4. 如图,$∠C= 90^{\circ },BE⊥AB且BE= AB,BD⊥BC且BD= BC$,CB 的延长线交 DE 于点 F.求证:点 F 是 ED 的中点.

如图，过点 $ E $ 作 $ EH \perp CB $，交 $ CB $ 的延长线于 $ H $，∵ $ \angle C = 90^{\circ} $，$ BE \perp AB $，∴ $ \angle C = \angle EBA = \angle H = 90^{\circ} $，∴ $ \angle ABC + \angle A = 90^{\circ} $，$ \angle ABC + \angle EBH = 90^{\circ} $，∴ $ \angle A = \angle EBH $。在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle BEH $ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle C = \angle H = 90^{\circ}, \\ \angle A = \angle EBH, \\ AB = BE, \end{array}\right.$ ∴ $ \triangle ABC \cong \triangle BEH(AAS) $，∴ $ EH = BC = BD $。在 $ \triangle BDF $ 和 $ \triangle HEF $ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle FBD = \angle H, \\ \angle DFB = \angle EFH, \\ BD = EH, \end{array}\right.$ ∴ $ \triangle BDF \cong \triangle HEF(AAS) $，∴ $ DF = EF $，∴ 点 $ F $ 是 $ ED $ 的中点。

5. 通过对如图数学模型的研究学习,解决下列

问题:
【模型呈现】
(1)如图①,$∠BAD= 90^{\circ },AB= AD$,过点 B 作$BC⊥AC$于点 C,过点 D 作$DE⊥AC$于点 E.由$∠1+∠2= ∠2+∠D= 90^{\circ }$,得$∠1= ∠D$.又$∠ACB= ∠AED= 90^{\circ }$,可以推理得到$△ABC\cong$$△DAE$.进而得到$AC= $____,$BC= AE$.我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型.
【模型应用】
(2)如图②,$∠BAD= ∠CAE= 90^{\circ },AB= AD,$$AC= AE$,连接 BC,DE,且$BC⊥AF$于点 F,DE与直线 AF 交于点 G.求证:点 G 是 DE 的中点.
【深入探究】
(3)如图③,已知四边形 ABCD 和 DEGF 为正方形,$△AFD的面积为S_{1},△DCE的面积为S_{2}$,则有$S_{1}$____$S_{2}$(填“＞”“＜”或“=”).

(1) $ DE $ 解析：∵ $ BC \perp AC $，$ DE \perp AC $，∴ $ \angle ACB = \angle DEA = 90^{\circ} = \angle BAD $。∴ $ \angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle D = 90^{\circ} $，∴ $ \angle 1 = \angle D $。在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DAE $ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle ACB = \angle DEA, \\ \angle 1 = \angle D, \\ AB = DA, \end{array}\right.$ ∴ $ \triangle ABC \cong \triangle DAE(AAS) $，∴ $ AC = DE $，$ BC = AE $。
(2)如图①，过 $ D $ 作 $ DM \perp AF $ 于 $ M $，过 $ E $ 作 $ EN \perp AF $ 于 $ N $，由“K 字”模型得 $ \triangle ABF \cong \triangle DAM(AAS) $，∴ $ AF = DM $。同理：$ AF = EN $，∴ $ EN = DM $。∵ $ DM \perp AF $，$ EN \perp AF $，∴ $ \angle GMD = \angle GNE = 90^{\circ} $。在 $ \triangle DMG $ 与 $ \triangle ENG $ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle DGM = \angle EGN, \\ \angle DMG = \angle ENG, \\ DM = EN, \end{array}\right.$ ∴ $ \triangle DMG \cong \triangle ENG(AAS) $，∴ $ DG = EG $，即点 $ G $ 是 $ DE $ 的中点。
(3) = 解析：如图②，过 $ D $ 作 $ PQ \perp CE $ 于 $ P $，交 $ AF $ 于 $ Q $，过 $ A $ 作 $ AM \perp PQ $ 于 $ M $，过 $ F $ 作 $ FN \perp PQ $ 于 $ N $，由四边形 $ ABCD $ 和四边形 $ DEGF $ 为正方形，易得 $ \angle ADC = \angle EDF = 90^{\circ} $，$ AD = CD $，$ DE = DF $，由“K 字”模型得 $ \triangle ADM \cong \triangle DCP(AAS) $，$ \triangle DFN \cong \triangle EDP(AAS) $，∴ $ S_{\triangle ADM} = S_{\triangle DCP} $，$ S_{\triangle DFN} = S_{\triangle EDP} $。由(2)得 $ \triangle AMQ \cong \triangle FNQ(AAS) $，∴ $ S_{\triangle AMQ} = S_{\triangle FNQ} $，∴ $ S_{\triangle ADQ} + S_{\triangle FNQ} + S_{\triangle DFN} = S_{\triangle ADQ} + S_{\triangle AMQ} + S_{\triangle DFN} = S_{\triangle ADM} + S_{\triangle DFN} = S_{\triangle DCP} + S_{\triangle EDP} $，即 $ S_1 = S_2 $。