【典例2】(1) 已知 $ x ＞ 0 $,求 $ y = \frac { x ^ { 2 } + 3 x + 4 } { x } $ 的最小值；

(1) 当$x = 2$时，$y = \frac{x^{2}+3x + 4}{x}$的最小值是$7$。

(2) 已知 $ x ＜ \frac { 5 } { 4 } $,求 $ y = 4 x - 2 + \frac { 1 } { 4 x - 5 } $ 的最大值；

(2) 当$x = 1$时，$y = 4x - 2+\frac{1}{4x - 5}$的最大值是$1$。

(3) 已知 $ 0 ＜ x ＜ \frac { 1 } { 2 } $,求 $ y = \frac { 1 } { 2 } x ( 1 - 2 x ) $ 的最大值。

(3) 当$x=\frac{1}{4}$时，$y=\frac{1}{2}x(1 - 2x)$的最大值是$\frac{1}{16}$。

【变式2】(1) 若 $ x ＞ 2 $,则 $ y = x + \frac { 4 } { x - 2 } $ 的最小值为 ；

(1)6 (2) $ \sqrt{2} $ (1) $ y=x+\frac{4}{x-2}=(x-2)+\frac{4}{x-2}+2 $. 因为 $ x＞2 $，所以 $ x-2＞0 $，所以 $ y=(x-2)+\frac{4}{x-2}+2 \geq 2 \sqrt{(x-2) \cdot \frac{4}{x-2}}+2=4+2=6 $，当且仅当 $ x-2=\frac{4}{x-2} $，即 $ x=4 $ 时，等号成立，故 $ y=x+\frac{4}{x-2} $ 的最小值为 6.

(2) 若 $ 0 ＜ x ＜ 2 $,则 $ y = \sqrt { x ( 4 - 2 x ) } $ 的最大值为 。

(2)因为 $ 0＜x＜2 $，所以 $ 2-x＞0 $，所以 $ y=\sqrt{x(4-2 x)}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{x(2-x)} \leq \sqrt{2} \cdot \frac{x+2-x}{2}=\sqrt{2} $，当且仅当 $ x=2-x $，即 $ x=1 $ 时，等号成立，故 $ y=\sqrt{x(4-2 x)} $ 的最大值为 $ \sqrt{2} $.

1. 若 $ x ＞ - 3 $,则 $ 2 x + \frac { 1 } { x + 3 } $ 的最小值为 ()
A. $ 2 \sqrt { 2 } + 6 $
B. $ 2 \sqrt { 2 } - 6 $
C. $ 2 \sqrt { 2 } $
D. $ 2 \sqrt { 2 } + 2 $

B 由 $ x＞-3 $，得 $ x+3＞0,2 x+\frac{1}{x+3}=2(x+3)+\frac{1}{x+3}-6 \geq 2 \sqrt{2(x+3) \cdot \frac{1}{x+3}}-6=2 \sqrt{2}-6 $，当且仅当 $ 2(x+3)=\frac{1}{x+3} $，即 $ x=-3+\frac{\sqrt{2}}{2} $ 时，等号成立，所以 $ 2 x+\frac{1}{x+3} $ 的最小值为 $ 2 \sqrt{2}-6 $.

2. (一题多解) 已知 $ x ＞ 0, y ＞ 0 $,且 $ x + 2 y = 2 $,则 $ x y $ 的 ()
A. 最大值为 1
B. 最小值为 1
C. 最大值为 $ \frac { 1 } { 2 } $
D. 最小值为 $ \frac { 1 } { 2 } $

(一题多解)C 方法 1：$ \because x＞0, y＞0 $，且 $ x+2 y=2 $，$ \therefore x y=\frac{1}{2} x \cdot 2 y \leq \frac{1}{2} \times\left(\frac{x+2 y}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2} \times 1^{2}=\frac{1}{2} $，当且仅当 $ x=2 y $，即 $ x=1, y=\frac{1}{2} $ 时，等号成立，故 $ x y $ 的最大值为 $ \frac{1}{2} $. 方法 2：$ \because x＞0, y＞0 $，且 $ x+2 y=2 $，$ \therefore x+2 y \geq 2 \sqrt{2 x y} $，当且仅当 $ x=2 y $，即 $ x=1, y=\frac{1}{2} $ 时，等号成立，故 $ x y \leq \frac{1}{2} $，即 $ x y $ 的最大值为 $ \frac{1}{2} $.

3. (教材改编题) 设 $ a, b \in \mathbf { R } $,且 $ a ＜ b ＜ 0 $,则 ()
A. $ \frac { 1 } { a } ＜ \frac { 1 } { b } $
B. $ \frac { b } { a } ＞ \frac { a } { b } $
C. $ \frac { b } { a } + \frac { a } { b } ＞ 2 $
D. $ \frac { a + b } { 2 } ＞ \sqrt { a b } $

C $ \because a＜b＜0, \therefore \frac{1}{a}＞\frac{1}{b} $，故 A 错误；$ \because a＜b＜0, \therefore a^{2}＞b^{2} $，即 $ b^{2}-a^{2}＜0, a b＞0 $，可得 $ \frac{b}{a}-\frac{a}{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{a b}＜0, \therefore \frac{b}{a}＜\frac{a}{b} $，故 B 错误；$ \because a＜b＜0, \therefore \frac{b}{a}＞0, \frac{a}{b}＞0 $，且 $ \frac{b}{a} \neq \frac{a}{b} $，则 $ \frac{b}{a}+\frac{a}{b}＞2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}}=2 $，故 C 正确；$ \because a＜b＜0, \therefore \frac{a+b}{2}＜0, \sqrt{a b}＞0 $，则 $ \frac{a+b}{2}＜\sqrt{a b} $，故 D 错误.