8 [2026 自贡]如图,在$□ ABCD$中,$AB=8$,$AD=6$,$∠ D=60°$,$∠ DAB$与$∠ ABC$的平分线分别交$CD$于点$E$,$F$,$AE$与$BF$相交于点$P$,连接$CP$,则$\sin ∠ PCF$的值为 （）

A.$2-\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

8. D 【解析】$∵$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$AB=8,AD=6,∠D=60°,∴ DC=AB=8,DC// AB,∠ABC=∠D=60°$.$∴ ∠DAB=180°-∠D=120°.∵ ∠DAB$与$∠ABC$的平分线分别交$CD$于点$E,F$,$AE$与$BF$相交于点$P,∴ ∠BAE=∠DAE=\dfrac{1}{2}∠DAB=60°,∠ABF=∠CBF=\dfrac{1}{2}∠ABC=30°$.$∴ ∠APB=180°-∠BAE-∠ABF=90°,∠AED=∠BAE=60°.∴ AP=AB·\cos 60°=4.∵ ∠D=∠DAE=∠AED=60°,∴ △ADE$是等边三角形.$∴ AE=DE=AD=6.∴ PE=AE-AP=6-4=2,CE=DC-DE=8-6=2.∴ PE=CE$.$∴ ∠EPC=∠PCF.∵ ∠AED=∠EPC+∠PCF=2∠PCF=60°,∴ ∠PCF=30°.∴ ∠PCF=∠ABP$.$∴ \sin ∠PCF=\sin ∠ABP=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{1}{2}$.

9 教材变式题 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，垂足为$D$。若$CD=12$，$BD=5$，则$\tan A$的值为，$\cos∠ ACD$的值为。

9. $\dfrac{5}{12}$ $\dfrac{5}{13}$

10 如图,在$6×6$的正方形网格中,$△ ABC$的顶点$A$,$B$,$C$都在网格线上,且都是小正方形边的中点,则$\sin A$的值为.

10. $\dfrac{4}{5}$

11 分类讨论思想 教材变式题 已知等腰三角形的周长为16，一边长为6，求底角的余弦值.

11. 设这个等腰三角形为$△ABC$,且$AB=AC$.分两种情况讨论.① 当$AB=AC=6$时,$BC=16-6×2=4$.过点$A$作$AD⊥BC$于点$D.∴ BD=\dfrac{1}{2}BC=2,∠ADB=90°.∴$ 在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$\cos B=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.② 当$BC=6$时,$AB=AC=\dfrac{1}{2}×(16-6)=5$.过点$A$作$AD⊥BC$于点$D.∴ BD=\dfrac{1}{2}BC=3,∠ADB=90°.∴$ 在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$\cos B=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{3}{5}$.综上所述,底角的余弦值为$\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{3}{5}$

12 [2025 兰州]如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$AB$是$\odot O$的直径，过点$B$的切线交$AC$的延长线于点$D$，连接$DO$并延长，交$\odot O$于点$E$，连接$AE$，$CE$。
（1）求证：$∠ ADB=∠ AEC$；
（2）若$AB=4$，$\cos∠ AEC=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$，求$OD$的长。

12. (1) $∵ BD$为$\odot O$的切线,$∴ AB⊥BD.∴ ∠ABD=90°$.$∴$ 在$△ABD$中,$∠ADB+∠BAD=90°.∵ AB$是$\odot O$的直径,$∴ ∠ACB=90°$. $∴$ 在$△ACB$中,$∠ABC+∠BAD=90°$.$∴ ∠ADB=∠ABC.∵ \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC},∴ ∠ABC=∠AEC$.$∴ ∠ADB=∠AEC$ (2) $∵ ∠ADB=∠AEC$,$\cos ∠AEC=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$,$∴ \cos ∠ADB=\dfrac{\sqrt{5}}{3}.∵$ 在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$\cos ∠ADB=\dfrac{DB}{AD}$,$∴$ 设$BD=\sqrt{5}x(x＞0)$,则$AD=3x.∵$ 在$\mathrm{Rt}△ABD$中,$AB^2+BD^2=AD^2$,$AB=4$,$∴ 4^2+(\sqrt{5}x)^2=(3x)^2$,解得$x=2$(负值舍去).$∴ BD=2\sqrt{5}.∵$ 在$\mathrm{Rt}△OBD$中,$OB=\dfrac{1}{2}AB=2$,$∴ OD=\sqrt{OB^2+BD^2}=2\sqrt{6}$