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10.暑假期间,班主任王老师要在最短的时间内打电话通知班上48名同学参加公益活动,每分钟通知一名同学,接到电话的同学也接着继续通知其他的同学,通知到所有的同学最短需要(
6
)分钟。答案
10. 通知到所有的同学最短需要6分钟。
解析
【分析】
这是一道最优通知策略类题目，解题核心是要让所有已经接到通知的人都参与到后续通知中，不浪费时间，此时每分钟能新通知到的人数等于前一分钟结束时总知情人数（含老师）的数量，累计通知的学生数会呈倍增规律增长。我们只需要逐分钟计算累计能通知到的学生总数，直到总数大于等于班级48名同学，对应的时间就是最短需要的时间。
【解析】
我们逐分钟计算累计通知的学生人数：
1. 第1分钟：老师通知1名学生，累计通知学生$1$名，$1＜48$，未通知完全部同学；
2. 第2分钟：老师和已接到通知的1名学生一起通知，新通知2名学生，累计通知学生$1+2=3$名，$3＜48$，未通知完全部同学；
3. 第3分钟：已有3名学生知情，加上老师共4人参与通知，新通知4名学生，累计通知学生$3+4=7$名，$7＜48$，未通知完全部同学；
4. 第4分钟：已有7名学生知情，加上老师共8人参与通知，新通知8名学生，累计通知学生$7+8=15$名，$15＜48$，未通知完全部同学；
5. 第5分钟：已有15名学生知情，加上老师共16人参与通知，新通知16名学生，累计通知学生$15+16=31$名，$31＜48$，未通知完全部同学；
6. 第6分钟：已有31名学生知情，加上老师共32人参与通知，新通知32名学生，累计通知学生$31+32=63$名，$63＞48$，已经可以通知完全部48名同学。
【答案】
6分钟
【知识点】
最优通知策略，倍增规律
【点评】
这道题结合生活实际考查优化思维，解题的关键是明确所有知情者都可参与通知，避免陷入“仅老师单独通知”的思维误区，理清人数增长的规律就能快速得出结果。
【难度系数】
0.6
这是一道最优通知策略类题目，解题核心是要让所有已经接到通知的人都参与到后续通知中，不浪费时间，此时每分钟能新通知到的人数等于前一分钟结束时总知情人数（含老师）的数量，累计通知的学生数会呈倍增规律增长。我们只需要逐分钟计算累计能通知到的学生总数，直到总数大于等于班级48名同学，对应的时间就是最短需要的时间。
【解析】
我们逐分钟计算累计通知的学生人数：
1. 第1分钟：老师通知1名学生，累计通知学生$1$名，$1＜48$，未通知完全部同学；
2. 第2分钟：老师和已接到通知的1名学生一起通知，新通知2名学生，累计通知学生$1+2=3$名，$3＜48$，未通知完全部同学；
3. 第3分钟：已有3名学生知情，加上老师共4人参与通知，新通知4名学生，累计通知学生$3+4=7$名，$7＜48$，未通知完全部同学；
4. 第4分钟：已有7名学生知情，加上老师共8人参与通知，新通知8名学生，累计通知学生$7+8=15$名，$15＜48$，未通知完全部同学；
5. 第5分钟：已有15名学生知情，加上老师共16人参与通知，新通知16名学生，累计通知学生$15+16=31$名，$31＜48$，未通知完全部同学；
6. 第6分钟：已有31名学生知情，加上老师共32人参与通知，新通知32名学生，累计通知学生$31+32=63$名，$63＞48$，已经可以通知完全部48名同学。
【答案】
6分钟
【知识点】
最优通知策略，倍增规律
【点评】
这道题结合生活实际考查优化思维，解题的关键是明确所有知情者都可参与通知，避免陷入“仅老师单独通知”的思维误区，理清人数增长的规律就能快速得出结果。
【难度系数】
0.6
1.从前面、上面、左面看到的图形都是三个正方形的几何体是(
A
)。答案
1.A
解析
【分析】
解题时我们需要依次对三个选项的几何体，分别从前面、上面、左面三个方向观察，统计每个方向能看到的正方形数量，筛选出三个方向看到的正方形数量都为3的选项。观察时注意：只有朝向观察方向、没有被遮挡的小正方形才需要计数。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：
从前面看：下层有2个正方形，上层左侧有1个正方形，共3个；
从上面看：前排有2个正方形，后排左侧有1个正方形，共3个；
从左面看：下层有2个正方形，上层左侧有1个正方形，共3个；符合要求。
2. 分析选项B：
从前面看：只有1层，共2个正方形，不符合要求，排除。
3. 分析选项C：
从前面看：下层有3个正方形，上层中间有1个正方形，共4个，不符合要求，排除。
所以正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
从不同方向观察物体、视图计数
【点评】
本题重点考查对立体图形不同方向视图的识别能力，解题时需要耐心逐方向计数，不要误算被遮挡的小正方形。
【难度系数】
0.7
解题时我们需要依次对三个选项的几何体，分别从前面、上面、左面三个方向观察，统计每个方向能看到的正方形数量，筛选出三个方向看到的正方形数量都为3的选项。观察时注意：只有朝向观察方向、没有被遮挡的小正方形才需要计数。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：
从前面看：下层有2个正方形，上层左侧有1个正方形，共3个；
从上面看：前排有2个正方形，后排左侧有1个正方形，共3个；
从左面看：下层有2个正方形，上层左侧有1个正方形，共3个；符合要求。
2. 分析选项B：
从前面看：只有1层，共2个正方形，不符合要求，排除。
3. 分析选项C：
从前面看：下层有3个正方形，上层中间有1个正方形，共4个，不符合要求，排除。
所以正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
从不同方向观察物体、视图计数
【点评】
本题重点考查对立体图形不同方向视图的识别能力，解题时需要耐心逐方向计数，不要误算被遮挡的小正方形。
【难度系数】
0.7
2.6的因数有1,2,3,6,这几个因数的关系是1+2+3=6。像6这样,等于除了它自身以外的全部因数之和的数,叫作完全数。下面的数中,(
A.9
B.15
C.28
C
)是完全数。A.9
B.15
C.28
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确题目给出的完全数的定义：等于除了自身以外的全部因数之和的数就是完全数。解题思路分为三步：第一步分别找出三个选项中每个数的所有因数；第二步去掉每个数本身，将剩余的因数相加求和；第三步把求和结果和原数对比，相等的就是完全数。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：9的因数有1、3、9，除自身外的因数和为$1+3=4$，$4≠9$，因此9不是完全数。
2. 选项B：15的因数有1、3、5、15，除自身外的因数和为$1+3+5=9$，$9≠15$，因此15不是完全数。
3. 选项C：28的因数有1、2、4、7、14、28，除自身外的因数和为$1+2+4+7+14=28$，和原数相等，因此28是完全数。
【答案】
C
【知识点】
找一个数的因数；完全数的认识
【点评】
本题属于新概念应用类题目，解题核心是先读懂题目给出的完全数定义，再准确找出每个数的所有因数，计算非自身因数的和对比即可，解题时注意不要遗漏因数。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确题目给出的完全数的定义：等于除了自身以外的全部因数之和的数就是完全数。解题思路分为三步：第一步分别找出三个选项中每个数的所有因数；第二步去掉每个数本身，将剩余的因数相加求和；第三步把求和结果和原数对比，相等的就是完全数。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：9的因数有1、3、9，除自身外的因数和为$1+3=4$，$4≠9$，因此9不是完全数。
2. 选项B：15的因数有1、3、5、15，除自身外的因数和为$1+3+5=9$，$9≠15$，因此15不是完全数。
3. 选项C：28的因数有1、2、4、7、14、28，除自身外的因数和为$1+2+4+7+14=28$，和原数相等，因此28是完全数。
【答案】
C
【知识点】
找一个数的因数；完全数的认识
【点评】
本题属于新概念应用类题目，解题核心是先读懂题目给出的完全数定义，再准确找出每个数的所有因数，计算非自身因数的和对比即可，解题时注意不要遗漏因数。
【难度系数】
0.8
3.如图,在长方体的展开图中,相对的面上的汉字是(
A.“年”和“志”
B.“少”和“在”
C.“年”和“在”
C
)。A.“年”和“志”
B.“少”和“在”
C.“年”和“在”
答案
3.C
解析
【分析】
要判断长方体展开图中相对的面，首先记住规律：长方体展开图里，相对的面不会相邻，同一行（或同一列）中相隔1个面的两个面就是相对面。我们先观察这个展开图的结构：横向有4个连续的面，分别是“年”“志”“在”“凌”，上下各有1个面“少”和“云”。先判断横向的相对面：同一行中，“年”和“在”中间隔了“志”，符合“隔一个面”的特征，所以二者是相对面；“志”和“凌”中间隔了“在”，二者是相对面；剩下的上下两个面“少”和“云”是相对面。再对照选项就能选出正确答案。
【解析】
解：根据长方体展开图相对面的判断规则：相对的面不相邻，同一行相隔1个面的两个面为相对面。
观察展开图可得：
1. 横向排列的“年”“志”“在”“凌”四个面中，“年”和“在”之间相隔“志”，是相对面；“志”和“凌”之间相隔“在”，是相对面。
2. 剩余的“少”和“云”两个面是相对面。
对比选项：
A.“年”和“志”相邻，不是相对面，错误；
B.“少”的相对面是“云”，不是“在”，错误；
C.“年”和“在”是相对面，正确。
【答案】
C
【知识点】
长方体展开图、相对面判断
【点评】
本题考查长方体展开图的特征，核心是掌握相对面的判断规律，解题时只要找准相隔的面就能快速得出答案，是空间几何类的基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断长方体展开图中相对的面，首先记住规律：长方体展开图里，相对的面不会相邻，同一行（或同一列）中相隔1个面的两个面就是相对面。我们先观察这个展开图的结构：横向有4个连续的面，分别是“年”“志”“在”“凌”，上下各有1个面“少”和“云”。先判断横向的相对面：同一行中，“年”和“在”中间隔了“志”，符合“隔一个面”的特征，所以二者是相对面；“志”和“凌”中间隔了“在”，二者是相对面；剩下的上下两个面“少”和“云”是相对面。再对照选项就能选出正确答案。
【解析】
解：根据长方体展开图相对面的判断规则：相对的面不相邻，同一行相隔1个面的两个面为相对面。
观察展开图可得：
1. 横向排列的“年”“志”“在”“凌”四个面中，“年”和“在”之间相隔“志”，是相对面；“志”和“凌”之间相隔“在”，是相对面。
2. 剩余的“少”和“云”两个面是相对面。
对比选项：
A.“年”和“志”相邻，不是相对面，错误；
B.“少”的相对面是“云”，不是“在”，错误；
C.“年”和“在”是相对面，正确。
【答案】
C
【知识点】
长方体展开图、相对面判断
【点评】
本题考查长方体展开图的特征，核心是掌握相对面的判断规律，解题时只要找准相隔的面就能快速得出答案，是空间几何类的基础题型。
【难度系数】
0.8
4.一个长方体玻璃鱼缸,从里面量长5 dm、宽4 dm、高3 dm。鱼缸内的水面离缸口还有1.5 dm。下列说法错误的是(
A.鱼缸内水的体积是30 L
B.水与鱼缸的接触面积是70 dm²
C.放入一个棱长为2 dm的正方体铁块,水不会溢出
B
)。A.鱼缸内水的体积是30 L
B.水与鱼缸的接触面积是70 dm²
C.放入一个棱长为2 dm的正方体铁块,水不会溢出
答案
4.B
解析
【分析】
这道题是长方体相关知识的实际应用类选择题，需选出错误选项。解题时首先先求出水面的实际高度：水面高度=鱼缸总高度-水面离缸口的距离=3-1.5=1.5dm，再逐一验证三个选项的计算结果是否正确即可。
【解析】
第一步：计算水面高度：$ h_{\mathrm{水}}=3 - 1.5 = 1.5\ \mathrm{dm} $
1. 验证选项A：
水的体积=长×宽×水面高度，代入数据得$ 5×4×1.5 = 30\ \mathrm{dm}^3 $，又因为$ 1\ \mathrm{dm}^3=1\ \mathrm{L} $，所以水的体积是30L，A说法正确，不符合题意。
2. 验证选项B：
水与鱼缸的接触面积=鱼缸底面积+四周被水浸湿的面积：
底面积：$ 5×4=20\ \mathrm{dm}^2 $
前后两个浸湿面面积：$ 2×(5×1.5)=15\ \mathrm{dm}^2 $
左右两个浸湿面面积：$ 2×(4×1.5)=12\ \mathrm{dm}^2 $
总接触面积：$ 20+15+12=47\ \mathrm{dm}^2≠70\ \mathrm{dm}^2 $，B说法错误，符合题意。
3. 验证选项C：
判断水是否溢出，只需比较正方体铁块体积和鱼缸空余部分的容积：
铁块体积：$ 2×2×2=8\ \mathrm{dm}^3 $
鱼缸空余容积：$ 5×4×1.5=30\ \mathrm{dm}^3 $
因为$ 8＜30 $，所以放入铁块水不会溢出，C说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
长方体体积计算，长方体表面积应用，容积单位换算
【点评】
本题结合生活场景考查长方体公式的灵活运用，解题时要注意区分“水的接触面积”和“鱼缸表面积”的差异，判断溢水问题只需比较放入物体体积和容器空余容积的大小即可，避免公式混淆。
【难度系数】
0.7
这道题是长方体相关知识的实际应用类选择题，需选出错误选项。解题时首先先求出水面的实际高度：水面高度=鱼缸总高度-水面离缸口的距离=3-1.5=1.5dm，再逐一验证三个选项的计算结果是否正确即可。
【解析】
第一步：计算水面高度：$ h_{\mathrm{水}}=3 - 1.5 = 1.5\ \mathrm{dm} $
1. 验证选项A：
水的体积=长×宽×水面高度，代入数据得$ 5×4×1.5 = 30\ \mathrm{dm}^3 $，又因为$ 1\ \mathrm{dm}^3=1\ \mathrm{L} $，所以水的体积是30L，A说法正确，不符合题意。
2. 验证选项B：
水与鱼缸的接触面积=鱼缸底面积+四周被水浸湿的面积：
底面积：$ 5×4=20\ \mathrm{dm}^2 $
前后两个浸湿面面积：$ 2×(5×1.5)=15\ \mathrm{dm}^2 $
左右两个浸湿面面积：$ 2×(4×1.5)=12\ \mathrm{dm}^2 $
总接触面积：$ 20+15+12=47\ \mathrm{dm}^2≠70\ \mathrm{dm}^2 $，B说法错误，符合题意。
3. 验证选项C：
判断水是否溢出，只需比较正方体铁块体积和鱼缸空余部分的容积：
铁块体积：$ 2×2×2=8\ \mathrm{dm}^3 $
鱼缸空余容积：$ 5×4×1.5=30\ \mathrm{dm}^3 $
因为$ 8＜30 $，所以放入铁块水不会溢出，C说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
长方体体积计算，长方体表面积应用，容积单位换算
【点评】
本题结合生活场景考查长方体公式的灵活运用，解题时要注意区分“水的接触面积”和“鱼缸表面积”的差异，判断溢水问题只需比较放入物体体积和容器空余容积的大小即可，避免公式混淆。
【难度系数】
0.7
5. 纸条的长度是多少？下面结果错误的是(
A.3 dm
B.$\frac{1}{3}$ m
C.0.3 m
B
)。A.3 dm
B.$\frac{1}{3}$ m
C.0.3 m
答案
5.B
解析
【分析】解题时首先要明确刻度尺的分度值：观察到0~1m之间被平均分成10等份，因此每一份代表的长度是0.1m（即1dm）。接下来找到纸条左右两端对应的刻度，用末端刻度减去起始刻度得到纸条的实际长度，再将长度换算为不同单位，和各选项对比即可选出错误的结果。
【解析】
1. 计算刻度尺每小格代表的长度：1m被平均分成10份，每份长度为 $1÷10=0.1\mathrm{m}=1\mathrm{dm}$。
2. 读取纸条两端刻度：纸条左端对齐第5个小格，对应长度为 $5×0.1=0.5\mathrm{m}$；右端对齐第8个小格，对应长度为 $8×0.1=0.8\mathrm{m}$。
3. 计算纸条长度：$0.8\mathrm{m}-0.5\mathrm{m}=0.3\mathrm{m}$。
4. 单位换算：$0.3\mathrm{m}=3\mathrm{dm}=\frac{3}{10}\mathrm{m}$。
对比选项可知，A、C均正确，B选项$\frac{1}{3}\mathrm{m}\approx0.33\mathrm{m}$，和实际长度不符，是错误选项。
【答案】B
【知识点】长度的测量；长度单位换算；分数与小数互化
【点评】这道题将刻度尺读数和长度计算、单位换算结合起来，解题的关键是准确读取纸条两端的刻度，同时要熟练掌握小数和分数的转换，避免混淆$\frac{3}{10}$和$\frac{1}{3}$的大小。
【难度系数】0.8
【解析】
1. 计算刻度尺每小格代表的长度：1m被平均分成10份，每份长度为 $1÷10=0.1\mathrm{m}=1\mathrm{dm}$。
2. 读取纸条两端刻度：纸条左端对齐第5个小格，对应长度为 $5×0.1=0.5\mathrm{m}$；右端对齐第8个小格，对应长度为 $8×0.1=0.8\mathrm{m}$。
3. 计算纸条长度：$0.8\mathrm{m}-0.5\mathrm{m}=0.3\mathrm{m}$。
4. 单位换算：$0.3\mathrm{m}=3\mathrm{dm}=\frac{3}{10}\mathrm{m}$。
对比选项可知，A、C均正确，B选项$\frac{1}{3}\mathrm{m}\approx0.33\mathrm{m}$，和实际长度不符，是错误选项。
【答案】B
【知识点】长度的测量；长度单位换算；分数与小数互化
【点评】这道题将刻度尺读数和长度计算、单位换算结合起来，解题的关键是准确读取纸条两端的刻度，同时要熟练掌握小数和分数的转换，避免混淆$\frac{3}{10}$和$\frac{1}{3}$的大小。
【难度系数】0.8
6. 如图,表示的算式是(
A.$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
C.$\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$
C
)。A.$\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
C.$\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$
答案
6.C
解析
【分析】
首先观察图形的变化，阴影部分的面积逐渐减少，说明对应的是减法运算，可先排除A、B两个加法选项。接下来验证剩余选项：第一步先确定初始图形的分数：将整个长方形看作单位“1”，平均分成3份，阴影占1份，代表$\frac{1}{3}$；第二步看变化过程：将整体重新平均分成6份，从阴影部分去掉1份，也就是减去$\frac{1}{6}$；最后剩余的阴影占整体的$\frac{1}{6}$，符合减法的运算结果。
【解析】
1. 观察图形变化趋势：阴影面积逐渐变小，属于减法运算，直接排除A、B选项。
2. 分析各部分对应的分数：
第一个图：把整个长方形看作单位“1”，平均分成3份，阴影部分占1份，对应分数$\frac{1}{3}$；
变化过程：将单位“1”重新平均分成6份，从阴影部分中去掉的部分占整体的1份，对应分数$\frac{1}{6}$；
最终图形：剩余阴影部分占整体的1份，对应分数$\frac{1}{6}$。
3. 列出对应算式：$\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分数的意义
2. 异分母分数减法
【点评】
本题结合直观图形考查分数减法的含义，需要先读懂图形变化对应的运算关系，再结合分数的意义判断对应的算式，能帮助加深对分数减法实际意义的理解。
【难度系数】
0.7
首先观察图形的变化，阴影部分的面积逐渐减少，说明对应的是减法运算，可先排除A、B两个加法选项。接下来验证剩余选项：第一步先确定初始图形的分数：将整个长方形看作单位“1”，平均分成3份，阴影占1份，代表$\frac{1}{3}$；第二步看变化过程：将整体重新平均分成6份，从阴影部分去掉1份，也就是减去$\frac{1}{6}$；最后剩余的阴影占整体的$\frac{1}{6}$，符合减法的运算结果。
【解析】
1. 观察图形变化趋势：阴影面积逐渐变小，属于减法运算，直接排除A、B选项。
2. 分析各部分对应的分数：
第一个图：把整个长方形看作单位“1”，平均分成3份，阴影部分占1份，对应分数$\frac{1}{3}$；
变化过程：将单位“1”重新平均分成6份，从阴影部分中去掉的部分占整体的1份，对应分数$\frac{1}{6}$；
最终图形：剩余阴影部分占整体的1份，对应分数$\frac{1}{6}$。
3. 列出对应算式：$\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分数的意义
2. 异分母分数减法
【点评】
本题结合直观图形考查分数减法的含义，需要先读懂图形变化对应的运算关系，再结合分数的意义判断对应的算式，能帮助加深对分数减法实际意义的理解。
【难度系数】
0.7
7. $\frac{1}{5}+\frac{3}{5}$的计算结果最接近(
A.④
B.③
C.②
B
)。A.④
B.③
C.②
答案
7.B
解析
【分析】
解题时分两步思考：第一步先运用同分母分数加法的计算规则算出算式的结果，第二步将结果转化为小数，再结合数轴上各点对应的数值，对比结果和各点的差值，差值最小的就是最接近的点。
【解析】
1. 计算算式结果：同分母分数相加，分母不变，分子相加，可得$\frac{1}{5}+\frac{3}{5}=\frac{1+3}{5}=\frac{4}{5}=0.8$。
2. 分析数轴各点数值：观察数轴，0到1之间被3个点平均分成4等份，每份长度为$1÷4=0.25$，因此①对应数值为0.25，②对应0.5，③对应0.75，④在1的右侧，数值大于1。
3. 对比差值：0.8和0.75的差值为$0.8-0.75=0.05$，和1的差值为$1-0.8=0.2$，和②的差值为$0.8-0.5=0.3$，可知0.8最接近0.75，也就是最接近点③。
【答案】
B
【知识点】
同分母分数加法，数轴的认识，分数与小数互化
【点评】
本题将分数计算和数轴结合考查，既要求学生掌握基础的分数加法计算，又需要学生能结合数轴判断数值的相对位置，是对基础运算能力和数形结合思维的综合考查。
【难度系数】
0.7
解题时分两步思考：第一步先运用同分母分数加法的计算规则算出算式的结果，第二步将结果转化为小数，再结合数轴上各点对应的数值，对比结果和各点的差值，差值最小的就是最接近的点。
【解析】
1. 计算算式结果：同分母分数相加，分母不变，分子相加，可得$\frac{1}{5}+\frac{3}{5}=\frac{1+3}{5}=\frac{4}{5}=0.8$。
2. 分析数轴各点数值：观察数轴，0到1之间被3个点平均分成4等份，每份长度为$1÷4=0.25$，因此①对应数值为0.25，②对应0.5，③对应0.75，④在1的右侧，数值大于1。
3. 对比差值：0.8和0.75的差值为$0.8-0.75=0.05$，和1的差值为$1-0.8=0.2$，和②的差值为$0.8-0.5=0.3$，可知0.8最接近0.75，也就是最接近点③。
【答案】
B
【知识点】
同分母分数加法，数轴的认识，分数与小数互化
【点评】
本题将分数计算和数轴结合考查，既要求学生掌握基础的分数加法计算，又需要学生能结合数轴判断数值的相对位置，是对基础运算能力和数形结合思维的综合考查。
【难度系数】
0.7
