1. (2025·洛阳期中)在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },$$AC= BC$,直线 MN 经过点 C,且$AD⊥MN$于D,$BE⊥MN$于E.
(1)当直线 MN 处在图①的位置时,填空:
①$△ADC和△CEB$的关系是______;
②线段 DE,AD 和 BE 三者之间的数量关系是______.
(2)当直线 MN 处在图②的位置时,求证:$DE= AD-BE.$
(3)当直线 MN 处在图③的位置时,且$BE= 3,$$AD= 1$,求 DE 的长.

(1)① $ \triangle ADC \cong \triangle CEB $ 解析：∵ $ \angle ACB = 90^{\circ} $，∴ $ \angle ACD + \angle BCE = 90^{\circ} $。∵ $ AD \perp MN $，$ BE \perp MN $，∴ $ \angle ADC = \angle CEB = 90^{\circ} $，∴ $ \angle ACD + \angle CAD = 90^{\circ} $，∴ $ \angle CAD = \angle BCE $。在 $ \triangle ADC $ 和 $ \triangle CEB $ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle ADC = \angle CEB, \\ \angle CAD = \angle BCE, \\ AC = CB, \end{array}\right.$ ∴ $ \triangle ADC \cong \triangle CEB(AAS) $。
② $ DE = AD + BE $ 解析：由①可知 $ \triangle ADC \cong \triangle CEB $，∴ $ CE = AD $，$ BE = CD $，∴ $ DE = DC + CE = AD + BE $。
(2)∵ $ \angle ADC = \angle CEB = \angle ACB = 90^{\circ} $，∴ $ \angle ACD = \angle CBE $。在 $ \triangle ADC $ 和 $ \triangle CEB $ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle ADC = \angle CEB, \\ \angle ACD = \angle CBE, \\ AC = CB, \end{array}\right.$ ∴ $ \triangle ADC \cong \triangle CEB(AAS) $，∴ $ CE = AD $，$ CD = BE $，∴ $ DE = EC - CD = AD - BE $。
(3)由(2)易知 $ \triangle ACD \cong \triangle CBE $，∴ $ CD = BE = 3 $，$ CE = AD = 1 $，∴ $ DE = CD - CE = 3 - 1 = 2 $。

2. 如图,$△ABC$中,$∠ABC= ∠ACB$,点 D,E,F 分别是 AB,BC,AC 边上的点,$BE= CF.$
(1)若$∠DEF= ∠ABC$,求证:$DE= EF.$
(2)若$∠A+2∠DEF= 180^{\circ },BC= 9,EC= 2BE,$求 BD 的长.
(3)把(1)中的条件和结论反过来,即若$DE= $$EF$,则$∠DEF= ∠ABC$.这个命题是否成立？若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

(1)∵ $ \angle ABC = \angle ACB $，又∵ $ \angle DEC = \angle ABC + \angle BDE $，$ \angle DEC = \angle DEF + \angle CEF $，$ \angle DEF = \angle ABC $，∴ $ \angle BDE = \angle CEF $。在 $ \triangle DBE $ 和 $ \triangle ECF $ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle DBC = \angle ECF, \\ \angle BDE = \angle CEF, \\ BE = CF, \end{array}\right.$ ∴ $ \triangle DBE \cong \triangle ECF(AAS) $，∴ $ DE = EF $。
(2)∵ $ \angle A + 2\angle DEF = 180^{\circ} $，$ \angle A + 2\angle B = 180^{\circ} $，∴ $ \angle DEF = \angle B $。由(1)易证 $ \triangle DBE \cong \triangle ECF $，∴ $ DB = EC $。∵ $ BC = 9 $，$ EC = 2BE $，∴ $ EC = 6 $，$ BE = 3 $，∴ $ BD = EC = 6 $。
(3)这个命题不成立。理由：如图，$ \triangle BDE $ 和 $ \triangle CEF $ 中，$ BE = CF $，$ DE = EF $，$ \angle ABC = \angle ACB(SSA) $，无法判定两个三角形全等，进而无法得到 $ \angle DEF = \angle ABC $。

3. (2024·常德期中)已知 CD 是经过$∠BCA$顶点 C 的一条直线,$CA= CB$.E,F 分别是直线 CD上两点,且$∠BEC= ∠CFA= ∠α$.
(1)若直线 CD 经过$∠BCA$的内部,且 E,F 在射线 CD 上,请解决下面问题:
①如图①,若$∠BCA= 90^{\circ },∠α=90^{\circ }$,求证:$BE= CF.$
②如图②,若$∠α+∠ACB= 180^{\circ }$,探索三条线段 EF,BE,AF 的数量关系,并证明你的结论.
(2)如图③,若直线 CD 经过$∠BCA$的外部,$∠α=∠BCA$,题(1)②中的结论是否仍然成立？若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确的结论再给予证明.

(1)① ∵ $ \angle BEC = \angle CFA = \angle \alpha = 90^{\circ} $，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，∴ $ \angle BCE + \angle ACF = 90^{\circ} $，$ \angle CBE + \angle BCE = 90^{\circ} $，∴ $ \angle ACF = \angle CBE $。在 $ \triangle BCE $ 和 $ \triangle CAF $ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle EBC = \angle FCA, \\ \angle BEC = \angle CFA, \\ BC = CA, \end{array}\right.$ ∴ $ \triangle BCE \cong \triangle CAF(AAS) $，∴ $ BE = CF $。
② $ EF = BE - AF $。证明如下：∵ $ \angle BEC = \angle CFA = \angle \alpha $，$ \angle \alpha + \angle ACB = 180^{\circ} $，∴ $ \angle CBE = 180^{\circ} - \angle BCE - \angle \alpha $，$ \angle ACF = \angle ACB - \angle BCE = 180^{\circ} - \angle \alpha - \angle BCE $，∴ $ \angle ACF = \angle CBE $。在 $ \triangle BCE $ 和 $ \triangle CAF $ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle EBC = \angle FCA, \\ \angle BEC = \angle CFA, \\ BC = CA, \end{array}\right.$ ∴ $ \triangle BCE \cong \triangle CAF(AAS) $，∴ $ BE = CF $，$ CE = AF $，∴ $ EF = CF - CE = BE - AF $。
(2)不成立。结论：$ EF = BE + AF $。证明如下：∵ $ \angle BEC = \angle CFA = \angle \alpha $，$ \angle \alpha = \angle BCA $，又∵ $ \angle EBC + \angle BCE + \angle BEC = 180^{\circ} $，$ \angle BCE + \angle ACF + \angle ACB = 180^{\circ} $，∴ $ \angle EBC + \angle BCE = \angle BCE + \angle ACF $，∴ $ \angle EBC = \angle ACF $。在 $ \triangle BCE $ 和 $ \triangle CAF $ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle EBC = \angle FCA, \\ \angle BEC = \angle CFA, \\ BC = CA, \end{array}\right.$ ∴ $ \triangle BCE \cong \triangle CAF(AAS) $，∴ $ AF = CE $，$ BE = CF $。∵ $ EF = CE + CF $，∴ $ EF = BE + AF $。