17.(1)如图①,在梯形ABCD中,AD//BC,M,N分别是BD,AC的中点.求证:MN//BC,MN=$\frac{1}{2}(BC-AD)$.
(2)如图②,在梯形ABCD中,AB//DC,CE,BE分别平分∠DCB和∠CBA,E为AD中点.求证:BC=AB+DC.

(1)证明:连接并延长 AM,交 BC 于点 E,则△AMD≌△EMB.
∴ AM=ME,AD=BE,又 N 是 AC 的中点,
∴ MN=$\frac{1}{2}$EC,
∴ MN//BC,MN=$\frac{1}{2}(BC-AD)$.
(2)证明:延长 CE,BA 交于点 F,显然△DCE≌△AFE.
∴ DC=AF,CE=FE.
又∠BCD+∠CBA=180°,∠DCE=∠ECB,∠CBE=∠EBA,
∴ ∠CBE+∠BCE=90°,
∴ ∠CEB=90°.
∴ BE 是线段 CF 的垂直平分线.
∴ BC=BF=BA+AF,
∴ BC=AB+DC.

某兴趣小组在活动时,王老师提出了这样一个问题:如图①,在△ABC中,AB=6,AC=10,D是BC的中点,求BC边上的中线AD的取值范围.

(1)小明在组内经过合作交流,得到了如下的解题方法.如图①,延长AD到E点,使DE=AD,连接BE,根据可以判定△ADC≌△EDB,得出AC=BE.这样就能把线段AB,AC,2AD集中在△ABE中.利用三角形三边的关系,可得出中线AD的取值范围是.
【方法感悟】
当条件中出现“中点”“中线”等条件时,可以考虑把中线延长一倍,构造全等三角形,将分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中,称为“倍长中线”法.
【解决问题】
(2)如图②,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AD是BC边上的中线,CE⊥BC,CE=5,且∠ADE=90°.求AE的长.
【拓展探究】
(3)如图③,在△ABC中,∠A=90°,D是BC边的中点,∠EDF=90°,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE²+CF²=EF².

(1)SAS 2＜AD＜8
【解析】延长 AD 到点 E,使 DE=AD,连接 BE.
∵ D 是 BC 的中点,
∴ BD=CD.
在△ACD 和△EBD 中,
∵ DE = AD, ∠ADC = ∠BDE,BD=CD,
∴ △ADC≌△EDB(SAS).
∴ AC=BE=10.
在△ABE 中,BE-AB＜AE＜AB+BE,
∵ AB=6,AC=10,
∴ 10-6＜2AD＜10+6,
∴ 2＜AD＜8.
(2)延长 AD 交 EC 的延长线于点 G.
∵ AD 是中线,
∴ BD = CD, ∠ABD = ∠GCD = 90°(AB⊥BC,CE⊥BC),∠ADB=∠GDC(对顶角相等).
由 ASA 得△ABD≌△GCD,
因此 AD=DG,AB=CG=3.
∵ ∠ADE=90°,易证△ADE≌△GDE(SAS),
∴ AE=EG,故 EG=CE+CG=5+3=8.
因此 AE=8.
(3)如图,延长 ED 至点 G,使 DG=DE,连接 FG,CG.
由(1)得△BDE≌△CDG,
∴ BE=CG,∠B=∠DCG.
∵ D 是 BC 边的中点,∠EDF=90°.
∴ DF 垂直平分 EG,
∴ FG=EF.
∵ ∠A=90°,
∴ ∠B+∠ACB=90°.
∴ ∠DCG+∠ACB=90°,即∠FCG=90°.
∴ CF²+CG²=FG²,
∴ BE²+CF²=EF².