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1 下列图形中一定全等的两个三角形是（
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
A
）A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
答案
1. A 【解析】在△ABC和△EFD中,$\begin{cases} AB=EF, \\ ∠A=∠E, \\ AC=DE, \end{cases}$
∴ △ABC≌△EFD(SAS),
∴ 全等的两个三角形是①②. 故选A.
∴ △ABC≌△EFD(SAS),
∴ 全等的两个三角形是①②. 故选A.
2[2026江苏徐州质检]如图,在$3×3$的方格中,每个小方格的边长均为1,若$∠1=α$,则$∠2$的度数为 (
A.$80°-α$
B.$90°-α$
C.$60°-α$
D.$70°-α$
B
)A.$80°-α$
B.$90°-α$
C.$60°-α$
D.$70°-α$
答案
2. B 【解析】如图
, 在△ABC和△DEF中, $\begin{cases} BC=EF=1, \\ ∠ABC=∠DEF=90°, \\ AB=DE=3, \end{cases}$∴ △ABC ≅ △DEF(SAS),
∴ ∠1 = ∠CAB.
∵ ∠ABC = 90°,
∴ ∠CAB+∠2=90°,
∴ ∠1+∠2=90°.
∵ ∠1=α,
∴ ∠2=90°-∠1=90°-α,故选B.
3[2025浙江杭州期中]如图,在$△ ABE$和$△ DCF$中,$∠ B = ∠ C,AB = DC$,若要利用SAS证明$△ ABE ≌ △ DCF$,还需要添加一个条件:
BE=CF(或BF=CE)
.(只填一个即可)答案
3. BE=CF(或BF=CE) 【解析】若要利用SAS证明△ABE≌△DCF,则在△ABE和△DCF中, $\begin{cases} AB=DC, \\ ∠B=∠C, \\ BE=CF, \end{cases}$
∴ 要证明△ABE≌△DCF,还需要添加的条件是BE=CF或BF=CE. 故答案为BE=CF(或BF=CE).
∴ 要证明△ABE≌△DCF,还需要添加的条件是BE=CF或BF=CE. 故答案为BE=CF(或BF=CE).
4 新考向跨学科综合 [2026江苏连云港调研]如图，
一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得$AO=CO$，$BO=DO$，已知蜡烛成像火焰$CD$的高度为$5.2\ \mathrm{cm}$，则蜡烛实际火焰$AB$的高度为
一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得$AO=CO$，$BO=DO$，已知蜡烛成像火焰$CD$的高度为$5.2\ \mathrm{cm}$，则蜡烛实际火焰$AB$的高度为
5.2
$\mathrm{cm}$。答案
4. 5.2 【解析】在△AOB和△COD中,
∵ AO=CO, ∠AOB = ∠COD, BO = DO,
∴ △AOB ≅ △COD(SAS),
∴ AB = CD = 5.2 cm,即蜡烛实际火焰AB的高度为5.2 cm. 故答案为5.2.
∵ AO=CO, ∠AOB = ∠COD, BO = DO,
∴ △AOB ≅ △COD(SAS),
∴ AB = CD = 5.2 cm,即蜡烛实际火焰AB的高度为5.2 cm. 故答案为5.2.
5 如图所示，A,B,C,D是四个村庄，B,D,C在同一条东西走向的公路的沿线上，$BD=DC=1\ \mathrm{km}$，村庄A,C和村庄A,D间也有公路相连，且公路AD是南北走向，
建议用时20分钟 答案D5
$AC=3\ \mathrm{km}$，只有A,B之间由于间隔了一个小湖泊，所以无直接相连的公路.现决定在湖面上造一座斜拉桥EF，测得$AE=1.2\ \mathrm{km}$，$BF=0.7\ \mathrm{km}$，那么建造的斜拉桥EF长至少为
建议用时20分钟 答案D5
$AC=3\ \mathrm{km}$，只有A,B之间由于间隔了一个小湖泊，所以无直接相连的公路.现决定在湖面上造一座斜拉桥EF，测得$AE=1.2\ \mathrm{km}$，$BF=0.7\ \mathrm{km}$，那么建造的斜拉桥EF长至少为
1.1
$\mathrm{km}$.答案
5. 1.1 【解析】由题意知∠BDA = ∠CDA = 90°.
∵ 在△ADB和△ADC中, $\begin{cases} DB=DC, \\ ∠ADB=∠ADC, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ △ADB≌△ADC(SAS),
∴ AB = AC = 3 km,
∴ 建造的斜拉桥EF长至少为 3-1.2-0.7=1.1(km). 故答案为1.1.
∵ 在△ADB和△ADC中, $\begin{cases} DB=DC, \\ ∠ADB=∠ADC, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ △ADB≌△ADC(SAS),
∴ AB = AC = 3 km,
∴ 建造的斜拉桥EF长至少为 3-1.2-0.7=1.1(km). 故答案为1.1.
6[2026江苏无锡质检]如图,点E在CD上,BC与AE交于点F,AB=CB,BE=BD,∠1=∠2.
(1)求证:AE=CD;
(2)若∠1=63°,求∠3的度数.
(1)求证:AE=CD;
(2)若∠1=63°,求∠3的度数.
答案
6. (1)【证明】
∵ ∠1=∠2,
∴ ∠1+∠CBE=∠2+∠CBE,
即∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中, $\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ BE=BD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CBD(SAS),
∴ AE=CD.
(2)【解】
∵ △ABE≌△CBD,
∴ ∠A=∠C.
∵ ∠AFB+∠A+∠1=180°=∠CFE+∠C+∠3,
∠AFB=∠CFE,
∴ ∠3=∠1=63°.
∵ ∠1=∠2,
∴ ∠1+∠CBE=∠2+∠CBE,
即∠ABE=∠CBD.
在△ABE和△CBD中, $\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABE=∠CBD, \\ BE=BD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△CBD(SAS),
∴ AE=CD.
(2)【解】
∵ △ABE≌△CBD,
∴ ∠A=∠C.
∵ ∠AFB+∠A+∠1=180°=∠CFE+∠C+∠3,
∠AFB=∠CFE,
∴ ∠3=∠1=63°.
7 如图,四边形ABCD中,$AB=BC=2CD$,$AB// CD$,$∠ C=90°$,E是BC的中点,AE与BD相交于点F,连接DE.
(1)求证:$△ ABE≌△ BCD$.
(2)判断线段AE与BD的数量关系及位置关系,并说明理由.
刷易错 ............小心有坑~
(1)求证:$△ ABE≌△ BCD$.
(2)判断线段AE与BD的数量关系及位置关系,并说明理由.
刷易错 ............小心有坑~
答案
7. (1)【证明】
∵ AB//CD,
∴ ∠ABE+∠C=180°.
∵ ∠C=90°,
∴ ∠ABE=90°=∠C.
∵ E是BC的中点,
∴ BC=2BE.
∵ BC=2CD,
∴ BE=CD.
在△ABE和△BCD中, $\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABE=∠C, \\ BE=CD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△BCD(SAS).
(2)【解】AE=BD 且 AE⊥BD.
理由如下:
由(1)得△ABE≌△BCD,
∴ AE=BD,∠BAE=∠CBD.
∵ ∠ABF+∠CBD=90°,
∴ ∠ABF+∠BAE=90°,
∴ ∠AFB=90°,
∴ AE⊥BD.
∵ AB//CD,
∴ ∠ABE+∠C=180°.
∵ ∠C=90°,
∴ ∠ABE=90°=∠C.
∵ E是BC的中点,
∴ BC=2BE.
∵ BC=2CD,
∴ BE=CD.
在△ABE和△BCD中, $\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABE=∠C, \\ BE=CD, \end{cases}$
∴ △ABE≌△BCD(SAS).
(2)【解】AE=BD 且 AE⊥BD.
理由如下:
由(1)得△ABE≌△BCD,
∴ AE=BD,∠BAE=∠CBD.
∵ ∠ABF+∠CBD=90°,
∴ ∠ABF+∠BAE=90°,
∴ ∠AFB=90°,
∴ AE⊥BD.
8 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,且$CD=BE$,$△ ADC$与$△ AEB$全等吗?若全等,请证明;若不一定全等,请说明理由.
答案
8. 【解】△ADC与△AEB不一定全等. 理由:在△ABE与△ACD中,已知AB=AC,BE=CD,∠A=∠A,不能判定△ADC与△AEB全等,即"SSA"不能作为两个三角形全等的判定方法.
【易错警示】本题容易把AB=AC, CD=BE, 公共角∠A = ∠A作为条件,误以为可以用"SAS"来判定△ADC与△AEB全等,实际上条件为"SSA",不可以作为判定两个三角形全等的方法.
【易错警示】本题容易把AB=AC, CD=BE, 公共角∠A = ∠A作为条件,误以为可以用"SAS"来判定△ADC与△AEB全等,实际上条件为"SSA",不可以作为判定两个三角形全等的方法.
