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17.（本小题满分10分）
老师在黑板上写出了一个代数式的正确运算结果，随后他用手掌捂住了其中的一部分，形式如下：
$( $
$ - \frac{x^2 -1}{x^2 +2x +1} ) ÷ \frac{x}{x+1} = \frac{x^2 -x +1}{x}$
(1)求所捂部分化简后的结果.
(2)若$x^2 -x -1=0$，求(1)中所得代数式的值.
老师在黑板上写出了一个代数式的正确运算结果，随后他用手掌捂住了其中的一部分，形式如下：
$( $
$ - \frac{x^2 -1}{x^2 +2x +1} ) ÷ \frac{x}{x+1} = \frac{x^2 -x +1}{x}$(1)求所捂部分化简后的结果.
(2)若$x^2 -x -1=0$，求(1)中所得代数式的值.
答案
17. 解：(1)根据题意，得所捂部分为
$\dfrac{x}{x+1}·\dfrac{x^2-x+1}{x}+\dfrac{x^2-1}{x^2+2x+1}$
$=\dfrac{x}{x+1}·\dfrac{x^2-x+1}{x}+\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}$
$=\dfrac{x^2-x+1}{x+1}+\dfrac{x-1}{x+1}$
$=\dfrac{x^2}{x+1}$.
(2)根据$x^2-x-1=0$，
变形，得$x^2=x+1$.
故$\dfrac{x^2}{x+1}=\dfrac{x^2}{x^2}=1$.
$\dfrac{x}{x+1}·\dfrac{x^2-x+1}{x}+\dfrac{x^2-1}{x^2+2x+1}$
$=\dfrac{x}{x+1}·\dfrac{x^2-x+1}{x}+\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}$
$=\dfrac{x^2-x+1}{x+1}+\dfrac{x-1}{x+1}$
$=\dfrac{x^2}{x+1}$.
(2)根据$x^2-x-1=0$，
变形，得$x^2=x+1$.
故$\dfrac{x^2}{x+1}=\dfrac{x^2}{x^2}=1$.
解析
【分析】
(1) 设被捂住的部分为$A$，将原式看作关于$A$的等式，利用运算的逆性求解：先把除法逆转为乘法，再把减法逆转为加法，即可得到$A$的表达式。接下来对表达式中各分式的分子、分母因式分解，再依次约分、通分化简，就能得到$A$的最简形式。
(2) 无需硬求$x$的值，先将已知方程$x^2-x-1=0$变形得到$x^2=x+1$，将其整体代入(1)的结果约分即可，整体代入的方法能大幅简化计算。
【解析】
(1) 设所捂部分为$A$，根据题意得：
$(A-\dfrac{x^2-1}{x^2+2x+1})÷\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{x^2-x+1}{x}$
通过逆运算变形得：
$\begin{aligned}A&=\dfrac{x^2-x+1}{x}×\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x^2-1}{x^2+2x+1}\\&=\dfrac{x^2-x+1}{x+1}+\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}\\&=\dfrac{x^2-x+1}{x+1}+\dfrac{x-1}{x+1}\\&=\dfrac{x^2-x+1+x-1}{x+1}\\&=\dfrac{x^2}{x+1}\end{aligned}$
(2) 已知$x^2-x-1=0$，移项得$x^2=x+1$，将其代入$\dfrac{x^2}{x+1}$得：
$\dfrac{x^2}{x+1}=\dfrac{x+1}{x+1}=1$（由题意可知$x≠0$且$x≠-1$，分母有意义）
【答案】
(1) $\dfrac{x^2}{x+1}$
(2) $1$
【知识点】
分式的混合运算，代数式化简求值，整体代入法
【点评】
本题结合开放型题干考察分式运算和代数式求值，解题核心是熟练掌握分式的运算法则，利用逆运算推导未知部分，第二问运用整体代入思想可避免求解$x$的繁琐步骤，降低计算出错概率。
【难度系数】
0.7
(1) 设被捂住的部分为$A$，将原式看作关于$A$的等式，利用运算的逆性求解：先把除法逆转为乘法，再把减法逆转为加法，即可得到$A$的表达式。接下来对表达式中各分式的分子、分母因式分解，再依次约分、通分化简，就能得到$A$的最简形式。
(2) 无需硬求$x$的值，先将已知方程$x^2-x-1=0$变形得到$x^2=x+1$，将其整体代入(1)的结果约分即可，整体代入的方法能大幅简化计算。
【解析】
(1) 设所捂部分为$A$，根据题意得：
$(A-\dfrac{x^2-1}{x^2+2x+1})÷\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{x^2-x+1}{x}$
通过逆运算变形得：
$\begin{aligned}A&=\dfrac{x^2-x+1}{x}×\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x^2-1}{x^2+2x+1}\\&=\dfrac{x^2-x+1}{x+1}+\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}\\&=\dfrac{x^2-x+1}{x+1}+\dfrac{x-1}{x+1}\\&=\dfrac{x^2-x+1+x-1}{x+1}\\&=\dfrac{x^2}{x+1}\end{aligned}$
(2) 已知$x^2-x-1=0$，移项得$x^2=x+1$，将其代入$\dfrac{x^2}{x+1}$得：
$\dfrac{x^2}{x+1}=\dfrac{x+1}{x+1}=1$（由题意可知$x≠0$且$x≠-1$，分母有意义）
【答案】
(1) $\dfrac{x^2}{x+1}$
(2) $1$
【知识点】
分式的混合运算，代数式化简求值，整体代入法
【点评】
本题结合开放型题干考察分式运算和代数式求值，解题核心是熟练掌握分式的运算法则，利用逆运算推导未知部分，第二问运用整体代入思想可避免求解$x$的繁琐步骤，降低计算出错概率。
【难度系数】
0.7
