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1. (2025·青海)如图,AB是$\odot O$的直径,$∠ CAB=$$40°$,则$∠ ADC$的度数是 （
A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$
B
）A.$80°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$25°$
答案
1. B
2. 如图是用$\odot O$制作的表盘模型,其中点$A$,$B$分别与“3 时”“11 时”重合. 若要使$∠ ABC=$$90°$,则点$C$应位于表盘的（
A.“7 时”处
B.“8 时”处
C.“9 时”处
D.“10 时”处
C
）A.“7 时”处
B.“8 时”处
C.“9 时”处
D.“10 时”处
答案
2. C
3. (2025·甘肃白银)如图,四边形$ABCD$内接于$\odot O,\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$,连接$BD$.若$∠ ABC=70°$,则$∠ BDC$的度数为（
A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$
C
）A.$20°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$70°$
答案
3. C
4. (2023·湖北襄阳) 如图,四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,点$E$在$CD$的延长线上.若$∠ ADE=$$70°$,则$∠ AOC=$
140°
.答案
4. 140°
5. (教材习题变式)如图, 四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$. 若四边形 $OABC$ 是菱形, 则 $∠ D$ 的度数为
60°
.答案
5. 60°
6. 已知 $AB$ 为半圆 $O$ 的直径,现将一块等腰直角三角板按如图所示放置,锐角顶点 $P$ 在半圆上,斜边经过点 $B$,一条直角边交该半圆于点 $Q$. 若 $AB=2$,则 $BQ$ 的长为
$\sqrt{2}$
.答案
6. $\sqrt{2}$
7. 亮点原创 如图,P 是正方形ABCD 外接圆的$\overset{\frown}{AD}$上一点,连接 PA,PB,PC,过点 B 作PB 的垂线,交 PA 的延长线于点 E. 求证:
$PA+PC=\sqrt{2}BE.$
$PA+PC=\sqrt{2}BE.$
答案
7. 因为四边形 $ABCD$ 是正方形,所以 $BA = BC$,
$∠ABC=90°$,所以$∠ABP+∠CBP=90°$. 因为 $BE⊥$
$PB$,所以$∠PBE=90°$,所以$∠ABP+∠ABE=90°$,所
以$∠ABE=∠CBP$.因为四边形 $ABCP$ 是圆的内接四
边形,所以$∠BAP+∠BCP=180°$.因为$∠BAP+$
$∠BAE=180°$,所以$∠BAE=∠BCP$. 在$△ABE$ 和
$△CBP$ 中,$\begin{cases}∠ABE=∠CBP,\\BA=BC,\\∠BAE=∠BCP,\end{cases}$ 所以$△ABE≌△CBP$,
所以$EA=PC$,$BE=BP$,所以$PA+PC=PA+EA=$
$PE=\sqrt{BP^2+BE^2}=\sqrt{2}BE$.
$∠ABC=90°$,所以$∠ABP+∠CBP=90°$. 因为 $BE⊥$
$PB$,所以$∠PBE=90°$,所以$∠ABP+∠ABE=90°$,所
以$∠ABE=∠CBP$.因为四边形 $ABCP$ 是圆的内接四
边形,所以$∠BAP+∠BCP=180°$.因为$∠BAP+$
$∠BAE=180°$,所以$∠BAE=∠BCP$. 在$△ABE$ 和
$△CBP$ 中,$\begin{cases}∠ABE=∠CBP,\\BA=BC,\\∠BAE=∠BCP,\end{cases}$ 所以$△ABE≌△CBP$,
所以$EA=PC$,$BE=BP$,所以$PA+PC=PA+EA=$
$PE=\sqrt{BP^2+BE^2}=\sqrt{2}BE$.
8. (2024·山东泰安)如图,$AB$是$\odot O$的直径，$C,D$是$\odot O$上两点，$BA$平分$∠ CBD$。若$∠ AOD=50°$，则$∠ A$的度数为（
A.$65°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$75°$
A
）A.$65°$
B.$55°$
C.$50°$
D.$75°$
答案
8. A 解析:因为$∠AOD=50°$,所以$∠ABD=\dfrac{1}{2}∠AOD=$
$25°$. 因为 $BA$ 平分$∠CBD$,所以$∠ABC=∠ABD=$
$25°$. 因为 $AB$ 是$\odot O$ 的直径,所以$∠C=90°$,所以
$∠A=90°-∠ABC=65°$.
$25°$. 因为 $BA$ 平分$∠CBD$,所以$∠ABC=∠ABD=$
$25°$. 因为 $AB$ 是$\odot O$ 的直径,所以$∠C=90°$,所以
$∠A=90°-∠ABC=65°$.
9. 新素养 几何直观 如图，$△ ABC$ 是$\odot O$ 的内接三角形，$AB=BC$，$∠ BAC=30°$，$AD$ 是直径，$AD=8$，则 $AC$ 的长为（
A.4
B.$4\sqrt{3}$
C.$\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
D.$2\sqrt{3}$
B
）A.4
B.$4\sqrt{3}$
C.$\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
9. B 解析:连接 $CD$. 因为 $AB=BC$,所以$∠BCA=$
$∠BAC=30°$, 所以 $∠ABC=180°-∠BCA-$
$∠BAC=120°$.因为四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,所以
$∠ADC+∠ABC=180°$,所以$∠ADC=180°-$
$∠ABC=60°$. 因为 $AD$ 是$\odot O$ 的直径,所以$∠ACD=$
$90°$,所以$∠DAC=90°-∠ADC=30°$. 因为 $AD=8$,
所以 $CD=\dfrac{1}{2}AD=4$,所以 $AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=$
$4\sqrt{3}$.
$∠BAC=30°$, 所以 $∠ABC=180°-∠BCA-$
$∠BAC=120°$.因为四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,所以
$∠ADC+∠ABC=180°$,所以$∠ADC=180°-$
$∠ABC=60°$. 因为 $AD$ 是$\odot O$ 的直径,所以$∠ACD=$
$90°$,所以$∠DAC=90°-∠ADC=30°$. 因为 $AD=8$,
所以 $CD=\dfrac{1}{2}AD=4$,所以 $AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=$
$4\sqrt{3}$.
