例 画出如图摆放的正方体在投影面P上的正投影.
(1) 如图(1),正方体的一个面ABCD平行于投影面P;
(2) 如图(2),正方体的一个面ABCD倾斜于投影面F,上底面ADEF垂直于投影面P,并且其对角线AE垂直于投影面P.

拓展

解：
(1) 正方体的面ABCD平行于投影面P时，该面的正投影与自身全等，正方体其余4个面均垂直于投影面P，它们的正投影都落在上述正方形的边界上，因此正方体在投影面P上的正投影是一个正方形，其边长等于正方体的棱长，与正方体的面ABCD完全全等。
(2) 正方体的上底面ADEF垂直于投影面P，且对角线AE垂直于投影面P时，点A与点E的正投影重合，正方体的上、下底面的正投影为两条平行线段，其余各面的正投影组合后，正方体在投影面P上的正投影是一个矩形：该矩形的一组对边长度等于正方体的棱长，另一组对边长度等于正方体的面对角线长度，矩形内部有一条竖直的实线，为正方体对应棱的正投影。

【分析】
解决本题需围绕正投影的核心性质，按“判断面与投影面的位置关系→推导各面的正投影→整合得到几何体整体投影”的思路分析：
1. 首先明确正投影的基本规律：平面图形平行于投影面时，正投影与原图形全等；平面图形垂直于投影面时，正投影为线段。
2. 针对第(1)问，先确定面ABCD平行于投影面P，其余侧面均垂直于投影面P，分别推导各面投影后组合即可得到整体投影。
3. 针对第(2)问，先找到垂直于投影面的面和线段，判断投影重合的顶点，再逐一分析各面投影后组合，即可得到最终投影形状。
【解析】
(1) 当正方体的面ABCD平行于投影面P时：
根据正投影性质，平行于投影面的平面的正投影与原图形全等，因此面ABCD的正投影是和它全等的正方形；正方体其余4个侧面均垂直于投影面P，它们的正投影均为线段，恰好落在上述正方形的边界上，因此正方体的整体正投影为与面ABCD全等的正方形。
(2) 当正方体的面ADEF垂直于投影面P，且对角线AE垂直于投影面P时：
因为AE垂直于投影面P，所以点A和点E的正投影重合；上底面ADEF和下底面BCHG都垂直于投影面P，二者的正投影为两条平行且等长的线段；其余各面的正投影组合后，可得正方体整体正投影为矩形，矩形内部的竖直实线为正方体对应棱的正投影。
【答案】
(1) 正方体在投影面P上的正投影是一个正方形，其边长等于正方体的棱长，与正方体的面ABCD完全全等。
(2) 正方体在投影面P上的正投影是一个矩形：该矩形的一组对边长度等于正方体的棱长，另一组对边长度等于正方体的面对角线长度，矩形内部有一条竖直的实线，为正方体对应棱的正投影。
【知识点】
正投影的性质，几何体的正投影
【点评】
本题是投影章节的基础典型题，核心考查正投影性质的应用，解题时需要结合几何体与投影面的位置关系逐一分析各部分的投影特征，能有效锻炼空间想象能力。
【难度系数】
0.7

如图，光线由上而下分别照射一个三棱锥和四棱锥（其底面分别为正三角形和正方形），分别画出它们的正投影。

解：
根据正投影的定义，光线竖直向下垂直照射时：
1. 三棱锥的正投影：
底面正三角形的正投影是与自身全等的正三角形，三棱锥的顶点的正投影落在该正三角形内部，三条侧棱的正投影为从该投影点分别连接正三角形的三个顶点，最终三棱锥的正投影为：一个正三角形，其内部有一个点与正三角形的三个顶点分别相连，将大正三角形分割为三个小三角形。
2. 四棱锥的正投影：
底面正方形的正投影是与自身全等的正方形，四棱锥的顶点的正投影落在该正方形内部，四条侧棱的正投影为从该投影点分别连接正方形的四个顶点，最终四棱锥的正投影为：一个正方形，其内部有一个点与正方形的四个顶点分别相连，将大正方形分割为四个小三角形。
（注：实际作图时，上述投影图形的轮廓和内部连线均为实线，对应投影的可见部分。）

【分析】
解题需围绕正投影的规律展开思考：首先明确本题中光线为竖直向下的平行光线，投影面为水平面，两个棱锥的底面均与投影面平行。第一步先推导底面的投影：平行于投影面的平面图形，正投影与原图形全等，因此可先确定底面投影的形状。第二步推导顶点的投影：棱锥顶点的正投影落在底面投影的中心位置。第三步推导侧棱的投影：侧棱的投影为顶点投影与底面投影各顶点的连线，且所有可见轮廓均用实线绘制，即可得到最终的正投影。
【解析】
根据正投影的定义，光线竖直向下垂直照射时：
1. 三棱锥的正投影：
底面正三角形平行于水平面，其正投影是与自身全等的正三角形，三棱锥的顶点的正投影落在该正三角形内部，三条侧棱的正投影为从该投影点分别连接正三角形的三个顶点，所有可见部分的线条均为实线。
2. 四棱锥的正投影：
底面正方形平行于水平面，其正投影是与自身全等的正方形，四棱锥的顶点的正投影落在该正方形内部，四条侧棱的正投影为从该投影点分别连接正方形的四个顶点，所有可见部分的线条均为实线。
【答案】
1. 三棱锥的正投影：一个正三角形，其内部有一个点与正三角形的三个顶点分别相连，将大正三角形分割为三个小三角形，轮廓和内部连线均为实线。
2. 四棱锥的正投影：一个正方形，其内部有一个点与正方形的四个顶点分别相连，将大正方形分割为四个小三角形，轮廓和内部连线均为实线。
【知识点】
正投影概念；立体投影画法；棱锥结构特征
【点评】
本题考查正投影规律的实际应用，需要结合立体图形的结构特征分析各部分的投影形态，解题时要注意可见的轮廓线用实线表示，牢记平行于投影面的平面图形其正投影与原图形全等的规律即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

1. 在平行投影中，，那么这种投影就称为正投影。

1. 投射线垂直于投影面

【分析】
解题时首先回忆平行投影的相关分类知识：平行投影根据投射线与投影面的位置关系分为正投影和斜投影两类，二者的核心区别就是投射线是否垂直于投影面。题目考查正投影的定义，只需要抓住正投影的核心判定特征即可得出答案。
【解析】
首先明确平行投影的定义：投射线互相平行的投影叫做平行投影。在平行投影的分类中，若投射线倾斜于投影面，称为斜投影；若投射线垂直于投影面，这种投影就称为正投影。因此横线处需填写正投影的核心判定条件。
【答案】
投射线垂直于投影面
【知识点】
正投影的定义；平行投影的分类
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查教材中基础定义的掌握情况，是投影章节的入门考点，难度较低。
【难度系数】
0.9

2. 当物体的某个面平行于投影面时，这个面的 完全相同.

2. 正投影与这个面的形状、大小

【分析】
解题时先回忆正投影的相关性质：平面相对投影面存在平行、倾斜、垂直三种位置关系，不同位置对应的正投影特征不同。本题给出物体的面平行于投影面的前提，此时正投影不会发生形变和缩放，投影为原面的全等图形，据此可推出对应结论。
【解析】
根据正投影的性质可知，当物体的某个面平行于投影面时，该面的正投影既不会发生形变，也不会出现大小缩放，其正投影的形状、大小与这个面本身的形状、大小完全相同，因此横线处对应填写相关内容即可。
【答案】
正投影与这个面的形状、大小
【知识点】
正投影的性质
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心考查对正投影特征的识记，熟练掌握平面在不同摆放位置下的正投影规律即可快速作答。
【难度系数】
0.9

3. 小华拿着一块正方形木板在阳光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影不可能是()

3. A

【分析】
本题考查平行投影性质的应用，解题思路如下：1.首先明确太阳光属于平行光源，平行投影的核心特征是：原本互相平行的线段，投影后仍然互相平行（或共线）；2.正方形的两组对边分别平行，因此它的投影的两组对边也一定互相平行，投影只能是平行四边形（包含正方形、矩形、菱形等特殊平行四边形）或线段，不可能出现只有一组对边平行的图形；3.逐一对比选项，找到不符合上述特征的图形即可。
【解析】
解：太阳光为平行光线，根据平行投影的性质：同一平面内互相平行的线段，在平行投影下的投影仍互相平行（或重合）。
正方形两组对边分别平行，因此它的投影的两组对边也应互相平行，即投影应为平行四边形（含正方形、矩形、普通平行四边形），特殊情况为线段：
选项B是矩形，属于平行四边形，符合投影特征；
选项C是正方形，属于平行四边形，符合投影特征；
选项D是普通平行四边形，符合投影特征；
选项A是梯形，仅存在一组对边平行，不符合投影特征，不可能是正方形木板的投影。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平行投影特征；正方形的性质
【点评】
本题结合生活实验场景考查平行投影的相关知识，解题关键是抓住平行投影下“平行边的投影仍平行”的规律，结合正方形的边的特征即可快速判断，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

1. 图中投影线的方向如箭头所示,则圆锥的正投影是()
A

C
D

1. C

【分析】
解题首先要明确两个核心要点：一是正投影的定义，二是本题的投影方向。首先观察题中投影线箭头是竖直向下，沿圆锥的高的方向从顶部向底部投射，注意不要和正面投射的情况混淆（若从正面投射得到的是等腰三角形，即选项D，是本题易错点）。接下来分析圆锥各部分的投影：圆锥底面平行于投影面，正投影是和底面全等的圆；圆锥顶点的投影落在圆的圆心，侧面所有点的投影都在这个圆范围内，因此最终的正投影是圆，对应选项C。
【解析】
解：根据正投影的定义，投影线垂直于投影面时得到的投影为正投影。
本题中投影线竖直向下，沿圆锥的轴向投射：
1. 圆锥的底面与投影面平行，其正投影为与底面大小一致的圆；
2. 圆锥顶点的正投影落在该圆的圆心处，圆锥侧面所有点的正投影均在这个圆的内部或圆周上。
因此圆锥的正投影是圆，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正投影的概念，几何体的投影
【点评】
本题属于基础题型，易错点是容易误将投影方向当成正面投射从而错选D，解题时需先明确投影方向，再结合几何体的结构特征判断投影形状即可。
【难度系数】
0.8

2. 由四个相同的小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是()

2. A

【分析】
要解决这道题，首先明确题意：光线由上向下垂直照射得到的水平投影，本质就是该几何体的俯视图（从上往下观察几何体得到的平面图形）。接下来我们只需梳理几何体的小立方体排布：后排有3个小立方体横向并排，前排额外有1个小立方体，位于后排最右侧小立方体的正前方，对应俯视图的形状，逐行逐列确认小正方形的位置即可匹配选项。
【解析】
光线从上向下垂直照射时，水平投影面得到的投影为几何体的俯视图：
1. 观察几何体结构：后排横向排列3个小立方体，因此俯视图的上半行有3个连续的小正方形；
2. 前排仅在最右侧位置有1个小立方体，位于后排最右侧小立方体的正前方，因此俯视图的下半行仅最右侧有1个小正方形，与上半行最右侧的正方形对齐；
综上，符合该特征的投影为选项A。
【答案】
A
【知识点】
正投影的概念；几何体的三视图
【点评】
本题考查正投影与三视图的对应关系，解题核心是将垂直照射的正投影转化为熟悉的俯视图判断，只需准确观察几何体的小方块排布即可解题，不易出错。
【难度系数】
0.85

3. 一根笔直的小木棒(记为线段AB),它的正投影为线段CD,则下列各式中一定成立的是()

A.$AB=CD$
B.$AB ≤ CD$
C.$AB ＞ CD$
D.$AB ≥ CD$

3. D

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆线段正投影的相关规律，我们可以通过分情况讨论线段AB与投影面的位置关系，分别比较原线段AB和它的正投影CD的长度大小，再归纳总结出通用的结论即可。
【解析】
根据线段正投影的规律，分三种情况讨论：
1. 当线段AB平行于投影面时，它的正投影CD与AB长度相等，即$AB=CD$；
2. 当线段AB倾斜于投影面时，它的正投影CD的长度小于AB的长度，即$AB＞CD$；
3. 当线段AB垂直于投影面时，它的正投影CD是一个点，长度为0，显然$AB＞CD$。
综合以上三种情况可得：$AB≥ CD$，因此选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
正投影的性质，线段投影规律
【点评】
本题考查正投影相关规律的应用，解题时要注意全面考虑线段与投影面的不同位置关系，避免只考虑平行的特殊情况而错选。
【难度系数】
0.8

4.画出图中物体(正三棱柱)的正投影：
(1)投影线由物体前方射到后方；
(2)投影线由物体左方射到右方；
(3)投影线由物体上方射到下方.

解：
(1) 投影线由物体前方射到后方时，正投影为矩形，该矩形的一组对边长度等于正三棱柱的侧棱长，另一组对边长度等于正三棱柱底面正三角形的高。
(2) 投影线由物体左方射到右方时，正投影为矩形，该矩形的一组对边长度等于正三棱柱的侧棱长，另一组对边长度等于正三棱柱底面正三角形的边长，正三棱柱中间的侧棱的投影为该矩形内部的可见实线。
(3) 投影线由物体上方射到下方时，正投影为与正三棱柱底面全等的正三角形。

【分析】
解题时要结合正投影的核心性质：投影线垂直于投影面，若几何体的某个面和投影面平行，那么这个面的正投影和该面本身形状、大小完全相同。再结合正三棱柱的结构特征，分三个方向分析投影：首先判断每个投影方向下和投影面平行的面的形状，确定投影的整体轮廓；再判断棱的可见性，确定投影内部的线条即可。
【解析】
依据正投影的性质逐一分析三种投影情况：
(1) 投影线由前方射到后方时，正三棱柱的侧棱和投影面平行，投影长度等于侧棱长，底面正三角形在该方向的投影长度等于自身的高，因此投影为对应尺寸的矩形。
(2) 投影线由左方射到右方时，侧棱投影长度等于侧棱长，底面正三角形在该方向的投影长度等于自身边长，且从左向右观察时正三棱柱中间的侧棱可见，因此投影为带内部实线的对应尺寸矩形。
(3) 投影线由上方射到下方时，正三棱柱的底面和投影面平行，因此正投影和底面正三角形完全相同。
【答案】
(1) 投影线由物体前方射到后方时，正投影为矩形，该矩形的一组对边长度等于正三棱柱的侧棱长，另一组对边长度等于正三棱柱底面正三角形的高。
(2) 投影线由物体左方射到右方时，正投影为矩形，该矩形的一组对边长度等于正三棱柱的侧棱长，另一组对边长度等于正三棱柱底面正三角形的边长，正三棱柱中间的侧棱的投影为该矩形内部的可见实线。
(3) 投影线由物体上方射到下方时，正投影为与正三棱柱底面全等的正三角形。
【知识点】
正投影性质、正三棱柱特征、投影绘图规则
【点评】
本题重点考查空间想象能力和正投影规律的应用，需要结合几何体结构特点判断不同方向的投影轮廓及可见棱的表示，是投影类的基础典型题，能有效巩固投影相关的基础知识。
【难度系数】
0.7