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14. 如图，一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子的顶端位于墙面上的点A处，底端位于地面上的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7 m. 若将梯子的底端沿OB向外移动0.8 m，则梯子的顶端沿墙面AO下滑的距离为
0.4
m.答案
14. 0.4
解析
【分析】
本题可通过勾股定理求解，解题思路如下：1. 墙与地面垂直，初始状态下梯子、墙、地面构成直角三角形AOB，已知梯子长度（斜边）和底端到墙的距离（水平直角边），可利用勾股定理求出初始时梯子顶端到地面的竖直高度AO；2. 梯子底端外移后，梯子长度不变，此时梯子、墙、地面构成新的直角三角形COD，先算出移动后底端到墙的距离OD，再用勾股定理求出移动后梯子顶端到地面的竖直高度CO；3. 顶端下滑的距离就是AO与CO的差值。
【解析】
∵ 墙面与地面垂直，
∴ ∠AOB=∠COD=90°，梯子长度不变，即$CD=AB=2.5\ \mathrm{m}$。
① 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，根据勾股定理：
$AO^2 = AB^2 - OB^2 = 2.5^2 - 0.7^2 = 6.25 - 0.49 = 5.76$
∴ $AO = \sqrt{5.76} = 2.4\ \mathrm{m}$
② 梯子底端外移0.8 m后，$OD = OB + BD = 0.7 + 0.8 = 1.5\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ COD$中，根据勾股定理：
$CO^2 = CD^2 - OD^2 = 2.5^2 - 1.5^2 = 6.25 - 2.25 = 4$
∴ $CO = \sqrt{4} = 2\ \mathrm{m}$
③ 顶端下滑的距离$AC = AO - CO = 2.4 - 2 = 0.4\ \mathrm{m}$
【答案】
0.4
【知识点】
勾股定理、直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用题，解题的核心是抓住梯子长度不变这一隐含不变量，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，只要熟练掌握勾股定理的运算就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题可通过勾股定理求解，解题思路如下：1. 墙与地面垂直，初始状态下梯子、墙、地面构成直角三角形AOB，已知梯子长度（斜边）和底端到墙的距离（水平直角边），可利用勾股定理求出初始时梯子顶端到地面的竖直高度AO；2. 梯子底端外移后，梯子长度不变，此时梯子、墙、地面构成新的直角三角形COD，先算出移动后底端到墙的距离OD，再用勾股定理求出移动后梯子顶端到地面的竖直高度CO；3. 顶端下滑的距离就是AO与CO的差值。
【解析】
∵ 墙面与地面垂直，
∴ ∠AOB=∠COD=90°，梯子长度不变，即$CD=AB=2.5\ \mathrm{m}$。
① 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，根据勾股定理：
$AO^2 = AB^2 - OB^2 = 2.5^2 - 0.7^2 = 6.25 - 0.49 = 5.76$
∴ $AO = \sqrt{5.76} = 2.4\ \mathrm{m}$
② 梯子底端外移0.8 m后，$OD = OB + BD = 0.7 + 0.8 = 1.5\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ COD$中，根据勾股定理：
$CO^2 = CD^2 - OD^2 = 2.5^2 - 1.5^2 = 6.25 - 2.25 = 4$
∴ $CO = \sqrt{4} = 2\ \mathrm{m}$
③ 顶端下滑的距离$AC = AO - CO = 2.4 - 2 = 0.4\ \mathrm{m}$
【答案】
0.4
【知识点】
勾股定理、直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用题，解题的核心是抓住梯子长度不变这一隐含不变量，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，只要熟练掌握勾股定理的运算就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
15. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，$P$是斜边$AB$上的一个动点. 若$△ PBC$是等腰三角形，则$BP$的长为________.
答案
6或5或$\frac{36}{5}$
解析
【分析】
本题为等腰三角形存在性问题，需分三类情况讨论△PBC等腰的可能性：①BP=BC；②BC=PC；③BP=PC。首先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再结合等腰三角形的性质、勾股定理分别计算三种情况对应的BP长度，最后验证结果是否满足点P在AB上的条件即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$
分三种情况讨论：
1. 当$BP=BC$时：
$\because BC=6$，$\therefore BP=6$，此时点$P$在$AB$上，符合题意。
2. 当$BC=PC=6$时：
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，根据等腰三角形三线合一，$D$为$BP$中点。
利用三角形面积相等：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$
$\therefore BP=2BD=2×\frac{18}{5}=\frac{36}{5}$，符合题意。
3. 当$BP=PC$时：
$\therefore ∠ B=∠ PCB$
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ A+∠ B=90°$，$∠ PCB+∠ PCA=90°$
$\therefore ∠ A=∠ PCA$，$\therefore AP=PC$
$\therefore AP=BP$，即$P$为$AB$中点
$\therefore BP=\frac{1}{2}AB=5$，符合题意。
综上，$BP$的长为6或5或$\frac{36}{5}$。
【答案】
6或5或$\frac{36}{5}$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形存在性的分类讨论思想，解题时需明确等腰三角形腰和底的不确定性，分情况求解后要验证解的合理性，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
本题为等腰三角形存在性问题，需分三类情况讨论△PBC等腰的可能性：①BP=BC；②BC=PC；③BP=PC。首先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再结合等腰三角形的性质、勾股定理分别计算三种情况对应的BP长度，最后验证结果是否满足点P在AB上的条件即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$
分三种情况讨论：
1. 当$BP=BC$时：
$\because BC=6$，$\therefore BP=6$，此时点$P$在$AB$上，符合题意。
2. 当$BC=PC=6$时：
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，根据等腰三角形三线合一，$D$为$BP$中点。
利用三角形面积相等：$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{6^2-(\frac{24}{5})^2}=\sqrt{\frac{324}{25}}=\frac{18}{5}$
$\therefore BP=2BD=2×\frac{18}{5}=\frac{36}{5}$，符合题意。
3. 当$BP=PC$时：
$\therefore ∠ B=∠ PCB$
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ A+∠ B=90°$，$∠ PCB+∠ PCA=90°$
$\therefore ∠ A=∠ PCA$，$\therefore AP=PC$
$\therefore AP=BP$，即$P$为$AB$中点
$\therefore BP=\frac{1}{2}AB=5$，符合题意。
综上，$BP$的长为6或5或$\frac{36}{5}$。
【答案】
6或5或$\frac{36}{5}$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形存在性的分类讨论思想，解题时需明确等腰三角形腰和底的不确定性，分情况求解后要验证解的合理性，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
三、解答题(本大题共6个小题，共60分)
16. (本小题满分8分)
如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$的三个顶点都在格点上，点$A$的坐标为$(2,4)$.
(1)画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$，并写出点$A_1$，$B_1$的坐标.
(2)若$△ ABC$中任意一点$P$的坐标为$(x,y)$，求点$P$在$△ A_1B_1C_1$内的对应点$P_1$的坐标.
(3)在$x$轴上找一点$P$，使$A_1P+AP$的值最小.
16. (本小题满分8分)
如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$的三个顶点都在格点上，点$A$的坐标为$(2,4)$.
(1)画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$，并写出点$A_1$，$B_1$的坐标.
(2)若$△ ABC$中任意一点$P$的坐标为$(x,y)$，求点$P$在$△ A_1B_1C_1$内的对应点$P_1$的坐标.
(3)在$x$轴上找一点$P$，使$A_1P+AP$的值最小.
答案
16. 解：(1)如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
由图可知，点$A_1$的坐标为$(-2,4)$，点$B_1$的坐标为$(-1,2)$。
(2)根据题意，得点$P_1$的坐标为$(-x, y)$。
(3)如上图，先找点$A$关于$x$轴的对称点$A_2$，再连接$A_1A_2$，则$A_1A_2$与$x$轴的交点$P$即为所求，由对称性得点$P$的坐标为$(0, 0)$。
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC关于y轴对称的图形，首先回忆关于y轴对称的点的坐标性质：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数。先确定△ABC三个顶点的坐标，求出对应对称点的坐标，再依次连接对称点即可得到△A₁B₁C₁，最后直接读取A₁、B₁的坐标。
(2) 结合第(1)问得到的对称点坐标变化规律，直接推广到任意点P(x,y)，即可得到对应点P₁的坐标。
(3) 这是典型的将军饮马类最短路径问题，要让x轴上的点P到A₁和A的距离和最小，先作点A关于x轴的对称点A₂，由轴对称性质得AP=A₂P，因此A₁P+AP=A₁P+A₂P，根据两点之间线段最短，连接A₁A₂，它与x轴的交点就是所求的点P，再求出该点坐标即可。
【解析】
(1) 首先确定原△ABC各顶点坐标：A(2,4)，B(1,2)，C(5,3)。
根据关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得对称点坐标：A₁(-2,4)，B₁(-1,2)，C₁(-5,3)。
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，依次连接三个点，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 由关于y轴对称的点的坐标变化规律可知，坐标为(x,y)的点P，对应对称点P₁的横坐标为-x，纵坐标不变仍为y，即P₁(-x,y)。
(3) ① 作点A关于x轴的对称点A₂，得A₂坐标为(2,-4)；
② 连接A₁A₂，根据两点之间线段最短，A₁A₂与x轴的交点即为使A₁P+AP最小的点P；
③ 直线A₁A₂过点(-2,4)和(2,-4)，解析式为y=-2x，令y=0得x=0，因此P点坐标为(0,0)。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
由图可知，点$A_1$的坐标为$(-2,4)$，点$B_1$的坐标为$(-1,2)$。
(2) 点$P_1$的坐标为$(-x, y)$。
(3) 如上图，先找点$A$关于$x$轴的对称点$A_2$，再连接$A_1A_2$，则$A_1A_2$与$x$轴的交点$P$即为所求，点$P$的坐标为$(0, 0)$。
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，最短路径模型，轴对称作图
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系下的轴对称变换、坐标规律推导以及最短路径问题的求解，侧重对基础性质和常见模型的应用考查，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，正确运用最短路径的构造方法。
【难度系数】
0.8
(1) 要画出△ABC关于y轴对称的图形，首先回忆关于y轴对称的点的坐标性质：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数。先确定△ABC三个顶点的坐标，求出对应对称点的坐标，再依次连接对称点即可得到△A₁B₁C₁，最后直接读取A₁、B₁的坐标。
(2) 结合第(1)问得到的对称点坐标变化规律，直接推广到任意点P(x,y)，即可得到对应点P₁的坐标。
(3) 这是典型的将军饮马类最短路径问题，要让x轴上的点P到A₁和A的距离和最小，先作点A关于x轴的对称点A₂，由轴对称性质得AP=A₂P，因此A₁P+AP=A₁P+A₂P，根据两点之间线段最短，连接A₁A₂，它与x轴的交点就是所求的点P，再求出该点坐标即可。
【解析】
(1) 首先确定原△ABC各顶点坐标：A(2,4)，B(1,2)，C(5,3)。
根据关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得对称点坐标：A₁(-2,4)，B₁(-1,2)，C₁(-5,3)。
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，依次连接三个点，得到的△A₁B₁C₁即为所求。
(2) 由关于y轴对称的点的坐标变化规律可知，坐标为(x,y)的点P，对应对称点P₁的横坐标为-x，纵坐标不变仍为y，即P₁(-x,y)。
(3) ① 作点A关于x轴的对称点A₂，得A₂坐标为(2,-4)；
② 连接A₁A₂，根据两点之间线段最短，A₁A₂与x轴的交点即为使A₁P+AP最小的点P；
③ 直线A₁A₂过点(-2,4)和(2,-4)，解析式为y=-2x，令y=0得x=0，因此P点坐标为(0,0)。
【答案】
(1) 如图，$△ A_1B_1C_1$即为所求。
由图可知，点$A_1$的坐标为$(-2,4)$，点$B_1$的坐标为$(-1,2)$。
(2) 点$P_1$的坐标为$(-x, y)$。
(3) 如上图，先找点$A$关于$x$轴的对称点$A_2$，再连接$A_1A_2$，则$A_1A_2$与$x$轴的交点$P$即为所求，点$P$的坐标为$(0, 0)$。
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，最短路径模型，轴对称作图
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系下的轴对称变换、坐标规律推导以及最短路径问题的求解，侧重对基础性质和常见模型的应用考查，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质，正确运用最短路径的构造方法。
【难度系数】
0.8
