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【例1】 不等式组$\begin{cases}\dfrac{1}{3}x + 1 ＞ 0, \\2 - x ≥ 0\end{cases}$的解集在数轴上可表示为（ ）
【解题思路】 先分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可。
【解答过程】 解：$\begin{cases}\dfrac{1}{3}x + 1 ＞ 0①, \\2 - x ≥ 0②,\end{cases}$由①得$x ＞ -3$，由②得$x ≤ 2$，把$x ＞ -3, x ≤ 2$在数轴上表示为如下：
，故选择D。
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方：一是在表示解集时没有注意到“≥”“≤”要用实心圆点表示；“＜”“＞”要用空心圆点表示，而导致错选B。二是移项时没有变号。
【方法规律】 取不等式组的解集时要按照：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则。
【解题思路】 先分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可。
【解答过程】 解：$\begin{cases}\dfrac{1}{3}x + 1 ＞ 0①, \\2 - x ≥ 0②,\end{cases}$由①得$x ＞ -3$，由②得$x ≤ 2$，把$x ＞ -3, x ≤ 2$在数轴上表示为如下：
，故选择D。【易错点睛】 此类问题容易出错的地方：一是在表示解集时没有注意到“≥”“≤”要用实心圆点表示；“＜”“＞”要用空心圆点表示，而导致错选B。二是移项时没有变号。
【方法规律】 取不等式组的解集时要按照：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则。
答案
解：$\begin{cases}\dfrac{1}{3}x + 1 ＞ 0 \quad ①\\2 - x \ge 0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$\dfrac{1}{3}x ＞ -1$，
两边同时乘3，得$x ＞ -3$。
解不等式②：
移项得$-x \ge -2$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x \le 2$。
因此该不等式组的解集为$-3 ＜ x \le 2$，在数轴上表示时，-3处为空心圆点，2处为实心圆点，两点之间的部分为解集，对应选项D。
解不等式①：
移项得$\dfrac{1}{3}x ＞ -1$，
两边同时乘3，得$x ＞ -3$。
解不等式②：
移项得$-x \ge -2$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x \le 2$。
因此该不等式组的解集为$-3 ＜ x \le 2$，在数轴上表示时，-3处为空心圆点，2处为实心圆点，两点之间的部分为解集，对应选项D。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再找到两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，最后根据数轴表示解集的规则判断对应选项即可。解题时要注意：移项要变号，不等式两边同时乘负数时不等号方向需要改变，数轴表示时“≥”“≤”用实心圆点，“＞”“＜”用空心圆点。
【解析】
解：$\begin{cases}\dfrac{1}{3}x + 1 ＞ 0 \quad ①\\2 - x \ge 0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$\dfrac{1}{3}x ＞ -1$，
两边同时乘3，得$x ＞ -3$。
解不等式②：
移项得$-x \ge -2$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x \le 2$。
因此该不等式组的解集为$-3 ＜ x \le 2$，在数轴上表示时，-3处为空心圆点、方向向右，2处为实心圆点、方向向左，两点之间的部分即为解集，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式组解集、解集的数轴表示
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础题型，重点考察解不等式的基本能力和数轴表示解集的规则，解题时要注意不等号方向变化、实心与空心标识的区别，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再找到两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，最后根据数轴表示解集的规则判断对应选项即可。解题时要注意：移项要变号，不等式两边同时乘负数时不等号方向需要改变，数轴表示时“≥”“≤”用实心圆点，“＞”“＜”用空心圆点。
【解析】
解：$\begin{cases}\dfrac{1}{3}x + 1 ＞ 0 \quad ①\\2 - x \ge 0 \quad ②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$\dfrac{1}{3}x ＞ -1$，
两边同时乘3，得$x ＞ -3$。
解不等式②：
移项得$-x \ge -2$，
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$x \le 2$。
因此该不等式组的解集为$-3 ＜ x \le 2$，在数轴上表示时，-3处为空心圆点、方向向右，2处为实心圆点、方向向左，两点之间的部分即为解集，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式组解集、解集的数轴表示
【点评】
本题是一元一次不等式组的基础题型，重点考察解不等式的基本能力和数轴表示解集的规则，解题时要注意不等号方向变化、实心与空心标识的区别，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.8
【例2】 $a,b$都是实数，且$a ＜ b$，则下列不等式的变形正确的是 （）
A.$a+x ＞ b+x$
B.$-a+1 ＜ -b+1$
C.$3a ＜ 3b$
D.$\dfrac{a}{2} ＞ \dfrac{b}{2}$
【解题思路】 根据不等式的三条基本性质，把所给选项逐个分析。
【解答过程】 解：$a ＜ b \to a+x ＞ b+x$，不等式两边同时加上$x$，不等号的方向应该不变，所以A选项不正确；$a ＜ b \to -a+1 ＜ -b+1$，不等式两边先乘一个$(-1)$，然后加1，所以不等号的方向要改变，故B选项不正确；$a ＜ b \to 3a ＜ 3b$，不等式两边同时乘3，所以不等号的方向不变，故选项C正确；$a ＜ b \to \dfrac{a}{2} ＞ \dfrac{b}{2}$，不等式的两边同时除以一个正数2，所以不等号的方向应该不变，故D选项不正确。故选择C。
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是不等式的三条基本性质混淆，以为除以一个数（不为0）不等号的方向就改变，错选D。
A.$a+x ＞ b+x$
B.$-a+1 ＜ -b+1$
C.$3a ＜ 3b$
D.$\dfrac{a}{2} ＞ \dfrac{b}{2}$
【解题思路】 根据不等式的三条基本性质，把所给选项逐个分析。
【解答过程】 解：$a ＜ b \to a+x ＞ b+x$，不等式两边同时加上$x$，不等号的方向应该不变，所以A选项不正确；$a ＜ b \to -a+1 ＜ -b+1$，不等式两边先乘一个$(-1)$，然后加1，所以不等号的方向要改变，故B选项不正确；$a ＜ b \to 3a ＜ 3b$，不等式两边同时乘3，所以不等号的方向不变，故选项C正确；$a ＜ b \to \dfrac{a}{2} ＞ \dfrac{b}{2}$，不等式的两边同时除以一个正数2，所以不等号的方向应该不变，故D选项不正确。故选择C。
【易错点睛】 此类问题容易出错的地方是不等式的三条基本性质混淆，以为除以一个数（不为0）不等号的方向就改变，错选D。
答案
C
解析
【分析】
本题考查不等式基本性质的应用，解题时需结合不等式的三条基本性质对每个选项逐一验证：①不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。通过逐个比对选项的变形是否符合性质，就能选出正确答案。
【解析】
已知$a ＜ b$，逐个分析选项：
A选项：不等式两边同时加$x$，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$a+x ＜ b+x$，故A错误；
B选项：不等式两边先乘$-1$，根据不等式性质3，不等号方向改变，可得$-a ＞ -b$，再两边同时加1，不等号方向不变，可得$-a+1 ＞ -b+1$，故B错误；
C选项：不等式两边同时乘正数3，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$3a ＜ 3b$，故C正确；
D选项：不等式两边同时除以正数2，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$\dfrac{a}{2} ＜ \dfrac{b}{2}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式性质的基础应用题，易错点是混淆不等式乘除正数和负数时的符号变化规律，尤其是乘除负数时需要改变不等号方向，解题时要细心区分变形类型。
【难度系数】
0.8
本题考查不等式基本性质的应用，解题时需结合不等式的三条基本性质对每个选项逐一验证：①不等式两边加（或减）同一个数（或整式），不等号方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。通过逐个比对选项的变形是否符合性质，就能选出正确答案。
【解析】
已知$a ＜ b$，逐个分析选项：
A选项：不等式两边同时加$x$，根据不等式性质1，不等号方向不变，可得$a+x ＜ b+x$，故A错误；
B选项：不等式两边先乘$-1$，根据不等式性质3，不等号方向改变，可得$-a ＞ -b$，再两边同时加1，不等号方向不变，可得$-a+1 ＞ -b+1$，故B错误；
C选项：不等式两边同时乘正数3，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$3a ＜ 3b$，故C正确；
D选项：不等式两边同时除以正数2，根据不等式性质2，不等号方向不变，可得$\dfrac{a}{2} ＜ \dfrac{b}{2}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
不等式的基本性质
【点评】
本题是不等式性质的基础应用题，易错点是混淆不等式乘除正数和负数时的符号变化规律，尤其是乘除负数时需要改变不等号方向，解题时要细心区分变形类型。
【难度系数】
0.8
