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一、选择题(每小题3分,共30分)
答案
解：
1. 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，选项A属于整式乘法，选项B、D的右侧不是整式积的形式，只有选项C符合因式分解定义。
答案：C
2. 多项式$8a^3b^2+12ab^3c$各项系数的最大公因数为4，相同字母的最低次幂分别为$a^1$、$b^2$，因此公因式为$4ab^2$。
答案：A
3. 可用平方差公式分解的多项式特征为两项、平方项异号，$-x^2+9=3^2-x^2$符合该特征。
答案：D
4. 完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，$x^2-4x+4=x^2-2· x·2+2^2$，是完全平方式。
答案：B
5. $m^2(a-2)+m(2-a)=m^2(a-2)-m(a-2)=m(a-2)(m-1)$。
答案：C
6. $x^2+kx+16=x^2+kx+4^2$，为完全平方式时$kx=\pm2· x·4$，解得$k=\pm8$。
答案：B
7. $x^3-4x=x(x^2-4)=x(x+2)(x-2)$。
答案：C
8. $2024^2-2023^2=(2024+2023)(2024-2023)=4047×1=4047$。
答案：D
9. $a^2b+ab^2=ab(a+b)$，代入$a+b=3$，$ab=2$，得原式$=2×3=6$。
答案：B
10. $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$。
答案：A
1. 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，选项A属于整式乘法，选项B、D的右侧不是整式积的形式，只有选项C符合因式分解定义。
答案：C
2. 多项式$8a^3b^2+12ab^3c$各项系数的最大公因数为4，相同字母的最低次幂分别为$a^1$、$b^2$，因此公因式为$4ab^2$。
答案：A
3. 可用平方差公式分解的多项式特征为两项、平方项异号，$-x^2+9=3^2-x^2$符合该特征。
答案：D
4. 完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，$x^2-4x+4=x^2-2· x·2+2^2$，是完全平方式。
答案：B
5. $m^2(a-2)+m(2-a)=m^2(a-2)-m(a-2)=m(a-2)(m-1)$。
答案：C
6. $x^2+kx+16=x^2+kx+4^2$，为完全平方式时$kx=\pm2· x·4$，解得$k=\pm8$。
答案：B
7. $x^3-4x=x(x^2-4)=x(x+2)(x-2)$。
答案：C
8. $2024^2-2023^2=(2024+2023)(2024-2023)=4047×1=4047$。
答案：D
9. $a^2b+ab^2=ab(a+b)$，代入$a+b=3$，$ab=2$，得原式$=2×3=6$。
答案：B
10. $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$。
答案：A
解析
【分析】
这10道选择题围绕因式分解的核心知识点设置，解题思路为：先明确因式分解的定义，判断是否将多项式化为几个整式的积的形式；确定公因式时，取各项系数的最大公因数与相同字母的最低次幂的乘积；运用公式法分解时，牢记平方差公式和完全平方公式的结构特征；多项式求值先因式分解再代入更简便；二次三项式可尝试十字相乘法分解，逐个分析选项即可得出答案。
【解析】
1. 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，选项A属于整式乘法，选项B、D的右侧不是整式积的形式，只有选项C符合因式分解定义。
2. 多项式$8a^3b^2+12ab^3c$各项系数的最大公因数为4，相同字母的最低次幂分别为$a^1$、$b^2$，因此公因式为$4ab^2$。
3. 可用平方差公式分解的多项式特征为两项、平方项异号，$-x^2+9=3^2-x^2$符合该特征。
4. 完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，$x^2-4x+4=x^2-2· x·2+2^2$，是完全平方式。
5. $m^2(a-2)+m(2-a)=m^2(a-2)-m(a-2)=m(a-2)(m-1)$。
6. $x^2+kx+16=x^2+kx+4^2$，为完全平方式时$kx=\pm2· x·4$，解得$k=\pm8$。
7. $x^3-4x=x(x^2-4)=x(x+2)(x-2)$。
8. $2024^2-2023^2=(2024+2023)(2024-2023)=4047×1=4047$。
9. $a^2b+ab^2=ab(a+b)$，代入$a+b=3$，$ab=2$，得原式$=2×3=6$。
10. $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$。
【答案】
C、A、D、B、C、B、C、D、B、A
【知识点】
因式分解的定义、提公因式法、公式法分解因式
【点评】
本题组是因式分解章节的基础巩固题，全面覆盖因式分解核心知识点，难度适中，适合学生夯实基础，需熟练掌握各类分解方法的结构特征。
【难度系数】
0.6
这10道选择题围绕因式分解的核心知识点设置，解题思路为：先明确因式分解的定义，判断是否将多项式化为几个整式的积的形式；确定公因式时，取各项系数的最大公因数与相同字母的最低次幂的乘积；运用公式法分解时，牢记平方差公式和完全平方公式的结构特征；多项式求值先因式分解再代入更简便；二次三项式可尝试十字相乘法分解，逐个分析选项即可得出答案。
【解析】
1. 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，选项A属于整式乘法，选项B、D的右侧不是整式积的形式，只有选项C符合因式分解定义。
2. 多项式$8a^3b^2+12ab^3c$各项系数的最大公因数为4，相同字母的最低次幂分别为$a^1$、$b^2$，因此公因式为$4ab^2$。
3. 可用平方差公式分解的多项式特征为两项、平方项异号，$-x^2+9=3^2-x^2$符合该特征。
4. 完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，$x^2-4x+4=x^2-2· x·2+2^2$，是完全平方式。
5. $m^2(a-2)+m(2-a)=m^2(a-2)-m(a-2)=m(a-2)(m-1)$。
6. $x^2+kx+16=x^2+kx+4^2$，为完全平方式时$kx=\pm2· x·4$，解得$k=\pm8$。
7. $x^3-4x=x(x^2-4)=x(x+2)(x-2)$。
8. $2024^2-2023^2=(2024+2023)(2024-2023)=4047×1=4047$。
9. $a^2b+ab^2=ab(a+b)$，代入$a+b=3$，$ab=2$，得原式$=2×3=6$。
10. $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$。
【答案】
C、A、D、B、C、B、C、D、B、A
【知识点】
因式分解的定义、提公因式法、公式法分解因式
【点评】
本题组是因式分解章节的基础巩固题，全面覆盖因式分解核心知识点，难度适中，适合学生夯实基础，需熟练掌握各类分解方法的结构特征。
【难度系数】
0.6
1.多项式$3a^{2}b^{3}c^{2}+4a^{5}b^{2}+6a^{3}bc^{2}$的各项公因式是 （
A.$a^{2}bc$
B.$12a^{5}b^{3}c^{2}$
C.$12a^{2}bc$
D.$a^{2}b$
D
）A.$a^{2}bc$
B.$12a^{5}b^{3}c^{2}$
C.$12a^{2}bc$
D.$a^{2}b$
答案
1.D
解析
【分析】要确定多项式各项的公因式，需依据公因式的确定规则：①系数取各项系数的最大公约数；②相同字母取各项中该字母的最低次幂；③仅保留各项都含有的字母。先分别分析多项式各项的系数、共同字母及对应幂次，再组合得到公因式，最后匹配选项。
【解析】对于多项式$3a^{2}b^{3}c^{2}+4a^{5}b^{2}+6a^{3}bc^{2}$：
1. 系数分析：各项系数为3、4、6，它们的最大公约数是1；
2. 字母分析：各项都含有的字母是a和b，第二项不含字母c，故c不纳入公因式；a的最低次幂是$a^2$，b的最低次幂是$b^1$；
因此，该多项式各项的公因式为$1× a^2× b = a^2b$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】公因式的确定
【点评】本题考查公因式的基础确定方法，核心是掌握公因式的构成规则，需注意仅保留各项共有的字母，避免误选含额外字母或幂次错误的选项。
【难度系数】0.6
【解析】对于多项式$3a^{2}b^{3}c^{2}+4a^{5}b^{2}+6a^{3}bc^{2}$：
1. 系数分析：各项系数为3、4、6，它们的最大公约数是1；
2. 字母分析：各项都含有的字母是a和b，第二项不含字母c，故c不纳入公因式；a的最低次幂是$a^2$，b的最低次幂是$b^1$；
因此，该多项式各项的公因式为$1× a^2× b = a^2b$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】公因式的确定
【点评】本题考查公因式的基础确定方法，核心是掌握公因式的构成规则，需注意仅保留各项共有的字母，避免误选含额外字母或幂次错误的选项。
【难度系数】0.6
2.(2025·杭州市上城区期末)下列多项式,能用平方差公式进行因式分解的是 (
A.$-a^2 - b^2$
B.$a^2 + b^2$
C.$a^2 - b^2$
D.$a^2 - 2ab + b^2$
C
)A.$-a^2 - b^2$
B.$a^2 + b^2$
C.$a^2 - b^2$
D.$a^2 - 2ab + b^2$
答案
2.C
解析
【分析】要判断哪个多项式能用平方差公式因式分解，需先明确平方差公式因式分解的核心条件：多项式需为两个数（或式）的平方差，即形式为$x^2 - y^2$，且两项符号相反、均为平方项。接下来逐一分析选项是否满足该条件。
【解析】根据平方差公式因式分解的条件，对各选项逐一判断：
选项A：$-a^2 - b^2 = -(a^2 + b^2)$，两项均为平方项且符号相同，不符合平方差公式的结构，无法用平方差公式分解；
选项B：$a^2 + b^2$，两项均为平方项且符号相同，不符合平方差公式的结构，无法用平方差公式分解；
选项C：$a^2 - b^2$，是两个平方项的差，完全符合平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$的结构，能用平方差公式分解；
选项D：$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$，属于完全平方公式的结构，不是平方差形式，不符合要求。
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式，因式分解-完全平方公式
【点评】本题考查平方差公式因式分解的适用条件，需准确区分平方差公式与完全平方公式的结构特征，属于因式分解部分的基础题型，侧重对公式结构的理解。
【难度系数】0.8
【解析】根据平方差公式因式分解的条件，对各选项逐一判断：
选项A：$-a^2 - b^2 = -(a^2 + b^2)$，两项均为平方项且符号相同，不符合平方差公式的结构，无法用平方差公式分解；
选项B：$a^2 + b^2$，两项均为平方项且符号相同，不符合平方差公式的结构，无法用平方差公式分解；
选项C：$a^2 - b^2$，是两个平方项的差，完全符合平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$的结构，能用平方差公式分解；
选项D：$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$，属于完全平方公式的结构，不是平方差形式，不符合要求。
【答案】C
【知识点】因式分解-平方差公式，因式分解-完全平方公式
【点评】本题考查平方差公式因式分解的适用条件，需准确区分平方差公式与完全平方公式的结构特征，属于因式分解部分的基础题型，侧重对公式结构的理解。
【难度系数】0.8
3.(2025·衢州市柯城区期末)因式分解$3x^2 - 12$的结果是（
A.$3(x + 2)(x - 2)$
B.$3(x + 4)(x - 4)$
C.$3(x - 2)^2$
D.$3(x - 4)^2$
A
）A.$3(x + 2)(x - 2)$
B.$3(x + 4)(x - 4)$
C.$3(x - 2)^2$
D.$3(x - 4)^2$
答案
3.A
解析
【分析】本题是因式分解的选择题，解题思路为：先判断多项式是否存在公因式，若存在则先提取公因式，再对剩余部分利用平方差公式进一步分解，最后匹配选项确定答案。具体来说，多项式$3x^2 -12$的两项有公因式3，先提取3得到$3(x^2 -4)$；而$x^2 -4$符合平方差公式的形式，分解为$(x+2)(x-2)$，最终结果对应选项A。
【解析】解：对$3x^2 -12$进行因式分解，步骤如下：
1. 提取公因式：观察到两项的公因式为3，因此原式$=3(x^2 -4)$；
2. 应用平方差公式：$x^2 -4 = x^2 -2^2$，根据平方差公式$a^2 -b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^2 -4=(x+2)(x-2)$；
因此，原式因式分解结果为$3(x+2)(x-2)$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】因式分解（提公因式法、平方差公式）
【点评】本题考查初中数学基础的因式分解方法，涉及提公因式法和平方差公式的应用，是期末常考的基础题型，解题步骤清晰，主要考察学生对因式分解基本方法的掌握情况。
【难度系数】0.8
【解析】解：对$3x^2 -12$进行因式分解，步骤如下：
1. 提取公因式：观察到两项的公因式为3，因此原式$=3(x^2 -4)$；
2. 应用平方差公式：$x^2 -4 = x^2 -2^2$，根据平方差公式$a^2 -b^2=(a+b)(a-b)$，可得$x^2 -4=(x+2)(x-2)$；
因此，原式因式分解结果为$3(x+2)(x-2)$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】因式分解（提公因式法、平方差公式）
【点评】本题考查初中数学基础的因式分解方法，涉及提公因式法和平方差公式的应用，是期末常考的基础题型，解题步骤清晰，主要考察学生对因式分解基本方法的掌握情况。
【难度系数】0.8
4. (2025·温州市龙湾区期末)下列因式分解中,正确的个数是 (
①$2x^2 - xy + x = x(2x - y + 1)$;②$x^2 - 9y^2 = (x + 3y)(x - 3y)$;
③$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$;④$2x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$。
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)①$2x^2 - xy + x = x(2x - y + 1)$;②$x^2 - 9y^2 = (x + 3y)(x - 3y)$;
③$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$;④$2x^2 - 4x + 1 = (2x - 1)^2$。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4.C
解析
【分析】
要判断因式分解是否正确，需依据因式分解的定义（将多项式化为几个整式的积的形式），结合提取公因式法、公式法、十字相乘法等分解规则，逐个验证每个式子：先检查是否为整式积的形式，再通过展开分解结果或直接运用分解规则判断对错。
【解析】
逐个分析四个因式分解：
① 对$2x^2 - xy + x$提取公因式$x$，得$x(2x - y + 1)$，符合因式分解要求，正确；
② 对$x^2 - 9y^2$，利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$（此处$a=x$，$b=3y$），分解为$(x+3y)(x-3y)$，正确；
③ 对$x^2 - 3x + 2$，用十字相乘法，常数项2分解为$-1$和$-2$，和为$-3$，故分解为$(x-1)(x-2)$，展开验证：$(x-1)(x-2)=x^2 -3x +2$，正确；
④ 对$2x^2 -4x +1$，若用完全平方公式，$(2x-1)^2=4x^2 -4x +1≠2x^2 -4x +1$，分解错误。
综上，正确的有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，需熟练掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法，注意区分公式适用条件，避免完全平方公式与平方差公式混淆，同时提取公因式时不能漏项。
【难度系数】
0.5
要判断因式分解是否正确，需依据因式分解的定义（将多项式化为几个整式的积的形式），结合提取公因式法、公式法、十字相乘法等分解规则，逐个验证每个式子：先检查是否为整式积的形式，再通过展开分解结果或直接运用分解规则判断对错。
【解析】
逐个分析四个因式分解：
① 对$2x^2 - xy + x$提取公因式$x$，得$x(2x - y + 1)$，符合因式分解要求，正确；
② 对$x^2 - 9y^2$，利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$（此处$a=x$，$b=3y$），分解为$(x+3y)(x-3y)$，正确；
③ 对$x^2 - 3x + 2$，用十字相乘法，常数项2分解为$-1$和$-2$，和为$-3$，故分解为$(x-1)(x-2)$，展开验证：$(x-1)(x-2)=x^2 -3x +2$，正确；
④ 对$2x^2 -4x +1$，若用完全平方公式，$(2x-1)^2=4x^2 -4x +1≠2x^2 -4x +1$，分解错误。
综上，正确的有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，需熟练掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法，注意区分公式适用条件，避免完全平方公式与平方差公式混淆，同时提取公因式时不能漏项。
【难度系数】
0.5
5. (2024·绍兴市嵊州市期末)若$\begin{cases}x+y=4, \\ x-y=2,\end{cases}$则代数式$x^2 - y^2$的值是（ ）
A.8
B.7
C.6
D.5
A.8
B.7
C.6
D.5
答案
5.A
解析
【分析】本题要求代数式$x^2 - y^2$的值，可利用平方差公式对代数式因式分解，题目已给出$x+y$和$x-y$的数值，无需解方程组，直接代入公式计算即可快速得出结果。
【解析】解：根据平方差公式，$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$。已知$x+y=4$，$x-y=2$，将其代入公式得：原式$=4×2=8$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】平方差公式、代数式求值
【点评】本题为基础题型，直接考查平方差公式的应用，无需解方程组，通过公式简化计算，解题思路清晰，侧重基础知识点的巩固。
【难度系数】0.8
【解析】解：根据平方差公式，$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$。已知$x+y=4$，$x-y=2$，将其代入公式得：原式$=4×2=8$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】平方差公式、代数式求值
【点评】本题为基础题型，直接考查平方差公式的应用，无需解方程组，通过公式简化计算，解题思路清晰，侧重基础知识点的巩固。
【难度系数】0.8
6. (2025·金华市东阳市期末)已知$m,n$为正整数，且满足$mn + m + n = 20$，则$mn$的值为（
A.$8$
B.$9$
C.$10$
D.$12$
D
）A.$8$
B.$9$
C.$10$
D.$12$
答案
6.D 【解析】因为$mn + m + n = 20$,所以$mn + m + n + 1 = 21$,则$(m + 1)(n + 1) = 21$。因为m和n为正整数,所以$m + 1$和$n + 1$均为大于1的正整数,所以$21 = 3×7 = 7×3$,所以分两种情况:①当$\begin{cases}m + 1 = 3, \\ n + 1 = 7\end{cases}$时,解得$\begin{cases}m = 2, \\ n = 6,\end{cases}$所以$mn = 2×6 = 12$;②当$\begin{cases}m + 1 = 7, \\ n + 1 = 3\end{cases}$时,解得$\begin{cases}m = 6, \\ n = 2,\end{cases}$所以$mn = 6×2 = 12$。综上所述,$mn$的值为12。
解析
【分析】
要解决这道题，核心是对等式$mn + m + n = 20$变形，通过“加1凑因式”构造两个正整数的乘积，结合m、n为正整数的条件，利用正整数的因数分解找到变量组合，进而计算$mn$的值。
【解析】
已知$mn + m + n = 20$，对等式两边同时加1，可得：
$mn + m + n + 1 = 21$
将左边因式分解，得：
$(m + 1)(n + 1) = 21$
因为m、n为正整数，所以$m + 1$和$n + 1$均为大于1的正整数，21的正整数因数分解（大于1的）为$3×7$和$7×3$，分两种情况讨论：
① 当$\begin{cases} m + 1 = 3 \\ n + 1 = 7 \end{cases}$时，解得$\begin{cases} m = 2 \\ n = 6 \end{cases}$，此时$mn = 2×6 = 12$；
② 当$\begin{cases} m + 1 = 7 \\ n + 1 = 3 \end{cases}$时，解得$\begin{cases} m = 6 \\ n = 2 \end{cases}$，此时$mn = 6×2 = 12$；
两种情况结果一致，故$mn$的值为12。
【答案】
D
【知识点】
因式分解（十字相乘法）、正整数的性质
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型基础题，关键技巧是对形如$mn + m + n$的式子加1构造乘积，利用正整数的因数分解确定变量取值，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，核心是对等式$mn + m + n = 20$变形，通过“加1凑因式”构造两个正整数的乘积，结合m、n为正整数的条件，利用正整数的因数分解找到变量组合，进而计算$mn$的值。
【解析】
已知$mn + m + n = 20$，对等式两边同时加1，可得：
$mn + m + n + 1 = 21$
将左边因式分解，得：
$(m + 1)(n + 1) = 21$
因为m、n为正整数，所以$m + 1$和$n + 1$均为大于1的正整数，21的正整数因数分解（大于1的）为$3×7$和$7×3$，分两种情况讨论：
① 当$\begin{cases} m + 1 = 3 \\ n + 1 = 7 \end{cases}$时，解得$\begin{cases} m = 2 \\ n = 6 \end{cases}$，此时$mn = 2×6 = 12$；
② 当$\begin{cases} m + 1 = 7 \\ n + 1 = 3 \end{cases}$时，解得$\begin{cases} m = 6 \\ n = 2 \end{cases}$，此时$mn = 6×2 = 12$；
两种情况结果一致，故$mn$的值为12。
【答案】
D
【知识点】
因式分解（十字相乘法）、正整数的性质
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型基础题，关键技巧是对形如$mn + m + n$的式子加1构造乘积，利用正整数的因数分解确定变量取值，难度适中。
【难度系数】
0.6
7. (2025·杭州市滨江区期末)若实数$x$满足$x^2 + x - 1 = 0$，则$3x^3 + 4x^2 - 2x + 2025$的值为（
A.2025
B.2026
C.2027
D.2028
B
）A.2025
B.2026
C.2027
D.2028
答案
7.B 【解析】因为$x^2 + x - 1 = 0$,所以$x^2 + x = 1$,所以$3x^3 + 4x^2 - 2x + 2025 = 3x^3 + 3x^2 + x^2 - 2x + 2025 = 3x(x^2 + x) + x^2 - 2x + 2025 = 3x + x^2 - 2x + 2025 = x^2 + x + 2025 = 1 + 2025 = 2026$。
解析
【分析】本题已知二次方程，要求解三次多项式的值，核心思路是利用降次法，将高次项转化为低次项，结合已知条件整体代入，避免求解x的具体值。首先从已知方程变形得到$x^2 + x = 1$，再将所求代数式中的三次项拆分为含有$x^2 + x$的形式，逐步替换化简，最终代入已知值计算结果。
【解析】因为实数$x$满足$x^2 + x - 1 = 0$，所以$x^2 + x = 1$。对所求代数式变形：
$3x^3 + 4x^2 - 2x + 2025$
$= 3x^3 + 3x^2 + x^2 - 2x + 2025$（拆分$4x^2$构造含$x^2 + x$的项）
$= 3x(x^2 + x) + x^2 - 2x + 2025$（提取公因式得到含已知式的结构）
将$x^2 + x = 1$代入上式，得：
$= 3x·1 + x^2 - 2x + 2025$
$= x^2 + x + 2025$（合并同类项简化）
再代入$x^2 + x = 1$，得：
$= 1 + 2025 = 2026$
【答案】B
【知识点】代数式求值、降次法
【点评】本题是代数式求值的典型题型，重点考查降次思想和整体代入法的应用，通过将高次多项式转化为低次项，结合已知条件整体代入，简化计算过程，无需解出$x$的具体值，降低了计算难度，是初中数学常见考点。
【难度系数】0.6
【解析】因为实数$x$满足$x^2 + x - 1 = 0$，所以$x^2 + x = 1$。对所求代数式变形：
$3x^3 + 4x^2 - 2x + 2025$
$= 3x^3 + 3x^2 + x^2 - 2x + 2025$（拆分$4x^2$构造含$x^2 + x$的项）
$= 3x(x^2 + x) + x^2 - 2x + 2025$（提取公因式得到含已知式的结构）
将$x^2 + x = 1$代入上式，得：
$= 3x·1 + x^2 - 2x + 2025$
$= x^2 + x + 2025$（合并同类项简化）
再代入$x^2 + x = 1$，得：
$= 1 + 2025 = 2026$
【答案】B
【知识点】代数式求值、降次法
【点评】本题是代数式求值的典型题型，重点考查降次思想和整体代入法的应用，通过将高次多项式转化为低次项，结合已知条件整体代入，简化计算过程，无需解出$x$的具体值，降低了计算难度，是初中数学常见考点。
【难度系数】0.6
8. 如图,将边长为$ x $的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成一个大的长方形。这两个图能解释的一个等式是 (
A.$ x^2 - x = x(x - 1) $
B.$ x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) $
C.$ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 $
D.$ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $
B
)A.$ x^2 - x = x(x - 1) $
B.$ x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) $
C.$ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 $
D.$ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $
答案
8.B
解析
【分析】要选出对应的等式，需利用“两个图形的面积相等”这一关键：先计算左图（大正方形减小正方形）的面积，再确定右图拼成的大长方形的长和宽，计算其面积，最后让两个面积相等，即可得到对应的代数等式。
【解析】1. 左图的面积：左图是边长为$ x $的大正方形减去边长为1的小正方形，根据正方形面积公式，面积为$ x^2 - 1^2 = x^2 -1 $。2. 右图的面积：观察右图，拼成的大长方形的长为$ x +1 $，宽为$ x -1 $，根据长方形面积公式，面积为长×宽，即$ (x+1)(x-1) $。3. 由于两个图形是同一剩余部分拼接前后的图形，面积相等，因此可得等式$ x^2 -1 = (x+1)(x-1) $，对应选项B。
【答案】B
【知识点】平方差公式几何意义，整式乘法
【点评】本题通过几何图形的面积关系推导代数等式，直观展现了平方差公式的几何背景，属于基础题型，考查代数与几何的结合应用能力。
【难度系数】0.7
【解析】1. 左图的面积：左图是边长为$ x $的大正方形减去边长为1的小正方形，根据正方形面积公式，面积为$ x^2 - 1^2 = x^2 -1 $。2. 右图的面积：观察右图，拼成的大长方形的长为$ x +1 $，宽为$ x -1 $，根据长方形面积公式，面积为长×宽，即$ (x+1)(x-1) $。3. 由于两个图形是同一剩余部分拼接前后的图形，面积相等，因此可得等式$ x^2 -1 = (x+1)(x-1) $，对应选项B。
【答案】B
【知识点】平方差公式几何意义，整式乘法
【点评】本题通过几何图形的面积关系推导代数等式，直观展现了平方差公式的几何背景，属于基础题型，考查代数与几何的结合应用能力。
【难度系数】0.7
