1[2026江西萍乡期中,中]意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设图(1)中空白部分的面积为$S_1$,图(3)中空白部分的面积为$S_2$,其中四边形$ABGF,GCDE,B'C'E'F'$均为正方形,则下列等式成立的是 ()


A.$S_1 = a^2 + b^2 + 2ab$
B.$a^2 + b^2 = c^2$
C.$S_2 = c^2$
D.$S_2 = c^2 + \dfrac{1}{2}ab$

【解析】由题图可得,$S_2 = S_1$,$S_1 = a^2 + b^2 +\frac{1}{2}ab×2 = a^2 + b^2 + ab$,$S_2 = c^2 + \frac{1}{2}ab×2 = c^2 + ab$,$\therefore a^2 + b^2 + ab = c^2 + ab$,$\therefore a^2 + b^2 = c^2$,故选B.

2[2026广东梅州调研，中]如图，$△ ABC$和$△ CDE$是全等的直角三角形，点$B$，$C$，$D$在一条直线上，连接$AE$，根据此图，我们可以验证的定理是。

【解析】由题可知四边形$ABDE$是一个直角梯形,根据梯形面积公式可得$S_{梯形ABDE}=\frac{1}{2}(a + b)(a + b) = \frac{1}{2}(a + b)^2$. 易知$△ ACE$是等腰直角三角形,两个直角三角形的面积和为$2×\frac{1}{2}ab = ab$,$△ ACE$的面积为$\frac{1}{2}c^2$,$\therefore \frac{1}{2}(a + b)^2 = ab + \frac{1}{2}c^2$,整理得$a^2 + b^2 = c^2$,$\therefore$验证的定理是勾股定理.

3[2026陕西西安高新区质检,中]面积法是最常见的验证勾股定理的方法.用两个全等的直角三角形纸板拼出如图所示的图形,$∠ ACB = ∠ DEA = 90°$,设$AB = AD = c$,$BC = AE = a$,$AC = DE = b$,请结合图形验证勾股定理.

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【解】根据题意可得$△ ABC ≌ △ DAE$,所以$∠ ABC = ∠ DAE$. 因为$∠ ACB = 90°$,所以$∠ BAC + ∠ ABC = 90°$,所以$∠ BAC + ∠ DAE = 90°$,即$∠ BAD = 90°$,所以$S_{△ ABD} = \frac{1}{2}AB · AD = \frac{1}{2}c^2$. 因为$EC = AC - AE = b - a$,易得在$△ BCD$中,$BC$边上的高与$EC$相等,所以$S_{△ BCD} = \frac{1}{2}BC · EC = \frac{1}{2}a(b - a)$,所以$S_{四边形ABCD} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a)$. 因为$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AC = \frac{1}{2}ab$,$S_{△ ACD} = \frac{1}{2}AC · DE = \frac{1}{2}b^2$,所以$S_{四边形ABCD} = S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2$,所以$\frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a(b - a) = \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}b^2$,整理,得$a^2 + b^2 = c^2$.

4 核心素养几何直观[较难]【探索新知】小明用四张全等的直角三角形纸片拼成图(1),从面积的角度思考:大正方形的面积=小正方形的面积+四个直角三角形的面积.从而得数学等式：$(a+b)^2=c^2+4×\frac{1}{2}ab$,化简证得勾股定理:$a^2+b^2=c^2$.
【初步运用】(1)现将图(1)中上方的两直角三角形向内折叠,如图(2),若$a=4,b=6$,此时空白部分的面积为.
(2)如图(3),将这四个直角三角形紧密地拼接,形成风车状,已知外围轮廓(实线)的周长为24,$OC=3$,求该风车状图案的面积.
(3)如图(4),将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形$ABCD$,正方形$EFGH$,正方形$MNKT$的面积分别为$S_1,S_2,S_3$,若$S_1+S_2+S_3=40$,则$S_2=$.
【迁移运用】(4)用三张含$60°$角的全等三角形纸片,能否拼成一个特殊图形?带着这个疑问,小丽拼出如图(5)所示的等边三角形,你能仿照勾股定理的验证,发现含$60°$角的三角形三边$a,b,c$之间的关系吗?写出此等量关系式及其推导过程.(提示:如图(6),含$60°$角的直角三角形,$\frac{对边\ y}{斜边\ x}=定值\ k$)

建议用时25分钟 答案D49

(1)由题意得$c^2=a^2+b^2=52$,$\therefore$空白部分的面积为$52-2×\frac{1}{2}×4×6=28$.
(2)$24÷4=6$,设$AC=x$. 依题意有$(x+3)^2+3^2=(6-x)^2$,解得$x=1$,则$\frac{1}{2}×(3+1)×3×4=\frac{1}{2}×4×3×4=24$. 故该风车状图案的面积是24.
(3)将四边形$MTKN$的面积设为$z$,将其余全等的三角形的面积设为$y$. $\because$正方形$ABCD$,正方形$EFGH$,正方形$MNKT$的面积分别为$S_1$,$S_2$,$S_3$,$S_1+S_2+S_3=40$,$\therefore S_1=8y+z$,$S_2=4y+z$,$S_3=z$,$\therefore S_1+S_2+S_3=3z+12y=40$,$\therefore z+4y=\frac{40}{3}$,$\therefore S_2=z+4y=\frac{40}{3}$.
(4)结论:$a^2+b^2-ab=c^2$. 推导过程:由题意得大等边三角形的面积=三个全等三角形的面积+小等边三角形的面积,即$\frac{1}{2}(a+b)×k(a+b)=3×\frac{1}{2}×b×ka+\frac{1}{2}×c×ck$,$\therefore (a+b)^2=3ab+c^2$,$\therefore a^2+b^2-ab=c^2$.