1 用三张正方形纸片,按如图所示方式构成图案,若要使所围成的三角形(阴影部分)是直角三角形,则选取的三个正方形纸片的面积不可以是 ()

A.1,2,3
B.2,2,4
C.3,4,5
D.2,3,5

（第1题图）（第2题图）

1.C 【解析】由题意可得,三角形各边长的平方是对应的各个正方形的面积.
∵ 所围成的三角形是直角三角形,
∴ 斜边对应的正方形的面积等于两直角边对应的正方形的面积和.又
∵ 1+2=3,2+2=4,3+4≠5,2+3=5,
∴ 选取的三个正方形纸片的面积不可以是 3,4,5.故选 C.

2 如图,在四边形$ABCD$中,$AB=AD=6$,$∠ A=60°$,$BC=10$,$CD=8$,则$∠ ADC$的度数为（）

A.$110°$
B.$120°$
C.$150°$
D.$160°$

2.C 【解析】连接 BD.
∵ AB=AD=6,∠A=60°,
∴ △ABD 是等边三角形,
∴ BD=6,∠ADB = 60°.
∵ BC=10,CD=8,
∴ BD²+CD² = 6²+8² = 100,BC² = 10² = 100,
∴ BD² + CD² = BC²,
∴ △BDC 是直角三角形, ∠BDC = 90°,
∴ ∠ADC=∠ADB+∠BDC=150°.故选 C.

3[2026上海宝山区质检]如图,在笔直的公路AB旁有一座山,从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为15 km,到公路上另一停靠站B的距离为20 km,停靠站A,B之间的距离为25 km,为方便运输货物,现要从公路AB上的D处开凿隧道,修建一条公路到C处,且$CD ⊥ AB$,则修建的公路CD的长度为km.

3.12 【解析】
∵ AC = 15 km, BC = 20 km, AB = 25 km,15² + 20² = 25²,
∴ AC² + BC² = AB²,
∴ ∠ACB=90°.
∵ CD ⊥ AB,
∴ $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB · CD=\frac{1}{2}AC · BC$,
∴ $CD=\frac{AC · BC}{AB}=\frac{15×20}{25}=12$(km),
∴ 修建的公路 CD 的长是 12 km. 故答案为 12.

4[2025江苏南京期中]下面各组数中,是勾股数的是（）

A.$\sqrt{3},2,7$
B.$0.6,0.8,1$
C.$3,4,5$
D.$5,8,10$

4.C 【解析】$(\sqrt{3})^2 + 2^2 ≠ 7^2$,且$\sqrt{3}$不是正整数,故选项 A 中的数不是勾股数;$0.6^2+0.8^2=1^2$,但 0.6,0.8 不是正整数,故选项 B 中的数不是勾股数;$3^2+4^2=5^2$,且 3,4,5 是正整数,故选项 C 中的数是勾股数;$5^2+8^2≠10^2$,故选项 D 中的数不是勾股数.故选 C.

5 如图，△ABD 内有一点 C，∠ACB=90°。已知
建议用时 20 分钟 答案 D50
AC=3 cm，BC=4 cm，AD=12 cm，DB=13 cm，
则图中阴影部分的面积 S=。

5.24 cm² 【解析】因为 ∠ACB = 90°, 由勾股定理得 $AB^2=AC^2+BC^2$, 即 $AB^2=3^2+4^2=25$, 所以 AB=5 cm. 在 △ABD 中, 因为 $AB^2+AD^2=5^2+12^2=25+144=169=BD^2$, 所以 △ABD 是直角三角形, ∠BAD = 90°, 所以 $S=S_{△ABD}-S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB · AD-\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×3×4=24(cm^2)$, 故答案为 24 cm².

6[2025吉林长春期末]如图，$△ ACD$和$△ BCE$均为等腰直角三角形，$∠ ACD = ∠ ECB = 90°$. 连接$AE$，$DE$. 若$AE^2 = DE^2 + 2CE^2$，求$∠ DEC$的度数.

6.【解】连接 DB,如图.
因为△ACD 和△ECB 都是等腰直角三角形,∠ACD=∠ECB=90°,
所以 AC=CD,CE=CB,∠ACE=∠DCB.
在△ACE 和△DCB 中,$\begin{cases} AC=DC, \\ ∠ACE=∠DCB, \\ CE=CB, \end{cases}$
所以△ACE≌△DCB(SAS),
所以 AE=BD.
因为△BCE 是等腰直角三角形,∠BCE=90°,
所以∠BEC=∠EBC=45°.
在Rt△BCE 中,$CE^2+CB^2=BE^2$,
所以$BE^2=2CE^2$.
因为$AE^2=DE^2+2CE^2$,
所以$BD^2=DE^2+BE^2$,
所以∠BED=90°,
所以∠DEC=∠BED-∠BEC=90°-45°=45°.

7 新素材[2026湖北武汉调研]2026年是中国共产党成立105周年，也是“十五五”开局之年。如图，为迎接这一重要时刻，某校拟对学校中的一块空地进行美化施工，其中$AB=3$米，$BC=4$米，$AD=13$米，$CD=12$米，$∠ ABC=90°$，欲在此空地上种植盆景造型，已知盆景每平方米500元，试用该盆景铺满这块空地共需花费多少元？

7.【解】如图,连接 AC. 在Rt△ABC 中,AB = 3 米,BC = 4 米,∠ABC = 90°,由勾股定理得 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$(米).
在△ADC 中,$AD^2=13^2=5^2+12^2=AC^2+CD^2$,由勾股定理的逆定理得△ADC 是直角三角形,且∠ACD=90°.
∴ 空地面积 $=S_{△ADC}+S_{△ABC}=\frac{1}{2}CD · AC+\frac{1}{2}AB · BC=\frac{1}{2}×12×5+\frac{1}{2}×3×4=36$(平方米).
∴ 用该盆景铺满这块空地需要 36×500 = 18 000(元).
答: 用该盆景铺满这块空地共需花费18 000 元.
思路分析
首先利用勾股定理得出 AC 的长度,然后利用勾股定理的逆定理得到△ADC 是直角三角形,进而求出△ADC 和△ABC 的面积,两个面积之和即为空地面积.
易错警示
能作为直角三角形的三边长的三个数不一定是勾股数.