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1. （2025·无锡期末）七巧板是我国一种古老的拼板玩具（图①），广泛流传于世界各国，在国外被称为“唐图”，意为中国的图板.图②是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼成的“以礼相待”图，则图中阴影部分的面积是________.
答案
1. 6 【解析】如图①所示，因为正方形ABCD的边长为4，所以正方形ABCD的面积为4²=16，所以△OBC的面积为1/4×16=4，所以平行四边形EFCG的面积为1/2×4=2，所以图②中阴影部分的面积是4+2=6。
2. ★★★ 试将一个正方形花坛分成四块大小与形状均相同的图形,使之可以看成是由“平移”“旋转”或“翻折”而成的,如图①,分成四个正方形;如图②,分成四个曲边图形.请你再设计两种图形.
答案
2. 如图，图③分成四个等腰直角三角形，图④分成四个长方形(答案不唯一)。
3. 数形结合思想 如图,长方形的相邻两边的长分别为$x,y$,将它分别绕相邻两边所在直线旋转一周.
(1)两次旋转所形成的几何体都是________.
(2)若$x+y=k$($k$是常数),分别记绕长度为$x,y$的边所在直线旋转一周的几何体的体积为$V_x,V_y$,其中$x,V_x,V_y$的部分取值如表所示:
①通过表格中的数据计算:$k=\_\_\_\_\_\_,m=\_\_\_\_\_\_,n=\_\_\_\_\_\_$;
②当$x$逐渐增大时,$V_y$的变化情况为________;
A. 逐渐增大
B. 逐渐减小
C. 先增大再减小
D. 先减小再增大
③当$x$变化时,请直接写出$V_x$与$V_y$的大小关系.
(1)两次旋转所形成的几何体都是________.
(2)若$x+y=k$($k$是常数),分别记绕长度为$x,y$的边所在直线旋转一周的几何体的体积为$V_x,V_y$,其中$x,V_x,V_y$的部分取值如表所示:
①通过表格中的数据计算:$k=\_\_\_\_\_\_,m=\_\_\_\_\_\_,n=\_\_\_\_\_\_$;
②当$x$逐渐增大时,$V_y$的变化情况为________;
A. 逐渐增大
B. 逐渐减小
C. 先增大再减小
D. 先减小再增大
③当$x$变化时,请直接写出$V_x$与$V_y$的大小关系.
答案
3. (1)圆柱
(2)①10 128π 147π 【解析】根据题意,得$V_x=π y^2x,V_y=π x^2y,x+y=k$,当$x=5$时,$y=k-5,V_y=125π$,所以$π×(k-5)×5^2=125π$,解得$k=10$.当$x=2$时,$y=k-2=8$,所以$V_x=π y^2x=64×2×π=128π$,所以$m=128π$;当$x=7$时,$y=k-7=3$,所以$V_y=π×7^2×3=147π$,所以$n=147π$.
②C 【解析】根据题意,得
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
| $V_x$ | | $m$ | | | | | | | |
| $V_y$ | $9π$ | $32π$ | $63π$ | $96π$ | $125π$ | $144π$ | $147π$ | $128π$ | $81π$ |
所以当$x$逐渐增大时,$V_y$的变化情况为先增大后减小.故选C.
③根据题意,得$V_x=π y^2x,V_y=π x^2y,x+y=10$,当$V_x=V_y$时,得$π y^2x=π x^2y$,解得$x=y=5$;当$V_x＞V_y$时,得$π y^2x＞π x^2y$,所以$y＞x$,所以$10-x＞x$,解得$0＜x＜5$;当$V_x＜V_y$时,得$π y^2x＜π x^2y$,所以$y＜x$,所以$10-x＜x$,解得$10＞x＞5$.故当$x=y=5$时,$V_x=V_y$;当$0＜x＜5$时,$V_x＞V_y$;当$10＞x＞5$时,$V_x＜V_y$.
(2)①10 128π 147π 【解析】根据题意,得$V_x=π y^2x,V_y=π x^2y,x+y=k$,当$x=5$时,$y=k-5,V_y=125π$,所以$π×(k-5)×5^2=125π$,解得$k=10$.当$x=2$时,$y=k-2=8$,所以$V_x=π y^2x=64×2×π=128π$,所以$m=128π$;当$x=7$时,$y=k-7=3$,所以$V_y=π×7^2×3=147π$,所以$n=147π$.
②C 【解析】根据题意,得
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
| $V_x$ | | $m$ | | | | | | | |
| $V_y$ | $9π$ | $32π$ | $63π$ | $96π$ | $125π$ | $144π$ | $147π$ | $128π$ | $81π$ |
所以当$x$逐渐增大时,$V_y$的变化情况为先增大后减小.故选C.
③根据题意,得$V_x=π y^2x,V_y=π x^2y,x+y=10$,当$V_x=V_y$时,得$π y^2x=π x^2y$,解得$x=y=5$;当$V_x＞V_y$时,得$π y^2x＞π x^2y$,所以$y＞x$,所以$10-x＞x$,解得$0＜x＜5$;当$V_x＜V_y$时,得$π y^2x＜π x^2y$,所以$y＜x$,所以$10-x＜x$,解得$10＞x＞5$.故当$x=y=5$时,$V_x=V_y$;当$0＜x＜5$时,$V_x＞V_y$;当$10＞x＞5$时,$V_x＜V_y$.
