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1. 一个不透明的袋子里装有黄、白、红三种颜色的球(除颜色外其余均相同),其中有黄球16个、白球8个和红球若干个.小明通过多次摸球试验后,发现摸到红球的频率稳定在0.5左右,则摸到黄球的概率约为（
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{6}$
C
）A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{6}$
答案
1. C 解析:设红球有 x 个.根据题意,得$\dfrac{x}{16+8+x}=0.5$,解得 $x=24,\therefore$ 摸到黄球的概率约为 $\dfrac{16}{16+8+24}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题需利用“频率稳定时可近似看作概率”的性质，先求出红球数量，再根据概率公式计算摸到黄球的概率。解题思路：①设红球数量为$ x $，结合红球频率稳定在0.5，通过概率公式列方程求$ x $；②计算总球数，再用黄球数量除以总球数得到黄球的概率。
【解析】
设红球有$ x $个，总球数为$ 16 + 8 + x = 24 + x $个。
因为摸到红球的频率稳定在0.5，所以红球的概率约为0.5，根据概率公式：
$\frac{x}{24 + x} = 0.5$
解方程：
$x = 0.5(24 + x) \x = 12 + 0.5x \\0.5x = 12 \x = 24$
总球数为$ 24 + 24 = 48 $个，因此摸到黄球的概率为：
$\frac{16}{48} = \frac{1}{3}$
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题是概率的基础应用题，核心是利用频率与概率的关系求出未知球的数量，再计算目标事件的概率，考查学生对概率公式的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题需利用“频率稳定时可近似看作概率”的性质，先求出红球数量，再根据概率公式计算摸到黄球的概率。解题思路：①设红球数量为$ x $，结合红球频率稳定在0.5，通过概率公式列方程求$ x $；②计算总球数，再用黄球数量除以总球数得到黄球的概率。
【解析】
设红球有$ x $个，总球数为$ 16 + 8 + x = 24 + x $个。
因为摸到红球的频率稳定在0.5，所以红球的概率约为0.5，根据概率公式：
$\frac{x}{24 + x} = 0.5$
解方程：
$x = 0.5(24 + x) \x = 12 + 0.5x \\0.5x = 12 \x = 24$
总球数为$ 24 + 24 = 48 $个，因此摸到黄球的概率为：
$\frac{16}{48} = \frac{1}{3}$
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题是概率的基础应用题，核心是利用频率与概率的关系求出未知球的数量，再计算目标事件的概率，考查学生对概率公式的掌握，难度较低。
【难度系数】
0.7
2. 在相同条件下的多次重复试验中,一个随机事件发生的频率为$f$,该事件的概率为$P$.下列说法正确的是（
A.试验次数越多,$f$越大
B.$f$与$P$都可能发生变化
C.试验次数越多,$f$越接近于$P$
D.当试验次数很大时,$f$在$P$附近摆动,并趋于稳定
D
）A.试验次数越多,$f$越大
B.$f$与$P$都可能发生变化
C.试验次数越多,$f$越接近于$P$
D.当试验次数很大时,$f$在$P$附近摆动,并趋于稳定
答案
2. D
解析
【分析】首先明确频率和概率的定义：频率$f$是多次重复试验中，事件发生次数与试验总次数的比值，具有随机性，随试验次数变化；概率$P$是事件本身固有的属性，是固定常数。接下来逐一分析选项：A选项，试验次数越多，频率并非单调增大，可能上下波动，故错误；B选项，概率是固定值，不会变化，故错误；C选项，频率是在概率附近摆动，而非单调“越接近于”，表述不准确；D选项，当试验次数很大时，频率在概率附近摆动并趋于稳定，符合两者的核心关系，故正确。
【解析】要解答本题，需掌握频率与概率的概念及联系：
1. 概念区分：频率是试验产生的随机值，随试验次数改变；概率是事件的固有属性，为固定值。
2. 选项分析：
A选项：试验次数增加时，频率可能增大或减小，并非“越大”，错误；
B选项：概率$P$是固定不变的，不会随试验变化，错误；
C选项：频率围绕概率摆动，并非单调趋近，表述不准确，错误；
D选项：根据大数定律，当试验次数很大时，频率在概率附近摆动并趋于稳定，正确。
【答案】D
【知识点】频率与概率的关系
【点评】本题考查频率和概率的基础概念，核心是区分频率的随机性与概率的稳定性，属于基础概念题，需准确理解两者的联系。
【难度系数】0.3
【解析】要解答本题，需掌握频率与概率的概念及联系：
1. 概念区分：频率是试验产生的随机值，随试验次数改变；概率是事件的固有属性，为固定值。
2. 选项分析：
A选项：试验次数增加时，频率可能增大或减小，并非“越大”，错误；
B选项：概率$P$是固定不变的，不会随试验变化，错误；
C选项：频率围绕概率摆动，并非单调趋近，表述不准确，错误；
D选项：根据大数定律，当试验次数很大时，频率在概率附近摆动并趋于稳定，正确。
【答案】D
【知识点】频率与概率的关系
【点评】本题考查频率和概率的基础概念，核心是区分频率的随机性与概率的稳定性，属于基础概念题，需准确理解两者的联系。
【难度系数】0.3
3. 在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的$n$个小球,其中有5个黑球.从袋中随机摸出一球,记下其颜色,把它放回袋中,搅匀后再摸出一球,……,通过多次试验后,发现摸到黑球的频率稳定在0.5左右,则$n$的值大约是
10
.答案
3. 10 解析:根据题意,得$\dfrac{5}{n}=0.5$,解得 $n=10$.
解析
【分析】
当大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在该事件发生的概率附近，因此可通过稳定的频率估计概率。本题中摸到黑球的频率稳定在0.5，说明摸到黑球的概率约为0.5，结合概率公式即可求出总球数n的值。
【解析】
解：根据大量重复试验时，频率稳定于概率，可知摸到黑球的概率约为0.5。
已知黑球有5个，总球数为n，根据概率公式可得：
$\dfrac{5}{n}=0.5$
解方程：
两边同乘n得：$5=0.5n$
两边同除以0.5得：$n=10$
【答案】
10
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题考查用频率估计概率的基础应用，核心是理解频率与概率的关系，利用概率公式列方程求解，题目难度较低，适合基础巩固练习。
【难度系数】
0.8
当大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在该事件发生的概率附近，因此可通过稳定的频率估计概率。本题中摸到黑球的频率稳定在0.5，说明摸到黑球的概率约为0.5，结合概率公式即可求出总球数n的值。
【解析】
解：根据大量重复试验时，频率稳定于概率，可知摸到黑球的概率约为0.5。
已知黑球有5个，总球数为n，根据概率公式可得：
$\dfrac{5}{n}=0.5$
解方程：
两边同乘n得：$5=0.5n$
两边同除以0.5得：$n=10$
【答案】
10
【知识点】
用频率估计概率；概率的计算
【点评】
本题考查用频率估计概率的基础应用，核心是理解频率与概率的关系，利用概率公式列方程求解，题目难度较低，适合基础巩固练习。
【难度系数】
0.8
4.（2024·扬州）数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表所示.
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为
0.53
.（精确到0.01）答案
4. 0.53 解析:由题意可知,随着实验次数的增加,盖面朝上的频率在0.53左右波动并趋于稳定,$\therefore$ 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为 0.53.
解析
【分析】
要估计“盖面朝上”的概率，需利用频率与概率的关系：当实验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值。观察表格中累计抛掷次数增加时，盖面朝上的频率变化趋势，找到稳定后的频率值即可得到概率估计值。
【解析】
由表格数据可知，随着累计抛掷次数不断增大，“盖面朝上”的频率逐渐趋于稳定，最终稳定在0.53左右。根据用频率估计概率的方法，因此可以估计“盖面朝上”的概率约为0.53。
【答案】
0.53
【知识点】
用频率估计概率
【点评】
本题考查用频率估计概率的知识点，核心是理解实验次数足够多时，频率的稳定值可作为概率的估计值，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
要估计“盖面朝上”的概率，需利用频率与概率的关系：当实验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值。观察表格中累计抛掷次数增加时，盖面朝上的频率变化趋势，找到稳定后的频率值即可得到概率估计值。
【解析】
由表格数据可知，随着累计抛掷次数不断增大，“盖面朝上”的频率逐渐趋于稳定，最终稳定在0.53左右。根据用频率估计概率的方法，因此可以估计“盖面朝上”的概率约为0.53。
【答案】
0.53
【知识点】
用频率估计概率
【点评】
本题考查用频率估计概率的知识点，核心是理解实验次数足够多时，频率的稳定值可作为概率的估计值，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8
5. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共 30 个,这些球除颜色外其余完全相同. 搅匀后,小明做摸球试验,他从盒子里随机摸出一个球记下颜色后,再把球放回盒子中,不断重复上述过程,下表是实验中的一组统计数据.
(1)若从盒子里随机摸出一个球,则摸到白球的概率的估计值为
(2)盒子里白色的球有
(3)若将 $ m $ 个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀,随机摸出一个球是白球的概率是0.8,求 $ m $ 的值.
(1)若从盒子里随机摸出一个球,则摸到白球的概率的估计值为
0.6
.(结果精确到 0.1)(2)盒子里白色的球有
18
个.(3)若将 $ m $ 个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀,随机摸出一个球是白球的概率是0.8,求 $ m $ 的值.
答案
5. (1)0.6 (2)18 解析:$\because$ 摸到白球的概率约为 0.6,共有 30 个球,$\therefore$ 白球有 $30×0.6=18$(个). (3)根据题意,得$\dfrac{18+m}{30+m}=0.8$,解得 $m=30$,经检验,$m=30$ 是原方程的解.
解析
【分析】
本题考查用频率估计概率及概率的实际应用。解题思路：（1）当试验次数足够多时，摸到白球的频率会稳定在某个常数附近，该常数即为摸到白球概率的估计值，观察表格中大量试验后的频率，确定概率估计值；（2）利用“白球个数=总球数×摸到白球的概率估计值”计算；（3）放入m个白球后，根据新的白球数和总球数，结合概率公式列方程求解。
【解析】
（1）观察表格数据，当摸球次数很大时，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近，因此摸到白球的概率估计值为0.6。
（2）已知总球数为30个，摸到白球的概率估计值为0.6，所以白球个数为：$30×0.6=18$（个）。
（3）放入m个白球后，盒子中总球数为$30+m$，白球数为$18+m$，根据题意列方程：
$\dfrac{18+m}{30+m}=0.8$
解方程：
$18+m=0.8×(30+m)$
$18+m=24+0.8m$
$m-0.8m=24-18$
$0.2m=6$
$m=30$
经检验，$m=30$是原方程的解。
【答案】
(1)0.6；(2)18；(3)30
【知识点】
用频率估计概率、概率公式、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合摸球试验，考查频率与概率的关系，以及概率公式的实际应用，核心是理解“大量重复试验下频率稳定于概率”，再通过方程解决问题，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
本题考查用频率估计概率及概率的实际应用。解题思路：（1）当试验次数足够多时，摸到白球的频率会稳定在某个常数附近，该常数即为摸到白球概率的估计值，观察表格中大量试验后的频率，确定概率估计值；（2）利用“白球个数=总球数×摸到白球的概率估计值”计算；（3）放入m个白球后，根据新的白球数和总球数，结合概率公式列方程求解。
【解析】
（1）观察表格数据，当摸球次数很大时，摸到白球的频率逐渐稳定在0.6附近，因此摸到白球的概率估计值为0.6。
（2）已知总球数为30个，摸到白球的概率估计值为0.6，所以白球个数为：$30×0.6=18$（个）。
（3）放入m个白球后，盒子中总球数为$30+m$，白球数为$18+m$，根据题意列方程：
$\dfrac{18+m}{30+m}=0.8$
解方程：
$18+m=0.8×(30+m)$
$18+m=24+0.8m$
$m-0.8m=24-18$
$0.2m=6$
$m=30$
经检验，$m=30$是原方程的解。
【答案】
(1)0.6；(2)18；(3)30
【知识点】
用频率估计概率、概率公式、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合摸球试验，考查频率与概率的关系，以及概率公式的实际应用，核心是理解“大量重复试验下频率稳定于概率”，再通过方程解决问题，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
