6. (2024·北京通州区一模) 在平面直角坐标系$xOy$中,函数$y=kx+b(k ≠ 0)$的图象经过点$A(0,-1)$和$B(4,3)$,与过点$(0,-3)$且平行于$x$轴的直线交于点$C$,当$x ＞ -2$时,对于$x$的每一个值,函数$y=mx(m ≠ 0)$的值大于函数$y=kx+b(k ≠ 0)$的值,写出$m$的取值范围为.

$1≤ m≤ \dfrac{3}{2}$ [解析]将点 $A(0,-1)$ 和 $B(4,3)$ 代入 $y=kx+b(k≠0)$,得 $\begin{cases}b=-1,\\4k+b=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=1,\\b=-1,\end{cases}$
则函数的表达式为 $y=x-1$.
过点$(0,-3)$且平行于 $x$ 轴的直线为 $y=-3$.
$\because$ 函数 $y=kx+b(k≠0)$ 的图象经过点 $A(0,-1)$ 和 $B(4,3)$,与过点$(0,-3)$且平行于 $x$ 轴的直线交于点 $C$,
$\therefore x-1=-3$,
解得 $x=-2$,即 $C(-2,-3)$.
当直线 $y=mx(m≠0)$ 过点 $C$ 时,
即把 $C(-2,-3)$ 代入 $y=mx(m≠0)$,
得 $-2m=-3$,解得 $m=\dfrac{3}{2}$.
$\because$ 当 $x＞-2$ 时,对于 $x$ 的每一个值,$y=mx(m≠0)$ 的值大于 $y=x-1$ 的值,
$\therefore -2m≥-2-1$,解得 $m≤\dfrac{3}{2}$;
当 $y=mx(m≠0)$ 与直线 $y=x-1$ 平行时,$m=1$,
此时,满足条件,且当 $m＜1$ 时,不满足条件,
$\therefore 1≤ m≤\dfrac{3}{2}$.
思路引导 本题考查了待定系数法求一次函数表达式、一次函数的图象与性质,先求出 $y=kx+b(k≠0)$ 的表达式,分情况讨论:当直线 $y=mx(m≠0)$ 过点 $C$ 时和当直线 $y=mx(m≠0)$ 与直线 $y=kx+b(k≠0)$ 平行时,即可得到符合条件的 $m$ 的取值范围.

7. 已知一次函数 $y=kx+b$ 的图象平行于 $y=$$-2x+1$,且过点 $(2,-1)$.
(1)求这个一次函数的表达式.
(2) 当 $x=1$ 时,求 $y$ 的值; 当 $y=2$ 时,求 $x$ 的值.
(3)画出该一次函数的图象.
(4)根据图象回答: 当 $x$ 取何值时, $y＞0;y=$$0;y＜0?$

(1)根据题意,设这个一次函数的表达式为 $y=-2x+b$,将点$(2,-1)$代入 $y=-2x+b$,得 $b=3$,
则一次函数的表达式为 $y=-2x+3$.
(2)由(1),得一次函数的表达式为 $y=-2x+3$,
当 $x=1$ 时,$y=-2×1+3=1$;
当 $y=2$ 时,则 $-2x+3=2$,解得 $x=\dfrac{1}{2}$.
(3)当 $x=0$ 时,$y=3$,当 $y=0$ 时,$x=\dfrac{3}{2}$,
函数图象如图所示:

(4)根据图象,得当 $x＜\dfrac{3}{2}$ 时,$y＞0$;当 $x=\dfrac{3}{2}$ 时,$y=0$;当 $x＞\dfrac{3}{2}$ 时,$y＜0$.
归纳总结 本题考查一次函数图象的运用及函数表达式的求法,解题时注意数形结合思想的运用.

8. 如图,直线 $l_1:y=\dfrac{5}{3}x+\dfrac{1}{3}$ 与直线 $l_2:mx+$
$ny=5$ 交于点 $A(1,2)$,则方程组 $\begin{cases}5x-3y=-1,\\ mx+ny=5\end{cases}$ 的解是( ).

A.$\begin{cases} x=1,\\ y=2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x=2,\\ y=1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x=-1,\\ y=-2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x=-2,\\ y=-1 \end{cases}$

A [解析]$\because$ 直线 $l_1:y=\dfrac{5}{3}x+\dfrac{1}{3}$ 与直线 $l_2:mx+ny=5$ 交于点 $A(1,2)$,
$\therefore$ 方程组 $\begin{cases}y=\dfrac{5}{3}x+\dfrac{1}{3},\\mx+ny=5\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=1,\\y=2.\end{cases}$
即方程组 $\begin{cases}5x-3y=-1,\\mx+ny=5\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=1,\\y=2.\end{cases}$
故选 A.

9. 如图,直线 $y_{1}=x+3$ 分别与 $x$ 轴, $y$ 轴交于点$A$ 和点$C$,直线 $y_{2}=-x+3$ 分别与 $x$ 轴,$y$ 轴交于点$B$ 和点$C$,点 $P(m,1)$ 是$△ ABC$内部(包括边上)的一点,则 $m$ 的最大值与最小值之差为.

4 [解析]当 $y_1=1$ 时,$x+3=1$,解得 $x=-2$;
当 $y_2=1$ 时,$-x+3=1$,解得 $x=2$,
$\therefore -2≤ m≤2$,
即 $m$ 的最大值与最小值之差为 $2-(-2)=4$.

10. 如图,直线 $l_1:y=x+1$ 与直线 $l_2:y=-2x$ $+n$ 相交于点 $P(1,b)$.
(1)求点 $P$ 的坐标;
(2)点 $D(m,0)$ 为 $x$ 轴上的一个动点,过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线分别交 $l_1$ 和 $l_2$ 于点 $E,F$,当 $EF=3$ 时,求 $m$ 的值.

(1)$\because$ 直线 $l_1:y=x+1$ 过点 $P(1,b)$,
$\therefore b=1+1=2$,$\therefore P(1,2)$.
(2)将 $P(1,2)$ 代入 $y=-2x+n$,得 $-2+n=2$,$\therefore n=4$.
把 $x=m$ 分别代入直线 $l_1:y=x+1$ 与直线 $l_2:y=-2x+4$,得 $E(m,m+1)$,$F(m,-2m+4)$.
$\because EF=3$,
$\therefore$ 当 $m＞1$ 时,$EF=m+1-(-2m+4)=3$,$\therefore m=2$;
当 $m＜1$ 时,$-2m+4-m-1=3$,$\therefore m=0$.
综上,$m$ 的值为 $2$ 或 $0$.
思路引导 本题考查两条直线相交的问题,一次函数与一元一次方程,关键是掌握待定系数法求一次函数表达式,掌握凡是函数图象经过的点必能满足表达式即可.
(1)把 $P$ 点坐标代入 $y=x+1$ 可得 $b$ 的值;
(2)分两种情况:当 $m＞1$ 时,当 $m＜1$ 时,根据题意列出关于 $m$ 的方程,解方程即可求得 $m$ 的值.