2. 综合与实践：
用硬纸板制作无盖纸盒
背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为80 cm、宽为40 cm的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相等的无盖长方体纸盒(接头处忽略不计).
素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法,例如:求$-2x^{2}+4x+3$的最大值,过程如下:
$-2x^{2}+4x+3=-2(x^{2}-2x+1)+3+2=-2(x-1)^{2}+5$,
$\therefore$当$x=1$时,$-2x^{2}+4x+3$有最大值5.
方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块,每一块都在四个直角处裁掉四个边长为$x$ cm的正方形,再沿虚线折起来,其中一个纸盒的底面是正方形ABCD.
方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为$x$ cm的正方形,再在中间裁掉一块正方形BCFE,分别沿着虚线折起来,其中一个纸盒的底面是矩形ABCD.
任务1 在方案1中,制作的每个无盖纸盒的底面积为________$\mathrm{cm}^2$(用含$x$的代数式表示),并判断底面积能否达到$900\ \mathrm{cm}^2$.
任务2 在方案2中,求制作无盖纸盒的底面边AB的长.
任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等,请比较两种纸盒体积的大小.
任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值.

$(40 - 2x)^{2}$ ; $解:任务2$$根据题意,得AB=\frac{1}{2}[80−2x−(40−2x)]=\frac{1}{2}×(80−2x−40+2x)=\frac{1}{2}×40=20(cm)$
$任务3$$∵两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大$$由任务1可知,方案1的底面积为(40−2x)^{2}cm²;$$由任务2可知,方案2的底面积为20(40−2x)cm²;$$根据题意，得\begin{cases}{ x\gt 0} \\ {40-2x\gt 0\ } \end{cases},解得0＜x＜20$$当(40−2x)²＞20(40−2x)时,解得0＜x＜10,当(40−2x)²=20(40−2x)时,解得x=10$$当(40−2x)²＜20(40−2x)时,解得10＜x＜20;故当0＜x＜10时,方案1的纸盒体积大;$$当x=10时，方案1与方案2的纸盒体积一样大;当10＜x＜20时,方案2的纸盒体积大$
$任务4:方案2中纸盒的体积为20(40−2x)x=−40x²+800x=−40(x-10)²+4000$$可见,当x=10时,纸盒体积有最大值,为4000cm.$