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1. 某中学举行“校园好声音”歌手大赛，根据初赛成绩，初二和初三各选出5名选手组成初二代表队和初三代表队参加学校决赛.两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示：
(1)根据图示补全表格；
(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
(3)计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.
(1)根据图示补全表格；
(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
(3)计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定.
答案
(1)初二的平均成绩是(75+80+85+85+100)÷5=85(分)；
85出现了2次，出现的次数最多，则众数是85分；把初三代表队的成绩从小到大排列为70,75,80,100,100,则中位数是80分.
填表如下：
| | 平均数 | 中位数 | 众数 |
|--------|--------|--------|------|
| 初二 | 85 | 85 | 85 |
| 初三 | 85 | 80 | 100 |
(2)初二代表队成绩好些.
∵两个队的平均数都相同，初二代表队中位数高，
∴初二代表队成绩好些.
(3)$s^2_{初二}=\frac{1}{5}×[(75-85)^2+(80-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2+(100-85)^2]=70$，$s^2_{初三}=\frac{1}{5}×[(70-85)^2+(100-85)^2+(100-85)^2+(75-85)^2+(80-85)^2]=160$.
∵$s^2_{初二}＜s^2_{初三}$，
∴初二代表队选手成绩较为稳定.
85出现了2次，出现的次数最多，则众数是85分；把初三代表队的成绩从小到大排列为70,75,80,100,100,则中位数是80分.
填表如下：
| | 平均数 | 中位数 | 众数 |
|--------|--------|--------|------|
| 初二 | 85 | 85 | 85 |
| 初三 | 85 | 80 | 100 |
(2)初二代表队成绩好些.
∵两个队的平均数都相同，初二代表队中位数高，
∴初二代表队成绩好些.
(3)$s^2_{初二}=\frac{1}{5}×[(75-85)^2+(80-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2+(100-85)^2]=70$，$s^2_{初三}=\frac{1}{5}×[(70-85)^2+(100-85)^2+(100-85)^2+(75-85)^2+(80-85)^2]=160$.
∵$s^2_{初二}＜s^2_{初三}$，
∴初二代表队选手成绩较为稳定.
解析
【分析】
解答本题可按以下思路逐步推导：
1. 第(1)问：首先提取两队所有参赛选手的成绩，再分别根据平均数（所有数据之和除以数据总个数）、中位数（数据从小到大排序后位于中间位置的数）、众数（出现次数最多的数）的定义计算对应数值，补全表格即可。
2. 第(2)问：当两组数据的平均数相同时，中位数越高说明该组数据的中等水平成绩更好，因此对比两队的中位数即可判断哪队成绩更优。
3. 第(3)问：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小数据越稳定。先根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$分别计算两队成绩的方差，再比较方差大小判断稳定性即可。
【解析】
(1) 提取两队5名选手的决赛成绩：
初二：75、80、85、85、100；初三：70、75、80、100、100
①初二平均成绩：$\overline{x}_{初二}=(75+80+85+85+100)÷5=85$（分）
初二成绩中85出现的次数最多，因此初二成绩的众数为85分。
②将初三成绩从小到大排序为：70、75、80、100、100，中间位置的数为80，因此初三成绩的中位数为80分。
补全表格如下：
| | 平均数 | 中位数 | 众数 |
|--------|--------|--------|------|
| 初二 | 85 | 85 | 85 |
| 初三 | 85 | 80 | 100 |
(2) 初二代表队成绩更好：
因为两队的平均成绩相同，初二代表队的中位数更高，说明初二代表队中等水平的成绩更优，因此初二整体决赛成绩更好。
(3) 计算两队成绩的方差：
初二成绩方差：
$\begin{aligned}s^2_{初二}&=\frac{1}{5}×[(75-85)^2+(80-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2+(100-85)^2]\\&=\frac{1}{5}×(100+25+0+0+225)\\&=70\end{aligned}$
初三成绩方差：
$\begin{aligned}s^2_{初三}&=\frac{1}{5}×[(70-85)^2+(100-85)^2+(100-85)^2+(75-85)^2+(80-85)^2]\\&=\frac{1}{5}×(225+225+225+100+25)\\&=160\end{aligned}$
因为$s^2_{初二}＜s^2_{初三}$，方差越小成绩波动越小，所以初二代表队选手成绩较为稳定。
【答案】
(1) 补全表格如上，初二对应数值：平均数85，众数85；初三对应数值：中位数80；
(2) 初二代表队决赛成绩较好；
(3) 初二成绩方差为70，初三成绩方差为160，初二代表队选手成绩较为稳定。
【知识点】
1. 平均数、中位数、众数
2. 方差的计算
3. 方差的意义
【点评】
本题结合实际竞赛场景考查统计知识的应用，要求熟练掌握各统计量的计算方法，理解不同统计量反映的数据特征，能够结合统计量对实际数据进行合理分析，是统计模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解答本题可按以下思路逐步推导：
1. 第(1)问：首先提取两队所有参赛选手的成绩，再分别根据平均数（所有数据之和除以数据总个数）、中位数（数据从小到大排序后位于中间位置的数）、众数（出现次数最多的数）的定义计算对应数值，补全表格即可。
2. 第(2)问：当两组数据的平均数相同时，中位数越高说明该组数据的中等水平成绩更好，因此对比两队的中位数即可判断哪队成绩更优。
3. 第(3)问：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小数据越稳定。先根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$分别计算两队成绩的方差，再比较方差大小判断稳定性即可。
【解析】
(1) 提取两队5名选手的决赛成绩：
初二：75、80、85、85、100；初三：70、75、80、100、100
①初二平均成绩：$\overline{x}_{初二}=(75+80+85+85+100)÷5=85$（分）
初二成绩中85出现的次数最多，因此初二成绩的众数为85分。
②将初三成绩从小到大排序为：70、75、80、100、100，中间位置的数为80，因此初三成绩的中位数为80分。
补全表格如下：
| | 平均数 | 中位数 | 众数 |
|--------|--------|--------|------|
| 初二 | 85 | 85 | 85 |
| 初三 | 85 | 80 | 100 |
(2) 初二代表队成绩更好：
因为两队的平均成绩相同，初二代表队的中位数更高，说明初二代表队中等水平的成绩更优，因此初二整体决赛成绩更好。
(3) 计算两队成绩的方差：
初二成绩方差：
$\begin{aligned}s^2_{初二}&=\frac{1}{5}×[(75-85)^2+(80-85)^2+(85-85)^2+(85-85)^2+(100-85)^2]\\&=\frac{1}{5}×(100+25+0+0+225)\\&=70\end{aligned}$
初三成绩方差：
$\begin{aligned}s^2_{初三}&=\frac{1}{5}×[(70-85)^2+(100-85)^2+(100-85)^2+(75-85)^2+(80-85)^2]\\&=\frac{1}{5}×(225+225+225+100+25)\\&=160\end{aligned}$
因为$s^2_{初二}＜s^2_{初三}$，方差越小成绩波动越小，所以初二代表队选手成绩较为稳定。
【答案】
(1) 补全表格如上，初二对应数值：平均数85，众数85；初三对应数值：中位数80；
(2) 初二代表队决赛成绩较好；
(3) 初二成绩方差为70，初三成绩方差为160，初二代表队选手成绩较为稳定。
【知识点】
1. 平均数、中位数、众数
2. 方差的计算
3. 方差的意义
【点评】
本题结合实际竞赛场景考查统计知识的应用，要求熟练掌握各统计量的计算方法，理解不同统计量反映的数据特征，能够结合统计量对实际数据进行合理分析，是统计模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7
2. 为了参加诗词大会，某校八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八(1)班86,85,77,92,85；八(2)班79,85,92,85,89.通过数据分析，列表如下：
| 班级 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
|--------|--------|--------|------|------|
| 八(1)班 | 85 |
| c | 22.8 |
| 八(2)班 | a | 85 | 85 | 19.2 |
(1)直接写出表中$a,b,c$的值.
(2)根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由.
| 班级 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
|--------|--------|--------|------|------|
| 八(1)班 | 85 |
| c | 22.8 || 八(2)班 | a | 85 | 85 | 19.2 |
(1)直接写出表中$a,b,c$的值.
(2)根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由.
答案
(1)85 85 86 解析:$a=\frac{79+85+92+85+89}{5}=86,b=85,c=85.$
(2)
∵86＞85,22.8＞19.2,
∴八(2)班前5名同学的成绩较好.
(2)
∵86＞85,22.8＞19.2,
∴八(2)班前5名同学的成绩较好.
解析
【分析】
(1) 求解a、b、c的值可分别对应三个统计量的定义计算：①a是八(2)班成绩的平均数，用5名学生的成绩总和除以数据个数5即可；②b是八(1)班成绩的中位数，先将八(1)班成绩从小到大排序，取中间位置的数即为中位数；③c是八(1)班成绩的众数，找出八(1)班成绩中出现次数最多的数即可。(2) 比较两个班成绩好坏，可结合平均数反映平均水平、方差反映成绩稳定性两个角度分析，平均数越高、方差越小，成绩越好。
【解析】
(1) 计算a：八(2)班5名学生成绩的平均数$a=\frac{79+85+92+85+89}{5}=\frac{430}{5}=86$；
计算b：将八(1)班成绩从小到大排序为：77，85，85，86，92，共5个数据，中间第3个数据为85，故$b=85$；
计算c：八(1)班的成绩中85出现的次数最多，共2次，故$c=85$。
(2) 八(2)班前5名同学的成绩较好，理由如下：
八(2)班平均数为86，大于八(1)班的85，平均成绩更高；八(2)班方差为19.2，小于八(1)班的22.8，成绩更稳定，因此八(2)班成绩更好。
【答案】
(1) $a=86$，$b=85$，$c=85$；
(2) 八(2)班前5名同学的成绩较好。
【知识点】
平均数的计算，中位数与众数，方差的意义
【点评】
本题考查了常用统计量的计算与实际应用，解题的关键是准确掌握各统计量的含义和计算方法，结合统计量的意义分析数据即可解决问题。
【难度系数】
0.8
(1) 求解a、b、c的值可分别对应三个统计量的定义计算：①a是八(2)班成绩的平均数，用5名学生的成绩总和除以数据个数5即可；②b是八(1)班成绩的中位数，先将八(1)班成绩从小到大排序，取中间位置的数即为中位数；③c是八(1)班成绩的众数，找出八(1)班成绩中出现次数最多的数即可。(2) 比较两个班成绩好坏，可结合平均数反映平均水平、方差反映成绩稳定性两个角度分析，平均数越高、方差越小，成绩越好。
【解析】
(1) 计算a：八(2)班5名学生成绩的平均数$a=\frac{79+85+92+85+89}{5}=\frac{430}{5}=86$；
计算b：将八(1)班成绩从小到大排序为：77，85，85，86，92，共5个数据，中间第3个数据为85，故$b=85$；
计算c：八(1)班的成绩中85出现的次数最多，共2次，故$c=85$。
(2) 八(2)班前5名同学的成绩较好，理由如下：
八(2)班平均数为86，大于八(1)班的85，平均成绩更高；八(2)班方差为19.2，小于八(1)班的22.8，成绩更稳定，因此八(2)班成绩更好。
【答案】
(1) $a=86$，$b=85$，$c=85$；
(2) 八(2)班前5名同学的成绩较好。
【知识点】
平均数的计算，中位数与众数，方差的意义
【点评】
本题考查了常用统计量的计算与实际应用，解题的关键是准确掌握各统计量的含义和计算方法，结合统计量的意义分析数据即可解决问题。
【难度系数】
0.8
