1.（教材练习变式）(2024·广元)如图,已知四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,E为AD延长线上一点,$∠AOC=128°$,则$∠CDE$的度数为 （ ）
A. $64°$
B. $60°$
C. $54°$
D. $52°$

A

2. (教材练习变式)(2024·吉林)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,过点B作$BE// AD$,交CD于点E.若$∠ BEC=50°$,则$∠ ABC$的度数是 （ ）
A. $50°$
B. $100°$
C. $130°$
D. $150°$

C

3.（教材练习变式）在圆内接四边形$ABCD$中，$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的度数之比为$2:4:7$，则$∠ D$的度数为______．

$100^{\circ}$

4. (教材练习变式)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AB为$\odot O$的直径,$∠ABD=20°$,则$∠BCD$的度数为$\underline{\hspace{5em}}$.

$110^{\circ}$

5. 如图,已知四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,连接 $BD$,$∠ BAD=105°$,$∠ DBC=75°$.
(1)求证:$BD=CD$.
(2)若$\odot O$的半径为3,求 $BC$ 的长.

$证明: (1) $ 因为四边形$ABCD$内接于$\odot O，$$\angle BAD = 105^{\circ}，$ 根据圆内接四边形对角互补，所以$\angle DCB=180^{\circ}-\angle BAD = 180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}。$ 又因为$\angle DBC = 75^{\circ}，$ 所以$\angle DCB=\angle DBC，$ 所以$BD = CD。$ (2)连接$OB$、$OC。$ 因为$\angle DBC=\angle DCB = 75^{\circ}，$ 所以$\angle BDC=180^{\circ}-\angle DBC-\angle DCB=180^{\circ}-75^{\circ}-75^{\circ}=30^{\circ}，$ 则$\angle BOC = 2\angle BDC=60^{\circ}$（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）。 又因为$OB = OC，$ 所以$\triangle BOC$为等边三角形， 所以$BC = OB = 3。$ ;

6. 如图,已知四边形 ABCD 是$\odot O$的内接四边形,延长 DC、AB 相交于点 E,且$∠ABC=2∠E$,求证:$△ ADE$是等腰三角形.

证明：
因为四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形， 所以$\angle A+\angle BCD = 180^{\circ}。$ 又因为$\angle BCE+\angle BCD = 180^{\circ}，$ 所以$\angle A=\angle BCE。$ 因为$\angle ABC = 2\angle E，$且$\angle ABC=\angle E+\angle BCE，$ 所以$\angle BCE=\angle BEC，$ 所以$\angle A=\angle BEC，$ 所以$DA = DE，$即$\triangle ADE$是等腰三角形。