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15.(10分)(金华市婺城区)某电器超市销售每台进价分别为120元、170元的A,B两种型号的电扇。如下表所示为近两周的销售情况(进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进货成本):
(1)求A,B两种型号的电扇的销售单价。
(2)若超市再采购这两种型号的电扇共130台,并且全部销售完,该超市能否实现这两批的总利润为8010元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由。
(1)求A,B两种型号的电扇的销售单价。
(2)若超市再采购这两种型号的电扇共130台,并且全部销售完,该超市能否实现这两批的总利润为8010元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由。
答案
(1)设A种型号的电扇的销售单价为x元/台,B种型号的电扇的销售单价为y元/台。根据题意得$\begin{cases}6x+5y=2200,\\4x+10y=3200,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=150,\\y=260。\end{cases}$所以A种型号的电扇的销售单价为150元/台,B种型号的电扇的销售单价为260元/台。
(2)设购进A种型号电扇m台,则购进B种型号电扇(130-m)台。根据题意得2200+3200+150m+260(130-m)-120×(6+4+m)-170[5+10+(130-m)]=8010,解得m=89,所以130-m=41。
所以超市再采购A种型号电扇89台、B种型号电扇41台。
解得$\begin{cases}x=150,\\y=260。\end{cases}$所以A种型号的电扇的销售单价为150元/台,B种型号的电扇的销售单价为260元/台。
(2)设购进A种型号电扇m台,则购进B种型号电扇(130-m)台。根据题意得2200+3200+150m+260(130-m)-120×(6+4+m)-170[5+10+(130-m)]=8010,解得m=89,所以130-m=41。
所以超市再采购A种型号电扇89台、B种型号电扇41台。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需根据两周的销售数量和销售收入，设A、B两种型号电扇的销售单价为未知数，建立二元一次方程组求解；第(2)问需明确总利润的计算方式（总利润=总销售收入-总进货成本），设新采购A型号电扇的数量为未知数，结合目标利润建立一元一次方程，求解后判断是否符合实际采购数量（正整数），进而确定方案。
【解析】
(1)设A种型号的电扇的销售单价为$x$元/台，B种型号的电扇的销售单价为$y$元/台。
根据第一周销售情况：6台A的销售收入+5台B的销售收入=2200元，得方程$6x + 5y = 2200$；
根据第二周销售情况：4台A的销售收入+10台B的销售收入=3200元，得方程$4x + 10y = 3200$。
联立方程组：$\begin{cases}6x + 5y = 2200 \\4x + 10y = 3200 \end{cases}$，
化简第二个方程为$2x +5y =1600$，用第一个方程减去该式得：$4x=600$，解得$x=150$；
将$x=150$代入$2x +5y=1600$，得$y=260$。
(2)设购进A种型号电扇$m$台，则购进B种型号电扇$(130 - m)$台。
总销售收入为：前两周销售收入（2200+3200）+新采购销售收入（$150m +260(130 -m)$）；
总进货成本为：前两周进货成本（A共10台、B共15台）+新采购进货成本（$120m +170(130 -m)$）；
根据总利润=8010元，列方程：
$2200 + 3200 +150m +260(130 -m) - [120×(6+4+m) +170×(5+10 +130 -m)] =8010$
化简计算得：$13350 -60m=8010$，解得$m=89$，则$130 -m=41$，符合实际采购要求。
【答案】
(1)A种型号电扇的销售单价为150元/台，B种型号电扇的销售单价为260元/台；
(2)能实现目标，采购方案为购进A种型号电扇89台，B种型号电扇41台。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次方程应用，利润问题
【点评】
本题是结合实际销售的应用题，需从表格提取信息建立方程模型，第(1)问考查二元一次方程组求解，第(2)问需准确理解总利润构成，理清收入与成本关系，难度适中，考查学生分析与计算能力。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问需根据两周的销售数量和销售收入，设A、B两种型号电扇的销售单价为未知数，建立二元一次方程组求解；第(2)问需明确总利润的计算方式（总利润=总销售收入-总进货成本），设新采购A型号电扇的数量为未知数，结合目标利润建立一元一次方程，求解后判断是否符合实际采购数量（正整数），进而确定方案。
【解析】
(1)设A种型号的电扇的销售单价为$x$元/台，B种型号的电扇的销售单价为$y$元/台。
根据第一周销售情况：6台A的销售收入+5台B的销售收入=2200元，得方程$6x + 5y = 2200$；
根据第二周销售情况：4台A的销售收入+10台B的销售收入=3200元，得方程$4x + 10y = 3200$。
联立方程组：$\begin{cases}6x + 5y = 2200 \\4x + 10y = 3200 \end{cases}$，
化简第二个方程为$2x +5y =1600$，用第一个方程减去该式得：$4x=600$，解得$x=150$；
将$x=150$代入$2x +5y=1600$，得$y=260$。
(2)设购进A种型号电扇$m$台，则购进B种型号电扇$(130 - m)$台。
总销售收入为：前两周销售收入（2200+3200）+新采购销售收入（$150m +260(130 -m)$）；
总进货成本为：前两周进货成本（A共10台、B共15台）+新采购进货成本（$120m +170(130 -m)$）；
根据总利润=8010元，列方程：
$2200 + 3200 +150m +260(130 -m) - [120×(6+4+m) +170×(5+10 +130 -m)] =8010$
化简计算得：$13350 -60m=8010$，解得$m=89$，则$130 -m=41$，符合实际采购要求。
【答案】
(1)A种型号电扇的销售单价为150元/台，B种型号电扇的销售单价为260元/台；
(2)能实现目标，采购方案为购进A种型号电扇89台，B种型号电扇41台。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次方程应用，利润问题
【点评】
本题是结合实际销售的应用题，需从表格提取信息建立方程模型，第(1)问考查二元一次方程组求解，第(2)问需准确理解总利润构成，理清收入与成本关系，难度适中，考查学生分析与计算能力。
【难度系数】
0.5
16.(10分)(杭州市上城区)某工程队用甲、乙两台隧道挖掘机从两个方向挖掘同一条隧道,由于地质条件不同,甲、乙的挖掘速度不同。已知甲、乙同时挖掘3天,可以挖216 m;甲挖2天,乙挖5天,可以挖掘270 m。
(1)甲、乙两台挖掘机每天各可以挖掘多少米?
(2)若乙挖掘机比甲挖掘机每小时多挖掘1 m,甲、乙每天挖掘的时间相同,求甲每小时挖掘多少米。
(3)若隧道的总长为$a(\mathrm{m})$,甲、乙挖掘机工作$b$天后,由于甲挖掘机进行设备更新,而乙挖掘机设备老化,故甲比原来每天多挖$m(\mathrm{m})$,同时乙比原来少挖$m(\mathrm{m})(m＞10)$。最终,甲、乙两台挖掘机在相同时间里各完成隧道总长的一半,请用含$m,b$的代数式表示$a$。
(1)甲、乙两台挖掘机每天各可以挖掘多少米?
(2)若乙挖掘机比甲挖掘机每小时多挖掘1 m,甲、乙每天挖掘的时间相同,求甲每小时挖掘多少米。
(3)若隧道的总长为$a(\mathrm{m})$,甲、乙挖掘机工作$b$天后,由于甲挖掘机进行设备更新,而乙挖掘机设备老化,故甲比原来每天多挖$m(\mathrm{m})$,同时乙比原来少挖$m(\mathrm{m})(m＞10)$。最终,甲、乙两台挖掘机在相同时间里各完成隧道总长的一半,请用含$m,b$的代数式表示$a$。
答案
(1)设甲、乙挖掘机每天分别挖x(m),y(m)。依题意得$\begin{cases}3(x+y)=216,\\2x+5y=270,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=30,\\y=42。\end{cases}$所以甲挖掘机每天挖30 m,乙挖掘机每天挖42 m。
(2)设甲每小时挖n(m),则乙每小时挖(n+1)m,依题意得$\dfrac{30}{n}=\dfrac{42}{n+1}$,解得n=2.5。经检验n=2.5是原分式方程的解,且符合题意。所以甲每小时挖掘2.5 m。
(3)由题意可知b天后甲完成30b(m),剩余$(\dfrac{1}{2}a-30b)$m,乙完成42b(m),剩余$(\dfrac{1}{2}a-42b)$m。依题意得$\dfrac{\dfrac{1}{2}a-30b}{30+m}=\dfrac{\dfrac{1}{2}a-42b}{42-m}$,整理得6a-am+72bm=0。a(6-m)=-72bm。解得$a=\dfrac{72bm}{m-6}$。
(2)设甲每小时挖n(m),则乙每小时挖(n+1)m,依题意得$\dfrac{30}{n}=\dfrac{42}{n+1}$,解得n=2.5。经检验n=2.5是原分式方程的解,且符合题意。所以甲每小时挖掘2.5 m。
(3)由题意可知b天后甲完成30b(m),剩余$(\dfrac{1}{2}a-30b)$m,乙完成42b(m),剩余$(\dfrac{1}{2}a-42b)$m。依题意得$\dfrac{\dfrac{1}{2}a-30b}{30+m}=\dfrac{\dfrac{1}{2}a-42b}{42-m}$,整理得6a-am+72bm=0。a(6-m)=-72bm。解得$a=\dfrac{72bm}{m-6}$。
解析
【分析】本题是工程问题的综合应用，分三小问逐步求解：第(1)问需根据两个挖掘量的等量关系，设未知数列二元一次方程组求解；第(2)问利用“甲、乙每天挖掘时间相同”的条件，设未知数列分式方程求解，需注意检验；第(3)问先表示b天后甲、乙的剩余工作量，再根据“完成剩余工作量的时间相同”列等式，整理推导a的表达式。
【解析】(1)设甲挖掘机每天挖$x\ \mathrm{m}$，乙挖掘机每天挖$y\ \mathrm{m}$，依题意得：
$\begin{cases}3(x+y)=216 \\2x+5y=270 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=30 \\y=42 \end{cases}$，即甲挖掘机每天挖30 m，乙挖掘机每天挖42 m。
(2)设甲每小时挖$n\ \mathrm{m}$，则乙每小时挖$(n+1)\ \mathrm{m}$，因甲、乙每天挖掘时间相同，故：
$\dfrac{30}{n}=\dfrac{42}{n+1}$
解得$n=2.5$，经检验$n=2.5$是原分式方程的解且符合题意，即甲每小时挖掘2.5 m。
(3)$b$天后，甲完成$30b\ \mathrm{m}$，剩余$(\dfrac{1}{2}a-30b)\ \mathrm{m}$；乙完成$42b\ \mathrm{m}$，剩余$(\dfrac{1}{2}a-42b)\ \mathrm{m}$。依题意，甲、乙完成剩余工作量时间相同，得：
$\dfrac{\dfrac{1}{2}a-30b}{30+m}=\dfrac{\dfrac{1}{2}a-42b}{42-m}$
交叉相乘整理得：$6a-am+72bm=0$，即$a(6-m)=-72bm$，解得$a=\dfrac{72bm}{m-6}$。
【答案】(1)甲挖掘机每天挖30 m，乙挖掘机每天挖42 m；(2)甲每小时挖掘2.5 m；(3)$a=\dfrac{72bm}{m-6}$。
【知识点】二元一次方程组的应用、分式方程的应用、代数式的化简
【点评】本题结合工程挖掘场景，综合考查方程与代数式的应用，需准确提取等量关系，规范解方程（注意分式方程检验），难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】0.6
【解析】(1)设甲挖掘机每天挖$x\ \mathrm{m}$，乙挖掘机每天挖$y\ \mathrm{m}$，依题意得：
$\begin{cases}3(x+y)=216 \\2x+5y=270 \end{cases}$
解得$\begin{cases}x=30 \\y=42 \end{cases}$，即甲挖掘机每天挖30 m，乙挖掘机每天挖42 m。
(2)设甲每小时挖$n\ \mathrm{m}$，则乙每小时挖$(n+1)\ \mathrm{m}$，因甲、乙每天挖掘时间相同，故：
$\dfrac{30}{n}=\dfrac{42}{n+1}$
解得$n=2.5$，经检验$n=2.5$是原分式方程的解且符合题意，即甲每小时挖掘2.5 m。
(3)$b$天后，甲完成$30b\ \mathrm{m}$，剩余$(\dfrac{1}{2}a-30b)\ \mathrm{m}$；乙完成$42b\ \mathrm{m}$，剩余$(\dfrac{1}{2}a-42b)\ \mathrm{m}$。依题意，甲、乙完成剩余工作量时间相同，得：
$\dfrac{\dfrac{1}{2}a-30b}{30+m}=\dfrac{\dfrac{1}{2}a-42b}{42-m}$
交叉相乘整理得：$6a-am+72bm=0$，即$a(6-m)=-72bm$，解得$a=\dfrac{72bm}{m-6}$。
【答案】(1)甲挖掘机每天挖30 m，乙挖掘机每天挖42 m；(2)甲每小时挖掘2.5 m；(3)$a=\dfrac{72bm}{m-6}$。
【知识点】二元一次方程组的应用、分式方程的应用、代数式的化简
【点评】本题结合工程挖掘场景，综合考查方程与代数式的应用，需准确提取等量关系，规范解方程（注意分式方程检验），难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】0.6
17.(12分)(丽水市)如图,在长方形ABCD中,在边AB,BC上分别取点E,F,使得BE=3AE,CF=2BF,CE与DF交于点O。设AB=a,BC=b,△COF的面积为x。
(1)请用含a,b,x的代数式表示△COD的面积。
(2)连结OA,OB,若△AOB的面积为10,△COD的面积为8,求长方形ABCD的面积。
(3)当AB=4,BC=9时,求x的值。
(1)请用含a,b,x的代数式表示△COD的面积。
(2)连结OA,OB,若△AOB的面积为10,△COD的面积为8,求长方形ABCD的面积。
(3)当AB=4,BC=9时,求x的值。
答案
(1)因为AB=a,所以CD=a。因为BC=b,CF=2BF,所以$CF=\dfrac{2b}{3}$。所以△COD的面积=△CDF的面积-△COF的面积=$\dfrac{1}{3}ab-x$。
(2)如图,过点O作GH//AB交AD于点G,交BC于点H。
因为AB//CD,所以GH//CD。所以四边形ABHG和四边形HCDG都是长方形。所以长方形ABHG的面积=2×10=20,长方形HCDG的面积=2×8=16。所以长方形ABCD的面积=20+16=36。
(3)设△AOE的面积为y,则△BOE的面积=3y,△AOB的面积=4y,所以$S_{△ BOC}=\dfrac{3}{2}x$,$S_{△ FCD}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×9×4=12$,$S_{△ CBE}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{4}×4×9=\dfrac{27}{2}$。所以$S_{△ COD}=12-x$。因为$S_{△ BOE}=S_{△ CBE}-S_{△ BOC}$,所以$\dfrac{27}{2}-\dfrac{3}{2}x=3y$①。因为$S_{△ AOB}+S_{△ COD}=\dfrac{1}{2}S_{\mathrm{长方形}ABCD}$,所以$4y+12-x=\dfrac{1}{2}×9×4$②。解①②构成的方程组得x=4。
解析
【分析】
本题围绕长方形内三角形面积的计算展开，分三小问逐步求解：
(1) 求△COD的面积，需先计算△CDF的面积，再用△CDF的面积减去△COF的面积x即可；
(2) 求长方形面积，通过过O作平行于AB的直线GH，将大长方形分成两个小长方形，利用“三角形面积是对应等底等高长方形面积的一半”，得到两个小长方形的面积，相加得大长方形面积；
(3) 求x的值，需设△AOE的面积为y，结合线段比例得到△BOE、△AOB的面积关系，再利用△AOB与△COD的面积和等于长方形面积的一半，列方程组求解。
【解析】
(1) 因为四边形ABCD是长方形，所以CD=AB=a，BC=b。
已知CF=2BF，故$CF=\dfrac{2}{3}BC=\dfrac{2b}{3}$。
△CDF的面积为：$S_{△ CDF}=\dfrac{1}{2} × CD × CF=\dfrac{1}{2} × a × \dfrac{2b}{3}=\dfrac{1}{3}ab$。
又$S_{△ COF}=x$，因此$S_{△ COD}=S_{△ CDF}-S_{△ COF}=\dfrac{1}{3}ab - x$。
(2) 过点O作$GH // AB$，交AD于G，交BC于H，如图所示。
因为$AB // CD$，所以$GH // CD$，则四边形ABHG和HCDG均为长方形。
△AOB与长方形ABHG同底等高，故$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}S_{长方形ABHG}$，已知$S_{△ AOB}=10$，得$S_{长方形ABHG}=20$；
同理，$S_{△ COD}=\dfrac{1}{2}S_{长方形HCDG}$，已知$S_{△ COD}=8$，得$S_{长方形HCDG}=16$。
因此长方形ABCD的面积为：$20+16=36$。
(3) 设$S_{△ AOE}=y$，由$BE=3AE$，得$S_{△ BOE}=3y$，故$S_{△ AOB}=4y$。
当$AB=4$，$BC=9$时，长方形面积为$4 × 9=36$。
△CDF的面积为：$S_{△ CDF}=\dfrac{1}{2} × 4 × \dfrac{2}{3} × 9=12$，故$S_{△ COD}=12 - x$。
△CBE的面积为：$S_{△ CBE}=\dfrac{1}{2} × \dfrac{3}{4} × 4 × 9=\dfrac{27}{2}$。
由$CF=2BF$，得$S_{△ BOF}=\dfrac{1}{2}x$，故$S_{△ BOC}=\dfrac{3}{2}x$。
又$S_{△ BOE}=S_{△ CBE}-S_{△ BOC}$，即$3y=\dfrac{27}{2}-\dfrac{3}{2}x$ ①；
结合$S_{△ AOB}+S_{△ COD}=\dfrac{1}{2}S_{长方形ABCD}$，得$4y + 12 - x=18$ ②。
联立①②，解得$x=4$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}ab - x$；
(2) $36$；
(3) $4$；
【知识点】
长方形面积、三角形面积计算、平行线分图形面积
【点评】
本题是长方形内的面积综合题，核心是利用三角形与长方形的面积关系，通过辅助线分割图形，结合线段比例建立面积关系，第三问需设未知数列方程组求解，考查面积转化能力与代数运算能力，综合性较强。
【难度系数】
0.6
本题围绕长方形内三角形面积的计算展开，分三小问逐步求解：
(1) 求△COD的面积，需先计算△CDF的面积，再用△CDF的面积减去△COF的面积x即可；
(2) 求长方形面积，通过过O作平行于AB的直线GH，将大长方形分成两个小长方形，利用“三角形面积是对应等底等高长方形面积的一半”，得到两个小长方形的面积，相加得大长方形面积；
(3) 求x的值，需设△AOE的面积为y，结合线段比例得到△BOE、△AOB的面积关系，再利用△AOB与△COD的面积和等于长方形面积的一半，列方程组求解。
【解析】
(1) 因为四边形ABCD是长方形，所以CD=AB=a，BC=b。
已知CF=2BF，故$CF=\dfrac{2}{3}BC=\dfrac{2b}{3}$。
△CDF的面积为：$S_{△ CDF}=\dfrac{1}{2} × CD × CF=\dfrac{1}{2} × a × \dfrac{2b}{3}=\dfrac{1}{3}ab$。
又$S_{△ COF}=x$，因此$S_{△ COD}=S_{△ CDF}-S_{△ COF}=\dfrac{1}{3}ab - x$。
(2) 过点O作$GH // AB$，交AD于G，交BC于H，如图所示。
因为$AB // CD$，所以$GH // CD$，则四边形ABHG和HCDG均为长方形。
△AOB与长方形ABHG同底等高，故$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}S_{长方形ABHG}$，已知$S_{△ AOB}=10$，得$S_{长方形ABHG}=20$；
同理，$S_{△ COD}=\dfrac{1}{2}S_{长方形HCDG}$，已知$S_{△ COD}=8$，得$S_{长方形HCDG}=16$。
因此长方形ABCD的面积为：$20+16=36$。
(3) 设$S_{△ AOE}=y$，由$BE=3AE$，得$S_{△ BOE}=3y$，故$S_{△ AOB}=4y$。
当$AB=4$，$BC=9$时，长方形面积为$4 × 9=36$。
△CDF的面积为：$S_{△ CDF}=\dfrac{1}{2} × 4 × \dfrac{2}{3} × 9=12$，故$S_{△ COD}=12 - x$。
△CBE的面积为：$S_{△ CBE}=\dfrac{1}{2} × \dfrac{3}{4} × 4 × 9=\dfrac{27}{2}$。
由$CF=2BF$，得$S_{△ BOF}=\dfrac{1}{2}x$，故$S_{△ BOC}=\dfrac{3}{2}x$。
又$S_{△ BOE}=S_{△ CBE}-S_{△ BOC}$，即$3y=\dfrac{27}{2}-\dfrac{3}{2}x$ ①；
结合$S_{△ AOB}+S_{△ COD}=\dfrac{1}{2}S_{长方形ABCD}$，得$4y + 12 - x=18$ ②。
联立①②，解得$x=4$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}ab - x$；
(2) $36$；
(3) $4$；
【知识点】
长方形面积、三角形面积计算、平行线分图形面积
【点评】
本题是长方形内的面积综合题，核心是利用三角形与长方形的面积关系，通过辅助线分割图形，结合线段比例建立面积关系，第三问需设未知数列方程组求解，考查面积转化能力与代数运算能力，综合性较强。
【难度系数】
0.6
