登录
1. 下列长度的三条线段,不能组成三角形的是 (
A.3,8,4
B.4,9,6
C.15,20,8
D.9,15,8
A
)A.3,8,4
B.4,9,6
C.15,20,8
D.9,15,8
答案
1.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要用到三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们可以用更简便的判断方法：先找出每组线段中最长的那条，再计算另外两条较短线段的和，若较短两条的和大于最长边，就能组成三角形；若小于或等于最长边，就不能组成三角形，接下来逐一分析每个选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，采用简便判断规则：比较较短两边之和与最长边的大小。
A选项：三条线段长度为3、4、8，最长边为8，较短两边和为3+4=7，7＜8，不满足三边关系，不能组成三角形；
B选项：三条线段长度为4、6、9，最长边为9，较短两边和为4+6=10，10＞9，满足三边关系，可以组成三角形；
C选项：三条线段长度为8、15、20，最长边为20，较短两边和为8+15=23，23＞20，满足三边关系，可以组成三角形；
D选项：三条线段长度为8、9、15，最长边为15，较短两边和为8+9=17，17＞15，满足三边关系，可以组成三角形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握“较短两边之和与最长边比较”的简便判断方法，即可快速准确得出结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要用到三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们可以用更简便的判断方法：先找出每组线段中最长的那条，再计算另外两条较短线段的和，若较短两条的和大于最长边，就能组成三角形；若小于或等于最长边，就不能组成三角形，接下来逐一分析每个选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，采用简便判断规则：比较较短两边之和与最长边的大小。
A选项：三条线段长度为3、4、8，最长边为8，较短两边和为3+4=7，7＜8，不满足三边关系，不能组成三角形；
B选项：三条线段长度为4、6、9，最长边为9，较短两边和为4+6=10，10＞9，满足三边关系，可以组成三角形；
C选项：三条线段长度为8、15、20，最长边为20，较短两边和为8+15=23，23＞20，满足三边关系，可以组成三角形；
D选项：三条线段长度为8、9、15，最长边为15，较短两边和为8+9=17，17＞15，满足三边关系，可以组成三角形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握“较短两边之和与最长边比较”的简便判断方法，即可快速准确得出结果。
【难度系数】
0.9
2.如果三角形的三条高线的交点是三角形的顶点，那么这个三角形是 （
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
答案
2.B
解析
【分析】
解题时先回忆不同类型三角形的三条高线的交点位置特征，再结合题干要求逐一排查选项即可。首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线段，这条线段就是三角形的高，再分别分析三类三角形高的交点位置，匹配“交点是三角形顶点”的条件。
【解析】
我们逐一分析选项：
A. 锐角三角形的三条高线都在三角形内部，三条高线的交点也在三角形内部，不是三角形的顶点，不符合题意，排除；
B. 直角三角形的两条直角边本身就是对应边上的高线，这两条高线的交点就是直角顶点，斜边上的高线也经过该顶点，因此三条高线的交点是三角形的顶点，符合题意；
C. 钝角三角形的三条高线的交点在三角形的外部，不是三角形的顶点，不符合题意，排除；
D. 由上述分析可以确定三角形类型，该选项错误，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形的高
2. 三角形的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握不同类型三角形高线的位置及交点特征，牢记相关结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆不同类型三角形的三条高线的交点位置特征，再结合题干要求逐一排查选项即可。首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线段，这条线段就是三角形的高，再分别分析三类三角形高的交点位置，匹配“交点是三角形顶点”的条件。
【解析】
我们逐一分析选项：
A. 锐角三角形的三条高线都在三角形内部，三条高线的交点也在三角形内部，不是三角形的顶点，不符合题意，排除；
B. 直角三角形的两条直角边本身就是对应边上的高线，这两条高线的交点就是直角顶点，斜边上的高线也经过该顶点，因此三条高线的交点是三角形的顶点，符合题意；
C. 钝角三角形的三条高线的交点在三角形的外部，不是三角形的顶点，不符合题意，排除；
D. 由上述分析可以确定三角形类型，该选项错误，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形的高
2. 三角形的分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握不同类型三角形高线的位置及交点特征，牢记相关结论即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 三个内角之比为$1:5:6$的三角形是 （
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
答案
3.B
解析
【分析】
要判断三角形的类型，首先明确三角形按角分类的依据是最大内角的类型：最大角为锐角则是锐角三角形，为直角则是直角三角形，为钝角则是钝角三角形。已知三个内角的比例，结合三角形内角和固定为180°的性质，我们可以通过按比例分配的方法求出三个内角的度数，找到最大角的类型即可得到答案。
【解析】
解：
∵三角形的内角和为180°，三个内角之比为$1:5:6$
∴内角的总份数为：$1+5+6=12$
分别计算三个内角的度数：
第一个角：$180° × \frac{1}{12}=15°$
第二个角：$180° × \frac{5}{12}=75°$
第三个角：$180° × \frac{6}{12}=90°$
该三角形有一个内角为90°（直角），因此是直角三角形。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和、按比例分配、三角形按角分类
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查三角形内角和的应用，结合按比例分配计算各角度数即可快速判断三角形类型，解题难度较低。
【难度系数】
0.9
要判断三角形的类型，首先明确三角形按角分类的依据是最大内角的类型：最大角为锐角则是锐角三角形，为直角则是直角三角形，为钝角则是钝角三角形。已知三个内角的比例，结合三角形内角和固定为180°的性质，我们可以通过按比例分配的方法求出三个内角的度数，找到最大角的类型即可得到答案。
【解析】
解：
∵三角形的内角和为180°，三个内角之比为$1:5:6$
∴内角的总份数为：$1+5+6=12$
分别计算三个内角的度数：
第一个角：$180° × \frac{1}{12}=15°$
第二个角：$180° × \frac{5}{12}=75°$
第三个角：$180° × \frac{6}{12}=90°$
该三角形有一个内角为90°（直角），因此是直角三角形。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和、按比例分配、三角形按角分类
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查三角形内角和的应用，结合按比例分配计算各角度数即可快速判断三角形类型，解题难度较低。
【难度系数】
0.9
4. 等腰三角形的一边长为6 cm，另一边长为12 cm，则其周长为 (
A.24 cm
B.30 cm
C.24 cm 或 30 cm
D.18 cm
B
)A.24 cm
B.30 cm
C.24 cm 或 30 cm
D.18 cm
答案
4.B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确等腰三角形两腰长度相等的特点，由于题中没有明确给出哪条边是腰、哪条边是底，所以需要分两种情况讨论，同时必须结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况是否能构成三角形，最后计算符合要求的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形的两条边长分别为6cm和12cm，分两种情况讨论：
1. 若腰长为6cm，则三角形三边长为6cm、6cm、12cm。
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，此时6+6=12，不满足三边关系，无法构成三角形，该情况舍去。
2. 若腰长为12cm，则三角形三边长为12cm、12cm、6cm。
验证三边关系：6+12＞12，12+12＞6，满足构成三角形的条件。
此时周长为：12+12+6=30（cm）
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，周长计算
【点评】
本题是易错题，很多同学会忽略验证三边关系直接认为两种情况都成立从而错选C，遇到等腰三角形边长的问题时，分类讨论后一定要先判断是否能构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确等腰三角形两腰长度相等的特点，由于题中没有明确给出哪条边是腰、哪条边是底，所以需要分两种情况讨论，同时必须结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况是否能构成三角形，最后计算符合要求的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形的两条边长分别为6cm和12cm，分两种情况讨论：
1. 若腰长为6cm，则三角形三边长为6cm、6cm、12cm。
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，此时6+6=12，不满足三边关系，无法构成三角形，该情况舍去。
2. 若腰长为12cm，则三角形三边长为12cm、12cm、6cm。
验证三边关系：6+12＞12，12+12＞6，满足构成三角形的条件。
此时周长为：12+12+6=30（cm）
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，周长计算
【点评】
本题是易错题，很多同学会忽略验证三边关系直接认为两种情况都成立从而错选C，遇到等腰三角形边长的问题时，分类讨论后一定要先判断是否能构成三角形，再进行后续计算。
【难度系数】
0.7
5.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角,那么这个三角形一定是 (
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.直角三角形或钝角三角形
D.钝角三角形
D
)A.锐角三角形
B.直角三角形
C.直角三角形或钝角三角形
D.钝角三角形
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先要明确三角形的一个外角和它相邻的内角是邻补角，二者相加等于180°。我们可以通过题目给出的“外角小于相邻内角”的大小关系，列不等式推导这个内角的度数范围，再根据三角形按角分类的标准，判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵三角形的一个外角和它相邻的内角互为邻补角，
∴二者的和为180°。
设这个相邻的内角为α，对应的外角为β，则α + β = 180°，即β = 180° - α。
根据题意得β ＜ α，代入得：
180° - α ＜ α
移项得：180° ＜ 2α
解得：α ＞ 90°
即该三角形有一个内角是钝角，因此这个三角形是钝角三角形。
【答案】
D
【知识点】
邻补角的性质、三角形的分类
【点评】
这道题属于基础题，核心是掌握三角形外角与相邻内角的互补关系，结合角的大小关系推导内角的类型，进而判断三角形的类别，只要理清二者的数量关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确三角形的一个外角和它相邻的内角是邻补角，二者相加等于180°。我们可以通过题目给出的“外角小于相邻内角”的大小关系，列不等式推导这个内角的度数范围，再根据三角形按角分类的标准，判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵三角形的一个外角和它相邻的内角互为邻补角，
∴二者的和为180°。
设这个相邻的内角为α，对应的外角为β，则α + β = 180°，即β = 180° - α。
根据题意得β ＜ α，代入得：
180° - α ＜ α
移项得：180° ＜ 2α
解得：α ＞ 90°
即该三角形有一个内角是钝角，因此这个三角形是钝角三角形。
【答案】
D
【知识点】
邻补角的性质、三角形的分类
【点评】
这道题属于基础题，核心是掌握三角形外角与相邻内角的互补关系，结合角的大小关系推导内角的类型，进而判断三角形的类别，只要理清二者的数量关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.85
6.数学课上,同学们在练习画钝角△ABC的高BE时,有一部分学生画出下列四种图形(如图所示),其中错误的图形的个数为 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6.C
解析
【分析】
解题的核心是紧扣三角形高的定义判断：三角形某条边上的高，是从这条边相对的顶点，向这条边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段。本题要画钝角△ABC中AC边上的高BE，需满足：过点B作AC所在直线的垂线，垂足为E，线段BE即为所求。接下来逐个分析4个图形是否符合要求，统计错误图形的个数即可。
【解析】
根据三角形高的定义逐一判断：
1. 图①：过点B作AC所在直线的垂线，垂足E落在CA的延长线上，符合钝角三角形钝角邻边上的高的特征，画法正确；
2. 图②：BE与AC不垂直，不满足高“垂直于对边所在直线”的要求，画法错误；
3. 图③：所作垂线不是从点B向AC作的，不符合高的定义，画法错误；
4. 图④：BE垂直于AB，没有垂直于AC所在的直线，不符合高的定义，画法错误。
综上，错误的图形共有3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题重点考查三角形高的画法，解题时要注意：钝角三角形的两条高会落在三角形外部，垂足在对应边的延长线上，判断时只要紧扣“过顶点、垂直对边所在直线”两个要点即可。
【难度系数】
0.7
解题的核心是紧扣三角形高的定义判断：三角形某条边上的高，是从这条边相对的顶点，向这条边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段。本题要画钝角△ABC中AC边上的高BE，需满足：过点B作AC所在直线的垂线，垂足为E，线段BE即为所求。接下来逐个分析4个图形是否符合要求，统计错误图形的个数即可。
【解析】
根据三角形高的定义逐一判断：
1. 图①：过点B作AC所在直线的垂线，垂足E落在CA的延长线上，符合钝角三角形钝角邻边上的高的特征，画法正确；
2. 图②：BE与AC不垂直，不满足高“垂直于对边所在直线”的要求，画法错误；
3. 图③：所作垂线不是从点B向AC作的，不符合高的定义，画法错误；
4. 图④：BE垂直于AB，没有垂直于AC所在的直线，不符合高的定义，画法错误。
综上，错误的图形共有3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题重点考查三角形高的画法，解题时要注意：钝角三角形的两条高会落在三角形外部，垂足在对应边的延长线上，判断时只要紧扣“过顶点、垂直对边所在直线”两个要点即可。
【难度系数】
0.7
7. 如图所示,在$△ ABC$中,已知点$D,E,F$分别为$BC,AD,CE$的中点,且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$,则$S_{\mathrm{阴影}}$等于（
A.$2\ \mathrm{cm}^2$
B.$1\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$
B
）A.$2\ \mathrm{cm}^2$
B.$1\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}^2$
D.$\frac{1}{4}\ \mathrm{cm}^2$
答案
7.B
解析
【分析】
解题的核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线会将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们可以逐层利用中点对应的中线推导面积关系：首先由D是BC中点，推出△ABD、△ACD的面积是△ABC的一半；再由E是AD中点，推出△BCE的面积是△ABC的一半；最后由F是CE中点，推出阴影部分面积是△BCE的一半，即可求出结果。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$。
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，△ABE和△BED等底同高，△ACE和△CED等底同高，
∴$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$。
∵点F是CE的中点，
∴EF=CF，△BEF和△BCF等底同高，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积计算的基础题型，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形面积的性质，逐层推导各部分面积的比例关系即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用三角形中线的性质：三角形的中线会将三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形。我们可以逐层利用中点对应的中线推导面积关系：首先由D是BC中点，推出△ABD、△ACD的面积是△ABC的一半；再由E是AD中点，推出△BCE的面积是△ABC的一半；最后由F是CE中点，推出阴影部分面积是△BCE的一半，即可求出结果。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，
∴$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$。
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，△ABE和△BED等底同高，△ACE和△CED等底同高，
∴$S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ CED}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ BCE}=S_{△ BED}+S_{△ CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$。
∵点F是CE的中点，
∴EF=CF，△BEF和△BCF等底同高，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BEF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中线性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积计算的基础题型，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形面积的性质，逐层推导各部分面积的比例关系即可得到结果。
【难度系数】
0.8
8.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4的度数为 （
A.100°
B.180°
C.360°
D.无法确定
C
）A.100°
B.180°
C.360°
D.无法确定
答案
8.C
解析
【分析】
要计算这个不规则四边形中四个角的和，我们可以用转化的思想，把不规则图形转化为学过的三角形来求解。我们知道三角形的内角和是180°，如果通过添加辅助线把这个图形分成2个三角形，那么四个角的和就等于这两个三角形的内角和之和，就能快速算出结果。
【解析】
方法一：利用多边形内角和公式。该图形是四边形，根据n边形内角和公式为$(n-2)×180°$，当$n=4$时，内角和为$(4-2)×180°=360°$，即$∠1+∠2+∠3+∠4=360°$。
方法二：分割法。作辅助线连接∠1的顶点和∠3的顶点，将该图形分成两个三角形。每个三角形的内角和是180°，两个三角形的内角和总和是$180°×2=360°$，刚好等于$∠1+∠2+∠3+∠4$的度数。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和，多边形内角和，角度计算
【点评】
本题考察不规则图形的角度求和，解题的关键是灵活运用转化思想，将陌生的不规则图形转化为熟悉的三角形、多边形进行计算，是角度计算类的基础题型。
【难度系数】
0.7
要计算这个不规则四边形中四个角的和，我们可以用转化的思想，把不规则图形转化为学过的三角形来求解。我们知道三角形的内角和是180°，如果通过添加辅助线把这个图形分成2个三角形，那么四个角的和就等于这两个三角形的内角和之和，就能快速算出结果。
【解析】
方法一：利用多边形内角和公式。该图形是四边形，根据n边形内角和公式为$(n-2)×180°$，当$n=4$时，内角和为$(4-2)×180°=360°$，即$∠1+∠2+∠3+∠4=360°$。
方法二：分割法。作辅助线连接∠1的顶点和∠3的顶点，将该图形分成两个三角形。每个三角形的内角和是180°，两个三角形的内角和总和是$180°×2=360°$，刚好等于$∠1+∠2+∠3+∠4$的度数。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和，多边形内角和，角度计算
【点评】
本题考察不规则图形的角度求和，解题的关键是灵活运用转化思想，将陌生的不规则图形转化为熟悉的三角形、多边形进行计算，是角度计算类的基础题型。
【难度系数】
0.7
