数的位置，改变了原式的运算顺序，结果错误。
正确运算过程：
根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数：
$\begin{aligned}原式&=(-10)×(-10)×(-\dfrac{1}{12})\\&=100×(-\dfrac{1}{12})\\&=-\dfrac{25}{3}\end{aligned}$
(1)的错误：有理数除法没有结合律，该运算错误套用结合律，同时遗漏了除数的负号，运算逻辑错误。
(2)的错误：有理数除法没有交换律，该运算错误交换了原式中被除数和除数的位置，改变了原式的运算顺序，结果错误。
正确运算过程：
根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数：
$\begin{aligned}原式&=(-10)×(-10)×(-\dfrac{1}{12})\\&=100×(-\dfrac{1}{12})\\&=-\dfrac{25}{3}\end{aligned}$
解析
【分析】
这道题考查有理数除法的运算规则及运算律的适用范围。解题时首先要明确：除法没有交换律和结合律，不能直接套用乘法的运算律处理除法运算，否则会改变原式的运算顺序或数值，导致结果错误。正确的思考路径是：先判断两种算法的错误之处，再根据有理数除法法则“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，将所有除法运算转化为乘法运算，再按照有理数乘法的运算法则计算，过程中注意符号的判断。
【解析】
两种计算都不正确。
(1)的错误：有理数除法没有结合律，该运算错误套用乘法结合律对除法进行结合运算，同时运算时遗漏了除数的负号，运算逻辑完全错误。
(2)的错误：有理数除法没有交换律，该运算错误交换了原式中被除数和除数的位置，随意改变了原式的运算顺序，导致结果错误。
正确运算过程：
根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数：
$\begin{aligned}原式&=(-10)×(-10)×(-\dfrac{1}{12})\\&=100×(-\dfrac{1}{12})\\&=-\dfrac{25}{3}\end{aligned}$
【答案】
两种计算都不正确，正确结果为$\boldsymbol{-\dfrac{25}{3}}$
【知识点】
有理数除法法则；乘除混合运算；运算律适用范围
【点评】
本题易出现的错误是混淆乘法和除法的运算律，直接将乘法的交换律、结合律套用到除法运算中。解题时需要先将除法转化为乘法，再结合乘法运算律计算，同时要注意多个有理数相乘时的符号判断，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
这道题考查有理数除法的运算规则及运算律的适用范围。解题时首先要明确：除法没有交换律和结合律，不能直接套用乘法的运算律处理除法运算，否则会改变原式的运算顺序或数值，导致结果错误。正确的思考路径是：先判断两种算法的错误之处，再根据有理数除法法则“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，将所有除法运算转化为乘法运算，再按照有理数乘法的运算法则计算，过程中注意符号的判断。
【解析】
两种计算都不正确。
(1)的错误：有理数除法没有结合律，该运算错误套用乘法结合律对除法进行结合运算，同时运算时遗漏了除数的负号，运算逻辑完全错误。
(2)的错误：有理数除法没有交换律，该运算错误交换了原式中被除数和除数的位置，随意改变了原式的运算顺序，导致结果错误。
正确运算过程：
根据有理数除法法则，除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数：
$\begin{aligned}原式&=(-10)×(-10)×(-\dfrac{1}{12})\\&=100×(-\dfrac{1}{12})\\&=-\dfrac{25}{3}\end{aligned}$
【答案】
两种计算都不正确，正确结果为$\boldsymbol{-\dfrac{25}{3}}$
【知识点】
有理数除法法则；乘除混合运算；运算律适用范围
【点评】
本题易出现的错误是混淆乘法和除法的运算律，直接将乘法的交换律、结合律套用到除法运算中。解题时需要先将除法转化为乘法，再结合乘法运算律计算，同时要注意多个有理数相乘时的符号判断，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
7. 我们规定 $ m※n = \begin{cases}-mn & (m ≥ n) \\ m ÷ n & (m ＜ n)\end{cases}$，则 $ (-\dfrac{1}{3})※(-6)※5 $ 的值为 ( )
A.-1
B.1
C.$ -\dfrac{2}{5} $
D.$ \dfrac{2}{5} $
A.-1
B.1
C.$ -\dfrac{2}{5} $
D.$ \dfrac{2}{5} $
答案
C
解析
【分析】
本题是定义新运算类题目，解题需遵循“分步计算、先判后算”的思路：①首先明确新运算的规则：当运算符左侧的数≥右侧的数时，运算结果为两数乘积的相反数；当左侧的数＜右侧的数时，运算结果为左侧数除以右侧数。②连运算需从左到右依次计算，每一步先比较运算符左右两个数的大小，再选择对应的运算公式代入计算即可。
【解析】
第一步：先计算$(-\dfrac{1}{3})※(-6)$
先比较两个数的大小：$\because -\dfrac{1}{3} ＞ -6$，满足$m≥n$的运算规则
$\therefore (-\dfrac{1}{3})※(-6) = -[(-\dfrac{1}{3})×(-6)] = -2$
第二步：再计算$(-2)※5$
比较两个数的大小：$\because -2 ＜ 5$，满足$m ＜ n$的运算规则
$\therefore (-2)※5 = (-2)÷5 = -\dfrac{2}{5}$
【答案】
C
【知识点】
定义新运算；有理数大小比较；有理数乘除运算
【点评】
本题解题的核心是准确理解新运算的规则，注意分步计算时每一步都要先判断大小再选对应运算式，计算有理数乘除时要注意符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
本题是定义新运算类题目，解题需遵循“分步计算、先判后算”的思路：①首先明确新运算的规则：当运算符左侧的数≥右侧的数时，运算结果为两数乘积的相反数；当左侧的数＜右侧的数时，运算结果为左侧数除以右侧数。②连运算需从左到右依次计算，每一步先比较运算符左右两个数的大小，再选择对应的运算公式代入计算即可。
【解析】
第一步：先计算$(-\dfrac{1}{3})※(-6)$
先比较两个数的大小：$\because -\dfrac{1}{3} ＞ -6$，满足$m≥n$的运算规则
$\therefore (-\dfrac{1}{3})※(-6) = -[(-\dfrac{1}{3})×(-6)] = -2$
第二步：再计算$(-2)※5$
比较两个数的大小：$\because -2 ＜ 5$，满足$m ＜ n$的运算规则
$\therefore (-2)※5 = (-2)÷5 = -\dfrac{2}{5}$
【答案】
C
【知识点】
定义新运算；有理数大小比较；有理数乘除运算
【点评】
本题解题的核心是准确理解新运算的规则，注意分步计算时每一步都要先判断大小再选对应运算式，计算有理数乘除时要注意符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
8. 已知$a,b,c$是有理数，当$abc＜0$时，则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}$的值是（）
A.1或-3
B.1,-1或-3
C.-1或3
D.1,-1,3或-3
A.1或-3
B.1,-1或-3
C.-1或3
D.1,-1,3或-3
答案
A
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先根据有理数乘法的符号法则，由$abc＜0$判断$a、b、c$中负因数的个数为奇数（即1个负数或3个负数，且三个数均不为0，否则乘积为0，不符合题意）；其次明确$\frac{|x|}{x}$的化简规则：正数的绝对值等于本身，因此正数代入得1，负数的绝对值等于它的相反数，因此负数代入得-1；最后分两类情况计算代数式的结果，汇总后匹配选项即可。
【解析】
已知$abc＜0$，可得$a、b、c$均不为0，且负因数的个数为奇数，分两种情况讨论：
1. 当$a、b、c$中有1个负数、2个正数时：
负数对应的$\frac{|x|}{x}=-1$，每个正数对应的$\frac{|x|}{x}=1$，代入原式得：$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=-1+1+1=1$；
2. 当$a、b、c$全为负数时：
每个数对应的$\frac{|x|}{x}=-1$，代入原式得：$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=-1+(-1)+(-1)=-3$。
因此原式的值为1或-3。
【答案】
A
【知识点】
1. 有理数乘法符号法则
2. 绝对值的性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题重点考查有理数相关性质的综合运用，需要结合乘法符号规律分类讨论，易错点是误判负因数的个数，或者忽略分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先根据有理数乘法的符号法则，由$abc＜0$判断$a、b、c$中负因数的个数为奇数（即1个负数或3个负数，且三个数均不为0，否则乘积为0，不符合题意）；其次明确$\frac{|x|}{x}$的化简规则：正数的绝对值等于本身，因此正数代入得1，负数的绝对值等于它的相反数，因此负数代入得-1；最后分两类情况计算代数式的结果，汇总后匹配选项即可。
【解析】
已知$abc＜0$，可得$a、b、c$均不为0，且负因数的个数为奇数，分两种情况讨论：
1. 当$a、b、c$中有1个负数、2个正数时：
负数对应的$\frac{|x|}{x}=-1$，每个正数对应的$\frac{|x|}{x}=1$，代入原式得：$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=-1+1+1=1$；
2. 当$a、b、c$全为负数时：
每个数对应的$\frac{|x|}{x}=-1$，代入原式得：$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}+\frac{|c|}{c}=-1+(-1)+(-1)=-3$。
因此原式的值为1或-3。
【答案】
A
【知识点】
1. 有理数乘法符号法则
2. 绝对值的性质
3. 分类讨论思想
【点评】
本题重点考查有理数相关性质的综合运用，需要结合乘法符号规律分类讨论，易错点是误判负因数的个数，或者忽略分母不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
9. 阅读下列材料,完成下面任务:
巧用乘法对加法的分配律计算
周末的一天,我在一本数学杂志上看到这样一道题:计算$\frac{1}{12}÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{5}{12})$。
该杂志上的解法有如下两种方法:
解:方法1 原式$=\frac{1}{12}÷(\frac{4}{12}-\frac{3}{12}-\frac{5}{12})$
$\frac{1}{12}×\frac{12}{4}=-\frac{1}{4}$;
方法2 原式的倒数$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{5}{12})÷\frac{1}{12}=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{5}{12})×12=4-3-5=-4$,
所以原式$=-\frac{1}{4}$。
任务:(1)材料中的方法1是先求括号内的运算,再求括号外的运算。(填“加法”“减法”“乘法”或“除法”)
(2)小明联想到材料中的方法,给出了如下解法。
解:原式$=\frac{1}{12}÷\frac{1}{3}-\frac{1}{12}÷\frac{1}{4}-\frac{1}{12}÷\frac{5}{12}=\frac{1}{12}×3-\frac{1}{12}×4-\frac{1}{12}×\frac{12}{5}$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$
$=\frac{15-20-12}{60}$
$=-\frac{17}{60}$。
显然小明的解法是错误的,错误的原因是。
(3)根据材料中的方法2计算:$(-\frac{1}{15})÷(\frac{2}{3}-\frac{4}{5}+\frac{1}{15})$。
巧用乘法对加法的分配律计算
周末的一天,我在一本数学杂志上看到这样一道题:计算$\frac{1}{12}÷(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{5}{12})$。
该杂志上的解法有如下两种方法:
解:方法1 原式$=\frac{1}{12}÷(\frac{4}{12}-\frac{3}{12}-\frac{5}{12})$
$\frac{1}{12}×\frac{12}{4}=-\frac{1}{4}$;方法2 原式的倒数$=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{5}{12})÷\frac{1}{12}=(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{5}{12})×12=4-3-5=-4$,
所以原式$=-\frac{1}{4}$。
任务:(1)材料中的方法1是先求括号内的运算,再求括号外的运算。(填“加法”“减法”“乘法”或“除法”)
(2)小明联想到材料中的方法,给出了如下解法。
解:原式$=\frac{1}{12}÷\frac{1}{3}-\frac{1}{12}÷\frac{1}{4}-\frac{1}{12}÷\frac{5}{12}=\frac{1}{12}×3-\frac{1}{12}×4-\frac{1}{12}×\frac{12}{5}$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$
$=\frac{15-20-12}{60}$
$=-\frac{17}{60}$。
显然小明的解法是错误的,错误的原因是。
(3)根据材料中的方法2计算:$(-\frac{1}{15})÷(\frac{2}{3}-\frac{4}{5}+\frac{1}{15})$。
答案
解：
(1) 减法；除法
(2) 除法没有分配律，小明错误地将被除数分别除以括号内的各项，误用乘法分配律
(3) 原式的倒数为：
$(\frac{2}{3}-\frac{4}{5}+\frac{1}{15})÷(-\frac{1}{15})$
$=(\frac{2}{3}-\frac{4}{5}+\frac{1}{15})×(-15)$
$=\frac{2}{3}×(-15)-\frac{4}{5}×(-15)+\frac{1}{15}×(-15)$
$=-10+12-1$
$=1$
所以原式$=1$
(1) 减法；除法
(2) 除法没有分配律，小明错误地将被除数分别除以括号内的各项，误用乘法分配律
(3) 原式的倒数为：
$(\frac{2}{3}-\frac{4}{5}+\frac{1}{15})÷(-\frac{1}{15})$
$=(\frac{2}{3}-\frac{4}{5}+\frac{1}{15})×(-15)$
$=\frac{2}{3}×(-15)-\frac{4}{5}×(-15)+\frac{1}{15}×(-15)$
$=-10+12-1$
$=1$
所以原式$=1$
解析
【分析】
(1) 按照有理数混合运算顺序，有括号先算括号内的运算，观察方法1的步骤，先对括号内的分数通分计算减法，再计算括号外的除法，即可得出答案。
(2) 运算律中只有乘法分配律，除法不存在分配律，小明错误地把乘法分配律套用到除法运算中，将被除数分别除以括号内的每一项，不符合运算规则，因此出错。
(3) 参考材料中的方法2，先求原式的倒数，将除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律简化计算得到倒数的值，最后求倒数的结果就是原式的值，该方法可以避免先通分计算括号内的复杂运算。
【解析】
(1) 方法1先对括号内的分数通分，计算$\frac{4}{12}-\frac{3}{12}-\frac{5}{12}$，属于减法运算，得到括号内的结果后再计算$\frac{1}{12}$除以该结果，属于除法运算，因此依次填减法、除法。
(2) 乘法分配律仅适用于乘法运算，除法没有分配律，不能将$a÷(b+c-d)$拆分为$a÷ b - a÷ c - a÷ d$，小明的错误就是误用乘法分配律到除法运算中，错误地将被除数分别除以括号内的各项。
(3) 按照方法2，先计算原式的倒数：
$\begin{aligned}\mathrm{原式的倒数}&=(\frac{2}{3}-\frac{4}{5}+\frac{1}{15})÷(-\frac{1}{15})\\&=(\frac{2}{3}-\frac{4}{5}+\frac{1}{15})×(-15)\\&=\frac{2}{3}×(-15)-\frac{4}{5}×(-15)+\frac{1}{15}×(-15)\\&=-10 + 12 - 1\\&=1\end{aligned}$
因为倒数为1，所以原式的值为1。
【答案】
(1) 减法；除法
(2) 除法没有分配律，小明错误地将被除数分别除以括号内的各项，误用乘法分配律
(3) $1$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，倒数的性质
【点评】
本题围绕有理数除法的简便运算展开，通过正误解法对比和方法迁移，引导学生明确运算律的适用范围，掌握巧用倒数和乘法分配律简化除法运算的技巧，计算时需严格遵循运算顺序，避免随意套用运算律导致错误。
【难度系数】
0.7
(1) 按照有理数混合运算顺序，有括号先算括号内的运算，观察方法1的步骤，先对括号内的分数通分计算减法，再计算括号外的除法，即可得出答案。
(2) 运算律中只有乘法分配律，除法不存在分配律，小明错误地把乘法分配律套用到除法运算中，将被除数分别除以括号内的每一项，不符合运算规则，因此出错。
(3) 参考材料中的方法2，先求原式的倒数，将除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律简化计算得到倒数的值，最后求倒数的结果就是原式的值，该方法可以避免先通分计算括号内的复杂运算。
【解析】
(1) 方法1先对括号内的分数通分，计算$\frac{4}{12}-\frac{3}{12}-\frac{5}{12}$，属于减法运算，得到括号内的结果后再计算$\frac{1}{12}$除以该结果，属于除法运算，因此依次填减法、除法。
(2) 乘法分配律仅适用于乘法运算，除法没有分配律，不能将$a÷(b+c-d)$拆分为$a÷ b - a÷ c - a÷ d$，小明的错误就是误用乘法分配律到除法运算中，错误地将被除数分别除以括号内的各项。
(3) 按照方法2，先计算原式的倒数：
$\begin{aligned}\mathrm{原式的倒数}&=(\frac{2}{3}-\frac{4}{5}+\frac{1}{15})÷(-\frac{1}{15})\\&=(\frac{2}{3}-\frac{4}{5}+\frac{1}{15})×(-15)\\&=\frac{2}{3}×(-15)-\frac{4}{5}×(-15)+\frac{1}{15}×(-15)\\&=-10 + 12 - 1\\&=1\end{aligned}$
因为倒数为1，所以原式的值为1。
【答案】
(1) 减法；除法
(2) 除法没有分配律，小明错误地将被除数分别除以括号内的各项，误用乘法分配律
(3) $1$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，倒数的性质
【点评】
本题围绕有理数除法的简便运算展开，通过正误解法对比和方法迁移，引导学生明确运算律的适用范围，掌握巧用倒数和乘法分配律简化除法运算的技巧，计算时需严格遵循运算顺序，避免随意套用运算律导致错误。
【难度系数】
0.7
