1. (尺规作图) 如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以M，N两点为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P. 若点P的坐标为$(3a,4b+2)$，则a与b之间的数量关系为

A.$3a - 2b = 2$
B.$3a + 2b = -2$
C.$3a - 4b = 2$
D.$3a + 4b = -2$

D 解析:由题意,得点P在第二象限的角平分线上.又点P的坐标为(3a,4b+2),所以3a+(4b+2)=0,即3a+4b=-2.

2. 规律探究 如图，在平面直角坐标系中，对$△ ABC$进行循环往复的轴对称变换.若原来点A的坐标是$(a,b)$，则经过第2026次变换后点A的坐标是.

(-a,-b) 解析:由题意,得第1次变换后点A的坐标为(a,-b),第2次变换后点A的坐标为(-a,-b),第3次变换后点A的坐标为(-a,b),第4次变换后点A的坐标为(a,b)……按此规律,第n(n为正整数)次变换后点A的坐标按照(a,-b),(-a,-b),(-a,b),(a,b)四个一循环.又2026÷4=506……2,所以经过第2026次变换后点A的坐标是(-a,-b).

3. 推导探究 如图,在平面直角坐标系中有$A(a,0),B(b,0)$两点,且$a,b$满足$\sqrt{a+2}+(b-2)^2=0$.
(1) $a=$, $b=$;
(2) 若在第三象限内有一点$M(-3,m)$,则$△ ABM$的面积为(用含$m$的代数式表示);
(3) 在(2)的条件下,当$m=-3$时,在$y$轴上是否存在这样的点$P$,使得$△ ABP$的面积是$△ ABM$的面积的2倍? 若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

(1) -2 2 解析:因为$\sqrt{a+2}+(b-2)^2=0$,所以a+2=0,b-2=0,解得a=-2,b=2.则a=-2,b=2.
(2) -2m 解析:由(1),得a=-2,b=2,则OA=OB=2.所以AB=4.因为点M(-3,m)在第三象限,所以m＜0.所以$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}AB·|y_M|=-2m$.
(3) 存在.由(2),得AB=4,$S_{△ ABM}=-2m$,所以当m=-3时,$S_{△ ABM}=6$.设P(0,n).因为$△ ABP$的面积是$△ ABM$的面积的2倍,且点P在y轴上,所以$\frac{1}{2}AB·|y_P|=2×6$,即2|n|=12,解得n=±6.所以点P的坐标为(0,6)或(0,-6).

4. 新定义 在平面直角坐标系中，对于点$A(x,y)$，若点$B$的坐标为$(x+ky,kx-y)$，则称点$B$为点$A$的“$k$系伴随点”.例如:点$A(2,3)$的“$1$系伴随点”为$B(2+1×3,1×2-3)$，即$(5,-1)$.
(1) 已知点$P(3,-2)$的“$2$系伴随点”为$P_1$，则点$P_1$的坐标为________，点$P_1$到$x$轴的距离为________；
(2) 已知点$Q$的“$-1$系伴随点”为$Q_1(-3,5)$，求点$Q$的坐标及点$Q$所在象限；
(3) 若点$M(m,2)$的“$k$系伴随点”$M_1$在坐标轴上，求$k$与$m$之间的数量关系.

(1) (-1,8) 8
(2) 设点Q的坐标为(x,y).因为点Q的“-1系伴随点”为$Q_1(-3,5)$,所以$\begin{cases}x-y=-3,\\-x-y=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-4,\\y=-1.\end{cases}$所以点Q的坐标为(-4,-1).所以点Q在第三象限.
(3) 由题意,得点$M_1$的坐标为$(m+2k,km-2)$.分类讨论如下:① 当点$M_1$在x轴上时,$km-2=0$,即$km=2$;② 当点$M_1$在y轴上时,$m+2k=0$,即$m=-2k$.综上,k与m之间的数量关系为$km=2$或$m=-2k$.