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7. 已知二元一次方程$5x + 3y = 23$.
(1)把方程写成用含$y$的代数式表示$x$的形式,即$x =$
(2)填表:
(3)写出该方程的非负整数解.
(1)把方程写成用含$y$的代数式表示$x$的形式,即$x =$
$\frac{23 - 3y}{5}$
;(2)填表:
(3)写出该方程的非负整数解.
答案
7. (1) $\frac{23 - 3y}{5}$ (2) 4 3.4 2.8 2.2 1.6
(3) $\begin{cases}x = 4,\\y = 1\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x = 1,\\y = 6.\end{cases}$
(3) $\begin{cases}x = 4,\\y = 1\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x = 1,\\y = 6.\end{cases}$
8. (2025·泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作,在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如,方程$x + 2y = 3$恰有一个正整数解$x = 1,y = 1$.类似地,方程$2x + 3y = 21$的正整数解的个数是 (
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8. C
解析
方程$2x + 3y = 21$，变形得$x=\frac{21 - 3y}{2}$。
因为$x$，$y$为正整数，所以$21 - 3y$必须是正偶数，且$y$为正整数。
当$y = 1$时，$x=\frac{21 - 3×1}{2}=\frac{18}{2}=9$；
当$y = 3$时，$x=\frac{21 - 3×3}{2}=\frac{12}{2}=6$；
当$y = 5$时，$x=\frac{21 - 3×5}{2}=\frac{6}{2}=3$；
当$y = 7$时，$x=\frac{21 - 3×7}{2}=0$，不符合正整数要求，停止。
所以正整数解有$(9,1)$，$(6,3)$，$(3,5)$，共3个。
C
因为$x$，$y$为正整数，所以$21 - 3y$必须是正偶数，且$y$为正整数。
当$y = 1$时，$x=\frac{21 - 3×1}{2}=\frac{18}{2}=9$；
当$y = 3$时，$x=\frac{21 - 3×3}{2}=\frac{12}{2}=6$；
当$y = 5$时，$x=\frac{21 - 3×5}{2}=\frac{6}{2}=3$；
当$y = 7$时，$x=\frac{21 - 3×7}{2}=0$，不符合正整数要求，停止。
所以正整数解有$(9,1)$，$(6,3)$，$(3,5)$，共3个。
C
9. (2025·锡山区月考)若$(m - 3)x + 2y^{|m - 2|}=24$是关于$x,y$的二元一次方程,则$m =$
1
.答案
9. 1
解析
因为方程$(m - 3)x + 2y^{|m - 2|}=24$是关于$x,y$的二元一次方程，所以$x$和$y$的次数都为$1$，且系数不为$0$。
对于$x$的系数：$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$。
对于$y$的次数：$|m - 2| = 1$，即$m - 2 = 1$或$m - 2 = -1$，解得$m = 3$或$m = 1$。
又因为$m ≠ 3$，所以$m = 1$。
1
对于$x$的系数：$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$。
对于$y$的次数：$|m - 2| = 1$，即$m - 2 = 1$或$m - 2 = -1$，解得$m = 3$或$m = 1$。
又因为$m ≠ 3$，所以$m = 1$。
1
10. 某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学,花费48元钱购买了甲、乙两种奖品,每种奖品至少购买1件,其中甲种奖品每件4元,乙种奖品每件3元,则有
3
种购买方案.答案
10. 3
解析
设购买甲种奖品$x$件，乙种奖品$y$件，根据题意得：
$4x + 3y = 48$，其中$x$，$y$为正整数。
整理得：$y = \frac{48 - 4x}{3} = 16 - \frac{4x}{3}$。
因为$y$为正整数，所以$\frac{4x}{3}$为整数，即$x$是$3$的倍数。
又因为$x ≥ 1$，$y ≥ 1$，所以：
当$x = 3$时，$y = 16 - \frac{4×3}{3} = 12$；
当$x = 6$时，$y = 16 - \frac{4×6}{3} = 8$；
当$x = 9$时，$y = 16 - \frac{4×9}{3} = 4$；
当$x = 12$时，$y = 16 - \frac{4×12}{3} = 0$（不符合$y ≥ 1$，舍去）。
综上，共有$3$种购买方案。
3
$4x + 3y = 48$，其中$x$，$y$为正整数。
整理得：$y = \frac{48 - 4x}{3} = 16 - \frac{4x}{3}$。
因为$y$为正整数，所以$\frac{4x}{3}$为整数，即$x$是$3$的倍数。
又因为$x ≥ 1$，$y ≥ 1$，所以：
当$x = 3$时，$y = 16 - \frac{4×3}{3} = 12$；
当$x = 6$时，$y = 16 - \frac{4×6}{3} = 8$；
当$x = 9$时，$y = 16 - \frac{4×9}{3} = 4$；
当$x = 12$时，$y = 16 - \frac{4×12}{3} = 0$（不符合$y ≥ 1$，舍去）。
综上，共有$3$种购买方案。
3
11. (2025·工业园区月考)已知方程$3x + y = 12$有很多解,请你写出一组互为相反数的解.
答案
11. $\begin{cases}x = 6,\\y = -6\end{cases}$
12. 已知$2x^{2a - 5}+3y^{b - 3}=14$是二元一次方程.
(1)求$a,b$的值;
(2)用含$x$的式子表示$y$;
(3)直接写出方程的所有正整数解.
(1)求$a,b$的值;
(2)用含$x$的式子表示$y$;
(3)直接写出方程的所有正整数解.
答案
12. 解：(1) 根据题意，得 $2a - 5 = 1$，$b - 3 = 1$，解得 $a = 3$，$b = 4$。
(2) 方程为 $2x + 3y = 14$，则 $y = \frac{14 - 2x}{3}$。
(3) 方程的正整数解为 $\begin{cases}x = 1,\\y = 4\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x = 4,\\y = 2.\end{cases}$
(2) 方程为 $2x + 3y = 14$，则 $y = \frac{14 - 2x}{3}$。
(3) 方程的正整数解为 $\begin{cases}x = 1,\\y = 4\end{cases}$ 和 $\begin{cases}x = 4,\\y = 2.\end{cases}$
13. (2025·泗洪县期中)已知关于$x,y$的二元一次方程$ax + y = 3b$($a,b$均为常数,且$a≠0$).若$\begin{cases}x = a - 2b,\\y = b^{2}+3b\end{cases}$是该二元一次方程的一个解,
(1)探索$a$与$b$的数量关系,并说明理由;
(2)无论$a,b$取何值,该方程有一个固定的解,则这个解是.
(1)探索$a$与$b$的数量关系,并说明理由;
(2)无论$a,b$取何值,该方程有一个固定的解,则这个解是.
答案
13. 解：(1) $a$ 与 $b$ 相等。
理由：把 $x = a - 2b$，$y = b^2 + 3b$ 代入二元一次方程 $ax + y = 3b$，得 $a(a - 2b) + b^2 + 3b = 3b$，
整理，得 $a^2 - 2ab + b^2 = 0$，即 $(a - b)^2 = 0$，所以 $a = b$。
(2) $\begin{cases}x = 3,\\y = 0\end{cases}$
理由：把 $x = a - 2b$，$y = b^2 + 3b$ 代入二元一次方程 $ax + y = 3b$，得 $a(a - 2b) + b^2 + 3b = 3b$，
整理，得 $a^2 - 2ab + b^2 = 0$，即 $(a - b)^2 = 0$，所以 $a = b$。
(2) $\begin{cases}x = 3,\\y = 0\end{cases}$
