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15.【问题情境】在数学活动课上,同学们玩“计算竞大”游戏:每场游戏开始时甲、乙两人手上各执四张数字牌和四张运算符号牌,四张数字牌上分别标有一个数字,四张运算符号牌分别标有“+”“-”“×”“÷”四个运算符号,双方都能看到对方牌面的信息。游戏开始,两人轮流出牌,每次只有一人出牌。
游戏规则:
①第一次由先出牌者出一张数字牌,直接作为第一次结果。
②从第二次开始,每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌,与上一次结果进行相应运算,运算结果记为本次结果。若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大,则游戏继续;否则游戏结束,本次出牌者失利,对方获得本场游戏胜利。
③若游戏继续,则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止。若最后一次结果的绝对值大于上一次结果的绝对值,则最后一次出牌者获得本场游戏胜利;否则对方获胜。
(相应的运算示例:若上一次的结果为-3,本次出牌的符号为“÷”,数字为“2”,则相应的运算为$-3÷2$)
【问题解决】在某一场游戏前,甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下:
(1)若第一次甲出“2”,第二次乙出“-”和“3”,直接写出第二次的结果,并判断游戏是否继续。
(2)若第一次甲出“-3”,第二次乙出“-”和“1”,第三次甲出“÷”和“$-\dfrac{1}{3}$”,第四次乙出“×”和“3”,第五次甲出“×”和“2”,请列出综合算式求第五次的结果。
(3)在(2)的基础上,第六次乙应如何出牌才能保证最后的结果总是自己胜出?请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案,并说明该方案乙必胜的理由。
游戏规则:
①第一次由先出牌者出一张数字牌,直接作为第一次结果。
②从第二次开始,每次由出牌者出一张符号牌和一张数字牌,与上一次结果进行相应运算,运算结果记为本次结果。若本次结果的绝对值比上一次结果的绝对值大,则游戏继续;否则游戏结束,本次出牌者失利,对方获得本场游戏胜利。
③若游戏继续,则按上述规则玩到两人手上都没有数字牌为止。若最后一次结果的绝对值大于上一次结果的绝对值,则最后一次出牌者获得本场游戏胜利;否则对方获胜。
(相应的运算示例:若上一次的结果为-3,本次出牌的符号为“÷”,数字为“2”,则相应的运算为$-3÷2$)
【问题解决】在某一场游戏前,甲、乙两人拿到的数字牌和符号牌如下:
(1)若第一次甲出“2”,第二次乙出“-”和“3”,直接写出第二次的结果,并判断游戏是否继续。
(2)若第一次甲出“-3”,第二次乙出“-”和“1”,第三次甲出“÷”和“$-\dfrac{1}{3}$”,第四次乙出“×”和“3”,第五次甲出“×”和“2”,请列出综合算式求第五次的结果。
(3)在(2)的基础上,第六次乙应如何出牌才能保证最后的结果总是自己胜出?请写出保证乙能最终获胜的第六次出牌方案,并说明该方案乙必胜的理由。
答案
解：(1) 第二次的结果为 $2-3=-1$。
因为 $|-1|=1$，$|2|=2$，$1＜2$，所以游戏不继续，游戏结束。
(2) 综合算式：
$\begin{aligned}(-3 - 1) ÷ (-\frac{1}{3}) × 3 × 2&= (-4) × (-3) × 3 × 2\\&=72\end{aligned}$
第五次的结果为 $72$。
(3) 乙第六次的出牌方案：出运算符号“$+$”和数字牌“$4$”。
理由：
第五次的结果为 $72$，乙出牌后运算结果为 $72+4=76$，$|76|=76＞72$，游戏继续。
此时甲剩余的牌只有运算符号“$+$”“$-$”和数字牌“$5$”，分两种情况：
① 若甲出“$-$”和“$5$”，运算结果为 $76-5=71$，$|71|=71＜76$，游戏结束，本次出牌的甲失利，乙获胜。
② 若甲出“$+$”和“$5$”，运算结果为 $76+5=81$，$|81|=81＞76$，游戏继续，此时乙剩余的牌只有运算符号“$÷$”和数字牌“$-\frac{1}{2}$”，运算结果为 $81 ÷ (-\frac{1}{2}) = -162$，$|-162|=162＞81$，双方所有数字牌都已出完，最后一次结果的绝对值大于上一次结果的绝对值，最后出牌的乙获胜。
综上，无论甲如何出牌，乙都能保证最终胜出。
因为 $|-1|=1$，$|2|=2$，$1＜2$，所以游戏不继续，游戏结束。
(2) 综合算式：
$\begin{aligned}(-3 - 1) ÷ (-\frac{1}{3}) × 3 × 2&= (-4) × (-3) × 3 × 2\\&=72\end{aligned}$
第五次的结果为 $72$。
(3) 乙第六次的出牌方案：出运算符号“$+$”和数字牌“$4$”。
理由：
第五次的结果为 $72$，乙出牌后运算结果为 $72+4=76$，$|76|=76＞72$，游戏继续。
此时甲剩余的牌只有运算符号“$+$”“$-$”和数字牌“$5$”，分两种情况：
① 若甲出“$-$”和“$5$”，运算结果为 $76-5=71$，$|71|=71＜76$，游戏结束，本次出牌的甲失利，乙获胜。
② 若甲出“$+$”和“$5$”，运算结果为 $76+5=81$，$|81|=81＞76$，游戏继续，此时乙剩余的牌只有运算符号“$÷$”和数字牌“$-\frac{1}{2}$”，运算结果为 $81 ÷ (-\frac{1}{2}) = -162$，$|-162|=162＞81$，双方所有数字牌都已出完，最后一次结果的绝对值大于上一次结果的绝对值，最后出牌的乙获胜。
综上，无论甲如何出牌，乙都能保证最终胜出。
解析
【分析】
本题需结合给定的游戏规则，逐步分析每一步的运算及结果绝对值的比较逻辑：
(1) 先确定第一次结果，再根据第二次的符号和数字进行对应运算，最后比较两次结果的绝对值判断游戏是否继续；
(2) 按照游戏规则的运算顺序，依次列出每次运算的式子，依据有理数混合运算的法则计算第五次结果；
(3) 要保证乙最终获胜，第六次出牌后结果的绝对值需大于第五次结果的绝对值，再分情况分析甲后续的出牌，确保乙最后能让结果绝对值更大。
【解析】
(1) 第一次甲出“2”，则第一次结果为2；第二次乙出“-”和“3”，运算为：$2 - 3 = -1$。
比较绝对值：$|-1|=1$，$|2|=2$，因为$1＜2$，所以游戏不继续，游戏结束。
(2) 根据游戏规则，依次运算：
第一次结果为$-3$，第二次运算：$-3 - 1$；
第三次运算：$(-3 - 1) ÷ (-\frac{1}{3})$；
第四次运算：$[(-3 - 1) ÷ (-\frac{1}{3})] × 3$；
第五次运算：$[(-3 - 1) ÷ (-\frac{1}{3}) × 3] × 2$；
计算过程：
$\begin{aligned}(-3 - 1) ÷ (-\frac{1}{3}) × 3 × 2&= (-4) × (-3) × 3 × 2\\&=12×3×2\\&=72\end{aligned}$
(3) 乙第六次的出牌方案：出运算符号“$+$”和数字牌“$4$”。
理由：第五次结果为$72$，乙出牌后运算结果为$72 + 4 =76$，$|76|=76＞72$，游戏继续。
此时甲剩余数字牌为$5$，运算符号为“$+$”“$-$”，分两种情况：
① 若甲出“$-$”和“$5$”，运算结果为$76 -5=71$，$|71|=71＜76$，游戏结束，本次出牌的甲失利，乙获胜；
② 若甲出“$+$”和“$5$”，运算结果为$76 +5=81$，$|81|=81＞76$，游戏继续，此时乙剩余运算符号“$÷$”和数字牌“$-\frac{1}{2}$”，运算结果为$81 ÷ (-\frac{1}{2}) = -162$，$|-162|=162＞81$，双方所有数字牌都已出完，最后一次结果的绝对值大于上一次结果的绝对值，最后出牌的乙获胜。
综上，无论甲如何出牌，乙都能保证最终胜出。
【答案】
(1) 第二次结果为$-1$，游戏不继续；
(2) 第五次结果为$72$；
(3) 第六次出牌方案为出运算符号“$+$”和数字“$4$”，理由见解析。
【知识点】
有理数混合运算、绝对值、有理数运算规则
【点评】
本题结合游戏情境考查有理数运算，需准确理解规则，同时具备逻辑推理能力，逐步分析每一步的运算及结果判断，属于综合应用类题目。
【难度系数】
0.5
本题需结合给定的游戏规则，逐步分析每一步的运算及结果绝对值的比较逻辑：
(1) 先确定第一次结果，再根据第二次的符号和数字进行对应运算，最后比较两次结果的绝对值判断游戏是否继续；
(2) 按照游戏规则的运算顺序，依次列出每次运算的式子，依据有理数混合运算的法则计算第五次结果；
(3) 要保证乙最终获胜，第六次出牌后结果的绝对值需大于第五次结果的绝对值，再分情况分析甲后续的出牌，确保乙最后能让结果绝对值更大。
【解析】
(1) 第一次甲出“2”，则第一次结果为2；第二次乙出“-”和“3”，运算为：$2 - 3 = -1$。
比较绝对值：$|-1|=1$，$|2|=2$，因为$1＜2$，所以游戏不继续，游戏结束。
(2) 根据游戏规则，依次运算：
第一次结果为$-3$，第二次运算：$-3 - 1$；
第三次运算：$(-3 - 1) ÷ (-\frac{1}{3})$；
第四次运算：$[(-3 - 1) ÷ (-\frac{1}{3})] × 3$；
第五次运算：$[(-3 - 1) ÷ (-\frac{1}{3}) × 3] × 2$；
计算过程：
$\begin{aligned}(-3 - 1) ÷ (-\frac{1}{3}) × 3 × 2&= (-4) × (-3) × 3 × 2\\&=12×3×2\\&=72\end{aligned}$
(3) 乙第六次的出牌方案：出运算符号“$+$”和数字牌“$4$”。
理由：第五次结果为$72$，乙出牌后运算结果为$72 + 4 =76$，$|76|=76＞72$，游戏继续。
此时甲剩余数字牌为$5$，运算符号为“$+$”“$-$”，分两种情况：
① 若甲出“$-$”和“$5$”，运算结果为$76 -5=71$，$|71|=71＜76$，游戏结束，本次出牌的甲失利，乙获胜；
② 若甲出“$+$”和“$5$”，运算结果为$76 +5=81$，$|81|=81＞76$，游戏继续，此时乙剩余运算符号“$÷$”和数字牌“$-\frac{1}{2}$”，运算结果为$81 ÷ (-\frac{1}{2}) = -162$，$|-162|=162＞81$，双方所有数字牌都已出完，最后一次结果的绝对值大于上一次结果的绝对值，最后出牌的乙获胜。
综上，无论甲如何出牌，乙都能保证最终胜出。
【答案】
(1) 第二次结果为$-1$，游戏不继续；
(2) 第五次结果为$72$；
(3) 第六次出牌方案为出运算符号“$+$”和数字“$4$”，理由见解析。
【知识点】
有理数混合运算、绝对值、有理数运算规则
【点评】
本题结合游戏情境考查有理数运算，需准确理解规则，同时具备逻辑推理能力，逐步分析每一步的运算及结果判断，属于综合应用类题目。
【难度系数】
0.5
