14. 如图，$△ ABC$中，$BD ⊥ AC$，$CE ⊥ AB$，$M$为$BC$的中点，$P$为$DE$的中点. 求证:$PM ⊥ DE$.

如图,连接 ME,MD.
∵ BD⊥AC,
∴ ∠BDC=90°.
∵ 在Rt△BDC 中 BM=MC,
∴ MD=$\frac{1}{2}$BC. 同理 ME=$\frac{1}{2}$BC,
∴ ME=MD.
∵ ME=MD,PE=PD,
∴ PM⊥DE.

15. 如图，$△ ABC$中，$AD$是高，$BE$是中线，且$∠ EBC=30°$. 求证：$AD=BE$.

如图,过 E 作 EF⊥BC 于点 F,连接 DE.
∵ AD 是高,EF⊥BC,
∴ AD//EF,
∵ BE 是中线,∠ADC=90°,
∴ DE=EC,
∴ DF=CF,
∴ EF=$\frac{1}{2}$AD.
∵ EF⊥BC,
∴ ∠EFB=90°.
∵ ∠CBE=30°,
∴ EF=$\frac{1}{2}$BE,
∴ AD=BE.

16. (1)如图①,在正方形ABCD中,点F在BC边上,AE平分∠∠DAF.若分别延长AE与BC,交于点G,求证:AF=FG.
(2)如图②,在矩形ABCD中,点E是CD边的中点,点F在BC边上,AE平分∠DAF.求证:AF=AD+FC.
(3)在(2)的条件下,若AD=6,DE=2,直接写出FC的长.

(1)证明:如图①.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD//BC,
∴ ∠DAE=∠G.
∵ AE 平分∠DAF,
∴ ∠DAE=∠FAG.
∴ ∠FAG=∠G,
∴ AF=FG.
(2)如图②,分别延长 AE 与 BC,交于点 G.
∵ 点 E 是 CD 边的中点,
∴ DE=EC.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AD = BC, ∠ADE = ∠GCE=90°.
又∠AED=∠GEC,
∴ △AED≌△GEC(ASA),
∴ AD=CG=BC,∠DAE=∠G.
∵ AE 是∠DAF 的平分线,
∴ ∠EAF=∠DAE=∠G.
∴ AF=FG=CG+FC=AD+FC. 即 AF=AD+FC.
(3)如图②,设 FC=x,则 AF=x+6,BF=6-x,
∵ 点 E 是 DC 的中点,DE=2,
∴ DC=4.
在Rt△ABF 中,由勾股定理得:$AF^2=AB^2+BF^2$,
$(6+x)^2=4^2+(6-x)^2$,解得 $x=\frac{2}{3}$,
∴ FC=$\frac{2}{3}$.