7. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C在圆上，$∠ BAD$是$△ ABC$的一个外角，它的平分线交$\odot O$于点E. 不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出$∠ BAC$的平分线，并说明理由.

解: 如图，延长$EO$交$\odot O$于点$F，$连接$AF，$则$AF$是$\angle BAC$的平分线。$ 理由如下： $ $\because EF$是$\odot O$的直径， $\therefore\angle EAF = 90^{\circ}，$即$\angle EAB+\angle BAF = 90^{\circ}，$$\angle DAE+\angle CAF = 90^{\circ}。$ 又$\because AE$平分$\angle BAD，$ $\therefore\angle DAE=\angle EAB，$ $\therefore\angle CAF=\angle BAF，$ $\therefore AF$是$\angle BAC$的平分线。 ;

8. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AD$是$\odot O$的直径. 若$∠ CAD=∠ B$，$AD=8$，则$AC$的长为（$\quad$）
A. $5$
B. $4\sqrt{2}$
C. $5\sqrt{2}$
D. $4\sqrt{3}$

B

9. 如图，$\odot O$的半径为$1\ \mathrm{cm}$，弦$AB$、$CD$的长分别为$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$、$1\ \mathrm{cm}$，则弦$AC$、$BD$所夹的锐角$α$的度数为______．

$75^{\circ}$

10. 如图，C在以AB为直径的半圆O上，$AC=\sqrt{3}$，$∠ CAB=30°$，D是$\overset{\frown}{BC}$上的一个动点，$CE⊥ AD$，连接BE，则BE长的最小值是$\underline{\hspace{5em}}$。

$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$

11. 如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，延长BC至点D，使$CD=BC$，延长DA与$\odot O$交于点E，连接AC、CE.
(1)求证:$∠ B=∠ D$.
(2)若$AB=4$，$BC-AC=2$，求CE的长.

$证明: (1) $ $\because AB$为$\odot O$的直径， $\therefore\angle ACB = 90^{\circ}。$ 又$\because CD = BC，$ $\therefore AC$垂直平分$DB，$ $\therefore AD = AB，$ $\therefore\angle B=\angle D。$ (2)在$Rt\triangle ACB$中， $\because AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}，$即$AC^{2}+(AC + 2)^{2}=4^{2}，$ 展开得$AC^{2}+AC^{2}+4AC + 4 = 16，$ $2AC^{2}+4AC-12 = 0，$ $AC^{2}+2AC - 6 = 0，$ 由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$（其中$a = 1，$$b = 2，$$c=-6$）可得： $AC=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\times1\times(-6)}}{2\times1}=\frac{-2\pm\sqrt{4 + 24}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{7}}{2}=-1\pm\sqrt{7}，$ $\because AC＞0，$ $\therefore AC=\sqrt{7}-1$（负值舍去）， $\therefore BC=AC + 2=\sqrt{7}+1。$ $\because\angle D=\angle B=\angle E，$ $\therefore CE = CD = BC=\sqrt{7}+1。$

12. 如图，BC是$\odot O$的直径，点A、E在$\odot O$上，$AD⊥ BC$，垂足为D，$AE=AB$，连接BE，分别交AD、AC于点F、G.
(1) 判断$△ FAG$的形状，并说明理由.
(2) 延长AD交$\odot O$于点M，连接ME，求证：$ME⊥ AC$.

(1)解:$\triangle FAG$是等腰三角形。$ 理由如下： $ $\because BC$是$\odot O$的直径， $\therefore\angle BAC = 90^{\circ}，$ $\therefore\angle ABG+\angle AGB = 90^{\circ}。$ $\because AD\perp BC，$ $\therefore\angle ADC = 90^{\circ}，$ $\therefore\angle FAG+\angle ACD = 90^{\circ}。$ $\because AB = AE，$ $\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}，$ $\therefore\angle ABG=\angle ACD，$ $\therefore\angle AGB=\angle FAG，$ $\therefore FA = FG，$ $\therefore\triangle FAG$是等腰三角形。 (2)证明：如图，设$ME$与$AC$交于点$P。$ $\because OD\perp AM，$ $\therefore\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BM}，$ $\therefore\angle C=\angle BEM。$ $\because\angle EGP=\angle AGB，$$\angle FAG=\angle AGB，$ $\therefore\angle FAG=\angle EGP。$ $\because\angle FAG+\angle C = 90^{\circ}，$ $\therefore\angle EGP+\angle BEM = 90^{\circ}，$ $\therefore\angle EPG=180^{\circ}-(\angle EGP+\angle BEM)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}，$ $\therefore ME\perp AC。$ ;