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1. （2025·苏州期末）如图，C是线段AB上一点，D是线段AC的中点，E是线段AB的中点.
(1)若$AB=16,AC=6$,求线段$CE$的长；
(2)若$AC:BC=2:3,CE=12$,求线段$DE$的长.
(1)若$AB=16,AC=6$,求线段$CE$的长；
(2)若$AC:BC=2:3,CE=12$,求线段$DE$的长.
答案
(1)因为 E 是线段 AB 的中点,所以 $AE=\frac{1}{2}AB$.因为 $AB=16$,所以 $AE=8$.又因为 $AC=6$,所以 $CE=AE-AC=8-6=2$.
(2)由 $AC: BC=2: 3$, 设 $AC=2x, BC=3x$. 所以 $AB=AC+BC=2x+3x=5x$. 因为 E 是线段 AB 的中点, 所以 $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}x$. 因为 $AC=2x$, 所以 $CE=AE-AC=\frac{1}{2}x$. 根据题意, 得 $\frac{1}{2}x=12$, 解得 $x=24$, 则 $AC=48$. 因为 D 是线段 AC 的中点, 所以 $DC=\frac{1}{2}AC=24, DE=DC+CE=24+12=36$.
(2)由 $AC: BC=2: 3$, 设 $AC=2x, BC=3x$. 所以 $AB=AC+BC=2x+3x=5x$. 因为 E 是线段 AB 的中点, 所以 $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}x$. 因为 $AC=2x$, 所以 $CE=AE-AC=\frac{1}{2}x$. 根据题意, 得 $\frac{1}{2}x=12$, 解得 $x=24$, 则 $AC=48$. 因为 D 是线段 AC 的中点, 所以 $DC=\frac{1}{2}AC=24, DE=DC+CE=24+12=36$.
2. (2025·南京校级期末)如图,点 C 在线段 AB 上,点 O 是线段 BC 的中点,点 E 在线段 OC上,且 $CE=2AC,AB=21$.
(1)若 $BO=2EO$,求 $AC$ 的长;
(2)若 $AC=m$,点 D 在线段 $BO$ 上且 $2OD=9AC-21$,则 $DE=$ ______(用含 $m$ 的代数式表示).
$\gg$ 进一步挑战进阶专题·P118 专题7~P120 专题9
(1)若 $BO=2EO$,求 $AC$ 的长;
(2)若 $AC=m$,点 D 在线段 $BO$ 上且 $2OD=9AC-21$,则 $DE=$ ______(用含 $m$ 的代数式表示).
$\gg$ 进一步挑战进阶专题·P118 专题7~P120 专题9
答案
(1)设 $EO=x, BO=2x$, 因为点 C 在线段 AB 上, 点 O 是线段 BC 的中点, 所以 $CB=2BO=4x, CE=CO-EO=x$. 因为 $CE=2AC$, 所以 $AC=\frac{x}{2}$. 根据 $AC+CB=AB$, 可得 $\frac{x}{2}+4x=21$,解得 $x=\frac{14}{3}$, 所以 $AC=\frac{1}{2}x=\frac{7}{3}$.
(2)2m 【解析】因为 $AC=m, CE=2AC$, 所以 $CE=2m$, 因为 $2OD=9AC-21$, 所以 $OD=\frac{9m-21}{2}$. 因为点 O 是线段 BC 的中点, 所以 $OC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(21-m), OE=OC-CE=\frac{1}{2}BC-CE=\frac{1}{2}(21-m)-2m=\frac{21-5m}{2}$, 所以 $DE=OD+OE=\frac{9m-21}{2}+\frac{21-5m}{2}=2m$.
(2)2m 【解析】因为 $AC=m, CE=2AC$, 所以 $CE=2m$, 因为 $2OD=9AC-21$, 所以 $OD=\frac{9m-21}{2}$. 因为点 O 是线段 BC 的中点, 所以 $OC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(21-m), OE=OC-CE=\frac{1}{2}BC-CE=\frac{1}{2}(21-m)-2m=\frac{21-5m}{2}$, 所以 $DE=OD+OE=\frac{9m-21}{2}+\frac{21-5m}{2}=2m$.
