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6. 掷一枚质地均匀的硬币$m$次，正面向上$n$次，则$\dfrac{n}{m}$的值
（
A.一定是$\dfrac{1}{2}$
B.随着$m$的增大，可能是$\dfrac{1}{2}$
C.一定不是$\dfrac{1}{2}$
D.随着$m$的增大，稳定在$\dfrac{1}{2}$附近
（
D
）A.一定是$\dfrac{1}{2}$
B.随着$m$的增大，可能是$\dfrac{1}{2}$
C.一定不是$\dfrac{1}{2}$
D.随着$m$的增大，稳定在$\dfrac{1}{2}$附近
答案
6. D
解析
【分析】
首先明确：掷质地均匀的硬币，正面向上的概率是固定的$\frac{1}{2}$；而$\frac{n}{m}$是正面向上的频率，频率是随机的，随试验次数$m$变化，并非固定值。当试验次数$m$增大时，根据频率的稳定性，频率会逐渐稳定在概率$\frac{1}{2}$附近。接下来分析选项：A选项“一定是$\frac{1}{2}$”错误，因为频率是随机的，比如抛2次可能正面0次、1次或2次，频率不一定为$\frac{1}{2}$；B选项“随着$m$的增大，可能是$\frac{1}{2}$”错误，不是“可能是”，而是稳定在附近；C选项“一定不是$\frac{1}{2}$”错误，比如$m=2$、$n=1$时频率就是$\frac{1}{2}$；D选项符合频率稳定性规律，正确。
【解析】
解：掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为$\frac{1}{2}$，$\frac{n}{m}$是该试验中正面向上的频率。
选项A：频率是随机变量，随试验次数变化，不一定等于概率$\frac{1}{2}$，故A错误；
选项B：当$m$增大时，频率稳定在$\frac{1}{2}$附近，而非“可能是$\frac{1}{2}$”，表述不准确，故B错误；
选项C：存在试验结果使频率为$\frac{1}{2}$（如$m=2$，$n=1$），故C错误；
选项D：根据频率的稳定性，试验次数$m$增大时，频率稳定在概率$\frac{1}{2}$附近，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系、概率的意义
【点评】
本题考查频率与概率的核心区别及频率的稳定性，需明确频率是随机的、概率是事件固有属性，大量重复试验时频率趋近于概率，属于概率章节基础题型，需准确理解概念。
【难度系数】
0.4
首先明确：掷质地均匀的硬币，正面向上的概率是固定的$\frac{1}{2}$；而$\frac{n}{m}$是正面向上的频率，频率是随机的，随试验次数$m$变化，并非固定值。当试验次数$m$增大时，根据频率的稳定性，频率会逐渐稳定在概率$\frac{1}{2}$附近。接下来分析选项：A选项“一定是$\frac{1}{2}$”错误，因为频率是随机的，比如抛2次可能正面0次、1次或2次，频率不一定为$\frac{1}{2}$；B选项“随着$m$的增大，可能是$\frac{1}{2}$”错误，不是“可能是”，而是稳定在附近；C选项“一定不是$\frac{1}{2}$”错误，比如$m=2$、$n=1$时频率就是$\frac{1}{2}$；D选项符合频率稳定性规律，正确。
【解析】
解：掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为$\frac{1}{2}$，$\frac{n}{m}$是该试验中正面向上的频率。
选项A：频率是随机变量，随试验次数变化，不一定等于概率$\frac{1}{2}$，故A错误；
选项B：当$m$增大时，频率稳定在$\frac{1}{2}$附近，而非“可能是$\frac{1}{2}$”，表述不准确，故B错误；
选项C：存在试验结果使频率为$\frac{1}{2}$（如$m=2$，$n=1$），故C错误；
选项D：根据频率的稳定性，试验次数$m$增大时，频率稳定在概率$\frac{1}{2}$附近，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
频率与概率的关系、概率的意义
【点评】
本题考查频率与概率的核心区别及频率的稳定性，需明确频率是随机的、概率是事件固有属性，大量重复试验时频率趋近于概率，属于概率章节基础题型，需准确理解概念。
【难度系数】
0.4
7. 在一个不透明的盒子里装有仅颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下图是“摸到白球”的频率折线统计图。
(1)请估计：当$n$很大时，摸到白球的概率将会接近
(2)试估算盒子里白球和黑球分别有多少个。
(3)在(2)的条件下，如果要使摸到白球的概率为$\dfrac{3}{5}$，需要往盒子里再放入多少个白球？
(1)请估计：当$n$很大时，摸到白球的概率将会接近
0.50
(精确到0.01)，假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.5
。(2)试估算盒子里白球和黑球分别有多少个。
(3)在(2)的条件下，如果要使摸到白球的概率为$\dfrac{3}{5}$，需要往盒子里再放入多少个白球？
答案
7. (1)0.50 0.5 (2)$40×0.5=20$(个),$40-20=20$(个).答:估算盒子里有白球 20 个、黑球 20 个. (3)设需要往盒子里再放入 $x$ 个白球,根据题意,得$\dfrac{20+x}{40+x}=\dfrac{3}{5}$,解得 $x=10$.经检验,$x=10$ 是原方程的解且符合题意.答:需要往盒子里再放入 10 个白球.
解析
【分析】
当大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数可作为该事件概率的估计值。观察折线统计图，当摸球次数n很大时，摸到白球的频率稳定在0.50附近，据此估计概率；再结合概率计算白球、黑球数量；最后根据新的概率要求，设未知数列分式方程求解。
【解析】
(1) 观察“摸到白球”的频率折线统计图，当摸球次数n很大时，频率逐渐稳定在0.50附近，根据频率估计概率的原理，摸到白球的概率接近0.50，即0.5。
(2) 已知总球数为40个，摸到白球的概率约为0.5，因此白球数量为：$40×0.5 = 20$（个），黑球数量为：$40 - 20 = 20$（个）。
(3) 设需要往盒子里再放入$x$个白球，此时盒子里白球有$(20+x)$个，总球数为$(40+x)$个。根据题意列方程：
$\dfrac{20+x}{40+x} = \dfrac{3}{5}$
交叉相乘得：$5(20+x) = 3(40+x)$
展开计算：$100 + 5x = 120 + 3x$
移项化简：$2x = 20$，解得$x = 10$。
经检验，$x=10$是原方程的解且符合题意。
【答案】
(1) 0.50；0.5 (2) 白球20个，黑球20个 (3) 10个
【知识点】
用频率估计概率；概率计算；分式方程应用
【点评】
本题是频率估计概率的典型应用题，结合概率计算与分式方程求解，考查学生对频率和概率关系的理解，以及运用方程解决实际问题的能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
当大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数可作为该事件概率的估计值。观察折线统计图，当摸球次数n很大时，摸到白球的频率稳定在0.50附近，据此估计概率；再结合概率计算白球、黑球数量；最后根据新的概率要求，设未知数列分式方程求解。
【解析】
(1) 观察“摸到白球”的频率折线统计图，当摸球次数n很大时，频率逐渐稳定在0.50附近，根据频率估计概率的原理，摸到白球的概率接近0.50，即0.5。
(2) 已知总球数为40个，摸到白球的概率约为0.5，因此白球数量为：$40×0.5 = 20$（个），黑球数量为：$40 - 20 = 20$（个）。
(3) 设需要往盒子里再放入$x$个白球，此时盒子里白球有$(20+x)$个，总球数为$(40+x)$个。根据题意列方程：
$\dfrac{20+x}{40+x} = \dfrac{3}{5}$
交叉相乘得：$5(20+x) = 3(40+x)$
展开计算：$100 + 5x = 120 + 3x$
移项化简：$2x = 20$，解得$x = 10$。
经检验，$x=10$是原方程的解且符合题意。
【答案】
(1) 0.50；0.5 (2) 白球20个，黑球20个 (3) 10个
【知识点】
用频率估计概率；概率计算；分式方程应用
【点评】
本题是频率估计概率的典型应用题，结合概率计算与分式方程求解，考查学生对频率和概率关系的理解，以及运用方程解决实际问题的能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
8. 如图,地面上有一个不规则的封闭图形,为求得它的面积,小明设计了如下的一个方案:
①在此封闭图形内画出一个半径为1 m 的圆.
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内投掷小石子(可把小石子近似地看成点),记录如下:
(1)通过以上信息可以发现,当投掷的次数很多时,则$m:n$的值越来越接近
(2)若以小石子所落的有效区域为总数(即$m+n$),则随着投掷次数的增大,小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在
(3)请你利用(2)中所得的频率值估计整个封闭图形的面积.(结果保留$π$)
①在此封闭图形内画出一个半径为1 m 的圆.
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内投掷小石子(可把小石子近似地看成点),记录如下:
(1)通过以上信息可以发现,当投掷的次数很多时,则$m:n$的值越来越接近
0.26
.(结果精确到0.01)(2)若以小石子所落的有效区域为总数(即$m+n$),则随着投掷次数的增大,小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在
0.2
附近.(结果精确到0.1)(3)请你利用(2)中所得的频率值估计整个封闭图形的面积.(结果保留$π$)
答案
8. (1)0.26 (2)0.2 解析:$\because 206÷1\ 000\approx0.2$,$\therefore$ 随着投掷次数的增大,小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 0.2 附近. (3)设封闭图形的面积为 $a$,根据题意,得$\dfrac{π×1^2}{a}=0.2$,$\therefore a=5π$.答:估计整个封闭图形的面积是 $5π\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】这道题利用频率估计概率的思想估算不规则封闭图形的面积，解题思路：①当投掷次数足够多时，小石子落在圆内的频率趋近于圆面积与封闭图形面积的比值，先通过大量试验确定该比值；②根据频率稳定值，结合圆面积公式建立比例关系，求出封闭图形面积。
【解析】(1)当投掷次数很多时，小石子落在圆内的频率稳定，计算得$ m:n $的值接近0.26；(2)随着投掷次数增大，小石子落在圆内的频率稳定在0.2附近（如$ 206÷1000\approx0.2 $）；(3)设封闭图形面积为$ a \, \mathrm{m}^2 $，根据题意得$\frac{π × 1^2}{a}=0.2$，解得$ a=5π $，即封闭图形面积为$ 5π \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】(1)0.26；(2)0.2；(3)$ 5π \, \mathrm{m}^2 $
【知识点】频率估计概率，几何概率，面积估算
【点评】本题是概率知识在实际问题中的应用，核心是利用大量重复试验中频率稳定于概率的特点，结合几何概率模型估算不规则图形面积，难度适中，学生易掌握。
【难度系数】0.3
【解析】(1)当投掷次数很多时，小石子落在圆内的频率稳定，计算得$ m:n $的值接近0.26；(2)随着投掷次数增大，小石子落在圆内的频率稳定在0.2附近（如$ 206÷1000\approx0.2 $）；(3)设封闭图形面积为$ a \, \mathrm{m}^2 $，根据题意得$\frac{π × 1^2}{a}=0.2$，解得$ a=5π $，即封闭图形面积为$ 5π \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】(1)0.26；(2)0.2；(3)$ 5π \, \mathrm{m}^2 $
【知识点】频率估计概率，几何概率，面积估算
【点评】本题是概率知识在实际问题中的应用，核心是利用大量重复试验中频率稳定于概率的特点，结合几何概率模型估算不规则图形面积，难度适中，学生易掌握。
【难度系数】0.3
