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1. 🔯|新考法 如图,长方形纸板$ABCD$中,$AD$长为20米,$AB$长为$a$米.下面我们将研究用不同裁剪方法,将该纸板制作成长方体纸盒.
(1)如图①所示,用$EF$把长方形$ABCD$分成2个长方形,如图②所示,将长方形$ABFE$折叠成纸盒的侧面,将长方形$CDEF$作纸盒的下底面,做成一个无盖的长方体纸盒.若$a=4$,请你求这个纸盒底面的周长.
(2)如图③、④所示,用$EF$把长方形$ABCD$分成2个长方形,将长方形$ABFE$折叠成纸盒的侧面,将长方形$CDEF$沿$GH$剪成两部分,分别做纸盒的上、下底面,做成一个有盖的长方体纸盒.
①若$a=4$,请分别求出图③、④两种不同方案的底面周长.
②请你猜想图③、④两种不同方案所做纸盒的底面周长是否有可能相等?如果有可能相等,请求出此时$a$的值;如果没有可能相等,请说明理由.
(1)如图①所示,用$EF$把长方形$ABCD$分成2个长方形,如图②所示,将长方形$ABFE$折叠成纸盒的侧面,将长方形$CDEF$作纸盒的下底面,做成一个无盖的长方体纸盒.若$a=4$,请你求这个纸盒底面的周长.
(2)如图③、④所示,用$EF$把长方形$ABCD$分成2个长方形,将长方形$ABFE$折叠成纸盒的侧面,将长方形$CDEF$沿$GH$剪成两部分,分别做纸盒的上、下底面,做成一个有盖的长方体纸盒.
①若$a=4$,请分别求出图③、④两种不同方案的底面周长.
②请你猜想图③、④两种不同方案所做纸盒的底面周长是否有可能相等?如果有可能相等,请求出此时$a$的值;如果没有可能相等,请说明理由.
答案
(1)设$DE=x$米,则$AE=(20-x)$米,则$CD=AB=4$米,根据长方体纸盒的意义,得到$2(4+x)=20-x$,解得$x=4$.因为$a=4$,所以$DE=EF=FC=CD=4$米,故底面的周长为$DE+EF+FC+CD=4×4=16$(米).
(2)①若$a=4$,题图③中,设$DE=x$米,则$EG=GF=2$米,$AE=2(x+2)$米,根据$AE+DE=AD$,得$2(x+2)+x=20$,解得$x=\frac{16}{3}$,所以底面的周长为$2(x+2)=2×\frac{22}{3}=\frac{44}{3}$(米).
题图④中,设$DE=x$米,则$EF=GH=4$米,$AE=2(\frac{x}{2}+4)$米,根据$AE+DE=AD$,得$2(\frac{x}{2}+4)+x=20$,解得$x=6$,所以底面的周长为$2(\frac{x}{2}+4)=14$(米).
②有可能相等.题图③中,设$DE=x$米,则$EG=GF=\frac{a}{2}$米,$AE=2(x+\frac{a}{2})$米,根据$AE+DE=AD$,得$2(x+\frac{a}{2})+x=20$,解得$x=\frac{20-a}{3}$,所以底面的周长为$2(x+\frac{a}{2})=2(\frac{20-a}{3}+\frac{a}{2})=\frac{40-2a}{3}+a=\frac{40+a}{3}$(米).题图④中,设$DE=x$米,则$EF=GH=a$米,$AE=2(\frac{x}{2}+a)$米,根据$AE+DE=AD$,得$2(\frac{x}{2}+a)+x=20$,解得$x=10-a$,所以底面的周长为$2(\frac{x}{2}+a)=x+2a=(10+a)$米.根据两种方案的底面周长相等,得$10+a=\frac{40+a}{3}$,解得$a=5$.
(2)①若$a=4$,题图③中,设$DE=x$米,则$EG=GF=2$米,$AE=2(x+2)$米,根据$AE+DE=AD$,得$2(x+2)+x=20$,解得$x=\frac{16}{3}$,所以底面的周长为$2(x+2)=2×\frac{22}{3}=\frac{44}{3}$(米).
题图④中,设$DE=x$米,则$EF=GH=4$米,$AE=2(\frac{x}{2}+4)$米,根据$AE+DE=AD$,得$2(\frac{x}{2}+4)+x=20$,解得$x=6$,所以底面的周长为$2(\frac{x}{2}+4)=14$(米).
②有可能相等.题图③中,设$DE=x$米,则$EG=GF=\frac{a}{2}$米,$AE=2(x+\frac{a}{2})$米,根据$AE+DE=AD$,得$2(x+\frac{a}{2})+x=20$,解得$x=\frac{20-a}{3}$,所以底面的周长为$2(x+\frac{a}{2})=2(\frac{20-a}{3}+\frac{a}{2})=\frac{40-2a}{3}+a=\frac{40+a}{3}$(米).题图④中,设$DE=x$米,则$EF=GH=a$米,$AE=2(\frac{x}{2}+a)$米,根据$AE+DE=AD$,得$2(\frac{x}{2}+a)+x=20$,解得$x=10-a$,所以底面的周长为$2(\frac{x}{2}+a)=x+2a=(10+a)$米.根据两种方案的底面周长相等,得$10+a=\frac{40+a}{3}$,解得$a=5$.
2. (2026·武汉月考)将一个面积为1的三角形分成4个面积相等的小三角形,如图①,再将图①中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形,如图②,再将图②中心的小三角形按同样的方式分成4个面积相等的小三角形,如图③,以此类推.
(1)图①中阴影部分的面积为
(2)计算:$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64}+···+\frac{3}{4^{9}}$.
(1)图①中阴影部分的面积为
$\frac{1}{4}$
,图②中阴影部分的面积为 $\frac{1}{16}$
,图③中阴影部分的面积为 $\frac{1}{64}$
;(2)计算:$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64}+···+\frac{3}{4^{9}}$.
答案
(1)$\frac{1}{4}\ \ \frac{1}{16}\ \ \frac{1}{64}$ 【解析】由题知,题图①中阴影部分的面积为$1×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$;题图②中阴影部分的面积为$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$;题图③中阴影部分的面积为$\frac{1}{16}×\frac{1}{4}=\frac{1}{64}$.
(2)由题知,题图①中空白部分的面积为$\frac{3}{4}=1-\frac{1}{4}$;题图②中空白部分的面积为$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}=1-\frac{1}{16}$;题图③中空白部分的面积为$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64}=1-\frac{1}{64}$;…,所以题图$n$中空白部分的面积为$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64}+…+\frac{3}{4^n}=1-\frac{1}{4^n}$.当$n=9$时,$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64}+…+\frac{3}{4^9}=1-\frac{1}{4^9}$.
(2)由题知,题图①中空白部分的面积为$\frac{3}{4}=1-\frac{1}{4}$;题图②中空白部分的面积为$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}=1-\frac{1}{16}$;题图③中空白部分的面积为$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64}=1-\frac{1}{64}$;…,所以题图$n$中空白部分的面积为$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64}+…+\frac{3}{4^n}=1-\frac{1}{4^n}$.当$n=9$时,$\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64}+…+\frac{3}{4^9}=1-\frac{1}{4^9}$.
