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【例】（第二十届省初中数学竞赛）某仓储系统有20条输入传送带、20条输出传送带.某日，控制室的电脑显示，每条输入传送带每小时进库的货物流量如图(1)，每条输出传送带每小时出库的货物流量如图(2)，而该日仓库中原有货物8吨，在0时至5时，仓库中货物存量变化情况如图(3)，则在0时至2时有多少条输入传送带和输出传送带在工作？在4时至5时有多少条输入传送带和输出传送带在工作？
解析：由图(1)可知，每条输入传送带每小时进库的货物流量为13吨；由图(2)可知，每条输出传送带每小时出库的货物流量为15吨.根据图(3)中货物存量变化列出方程求解即可.
答案：设0时至2时有a条输入传送带和b条输出传送带同时工作，则$2(13a - 15b) = 4$，即$13a - 15b = 2$.$\because a,b$为正整数，
$\therefore$求出此方程的正整数解为$a = 14,b = 12$.
再设4时至5时有m条输入传送带和n条输出传送带同时工作，则$13m = 15n - 12$，即$15n - 13m = 12$.$\because m,n$为正整数，
$\therefore$求出此方程的正整数解为$m = 6,n = 6$.
故0时至2时有14条输入传送带，12条输
解析：由图(1)可知，每条输入传送带每小时进库的货物流量为13吨；由图(2)可知，每条输出传送带每小时出库的货物流量为15吨.根据图(3)中货物存量变化列出方程求解即可.
答案：设0时至2时有a条输入传送带和b条输出传送带同时工作，则$2(13a - 15b) = 4$，即$13a - 15b = 2$.$\because a,b$为正整数，
$\therefore$求出此方程的正整数解为$a = 14,b = 12$.
再设4时至5时有m条输入传送带和n条输出传送带同时工作，则$13m = 15n - 12$，即$15n - 13m = 12$.$\because m,n$为正整数，
$\therefore$求出此方程的正整数解为$m = 6,n = 6$.
故0时至2时有14条输入传送带，12条输
答案
解：
由图(1)可知，每条输入传送带每小时进库的货物流量为13吨；
由图(2)可知，每条输出传送带每小时出库的货物流量为15吨。
设0时至2时有a条输入传送带和b条输出传送带在工作，根据题意，原有货物8吨，2小时后存量为12吨，列方程：
$8 + 2×13a - 2×15b = 12$
整理得：
$13a - 15b = 2$
其中a、b为0到20之间的非负整数，解得该方程符合条件的正整数解为$a=14$，$b=12$。
设4时至5时有m条输入传送带和n条输出传送带在工作，根据题意，4时仓库存量为12吨，5时存量为0，列方程：
$12 + 1×13m - 1×15n = 0$
整理得：
$15n - 13m = 12$
其中m、n为0到20之间的非负整数，解得该方程符合条件的正整数解为$m=6$，$n=6$。
答：0时至2时有14条输入传送带和12条输出传送带在工作，4时至5时有6条输入传送带和6条输出传送带在工作。
由图(1)可知，每条输入传送带每小时进库的货物流量为13吨；
由图(2)可知，每条输出传送带每小时出库的货物流量为15吨。
设0时至2时有a条输入传送带和b条输出传送带在工作，根据题意，原有货物8吨，2小时后存量为12吨，列方程：
$8 + 2×13a - 2×15b = 12$
整理得：
$13a - 15b = 2$
其中a、b为0到20之间的非负整数，解得该方程符合条件的正整数解为$a=14$，$b=12$。
设4时至5时有m条输入传送带和n条输出传送带在工作，根据题意，4时仓库存量为12吨，5时存量为0，列方程：
$12 + 1×13m - 1×15n = 0$
整理得：
$15n - 13m = 12$
其中m、n为0到20之间的非负整数，解得该方程符合条件的正整数解为$m=6$，$n=6$。
答：0时至2时有14条输入传送带和12条输出传送带在工作，4时至5时有6条输入传送带和6条输出传送带在工作。
1. [全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛]若 $bk＜0$, 则直线
$y=kx+b$ 一定通过(
A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限
$y=kx+b$ 一定通过(
D
).A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限
答案
1.D [解析]
∵bk＜0,
∴b＞0,k＜0或b＜0,k＞0.
①当b＞0,k＜0时,直线y=kx+b经过第一、二、四象限;
②当b＜0,k＞0时,直线y=kx+b经过第一、三、四象限.
综上所述,直线y=kx+b一定经过第一、四象限.故选D.
∵bk＜0,
∴b＞0,k＜0或b＜0,k＞0.
①当b＞0,k＜0时,直线y=kx+b经过第一、二、四象限;
②当b＜0,k＞0时,直线y=kx+b经过第一、三、四象限.
综上所述,直线y=kx+b一定经过第一、四象限.故选D.
2. [全国初中数学竞赛(天津赛区)初赛]某个一次函数的图象与直线 $y=\dfrac{1}{2}x+3$ 平行,与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点分别为 $A,B$,并且过点 $(-2,-4)$,则在线段 $AB$ 上(包括点 $A,B$),横、纵坐标都是整数的点有(
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
B
).A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
答案
2.B [解析]根据题意,设一次函数的表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+b$,
由点(-2,-4)在该函数图象上,得$-4=\dfrac{1}{2}×(-2)+b$,
解得$b=-3$,$\therefore y=\dfrac{1}{2}x-3$,$\therefore$点A(6,0),B(0,-3).
由$0≤ x≤6$,且x为整数,取x=0,2,4,6时,对应的y值是整数.因此,在线段AB上(包括点A,B),横、纵坐标都是整数的点有4个.故选B.
由点(-2,-4)在该函数图象上,得$-4=\dfrac{1}{2}×(-2)+b$,
解得$b=-3$,$\therefore y=\dfrac{1}{2}x-3$,$\therefore$点A(6,0),B(0,-3).
由$0≤ x≤6$,且x为整数,取x=0,2,4,6时,对应的y值是整数.因此,在线段AB上(包括点A,B),横、纵坐标都是整数的点有4个.故选B.
3. (四川省初中数学联赛初赛)某服装车间接到一批支援灾区的紧急生产任务,要求在一个月时间内生产尽可能多的套装(1件衣和1条裤为1套).已知第一小组甲、乙、丙、丁四个工人生产衣和裤的能力如下:一天时间甲可做衣4件或裤4条,乙可做衣9件或裤7条,丙可做衣6件或裤8条,丁可做衣11件或裤8条.问:怎样安排生产可使一周(7天)内生产的服装套数最多(因原料和设备安排,每位工人必须全天做衣或全天做裤)?最多是多少套?
答案
3. 由题意可知,要尽可能多生产,应安排丁全部做衣,丙全部做裤.
设一周内甲做衣x天,则做裤(7-x)天,乙做裤y天,则做衣(7-y)天,由题意,得$4x+9(7-y)+11×7=4(7-x)+7y+8×7$,整理,得$x=2y-7$.
设一周生产的服装套数为W,
则$W=4x+9(7-y)+11×7=112-y$,
∴W随着y的增大而减小.
∵x,y都是正整数,由x=2y-7,得y≥4,
∴当y=4时,W最大,此时W=108,x=1,
∴应当安排甲做1天衣,6天裤;乙做3天衣,4天裤;丙做7天裤;丁做7天衣,这时一周生产的服装套数最多,为108套.
设一周内甲做衣x天,则做裤(7-x)天,乙做裤y天,则做衣(7-y)天,由题意,得$4x+9(7-y)+11×7=4(7-x)+7y+8×7$,整理,得$x=2y-7$.
设一周生产的服装套数为W,
则$W=4x+9(7-y)+11×7=112-y$,
∴W随着y的增大而减小.
∵x,y都是正整数,由x=2y-7,得y≥4,
∴当y=4时,W最大,此时W=108,x=1,
∴应当安排甲做1天衣,6天裤;乙做3天衣,4天裤;丙做7天裤;丁做7天衣,这时一周生产的服装套数最多,为108套.
