1. 如图6-2-15，点P是线段AB上一点，AB=24cm，点C，D分别从点P，B同时出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线AB向左运动（点C在线段AP上，点D在线段BP上），运动的时间为ts.
(1)当t=1时，若PD=3AC，请求出AP的长；
(2)若点C，D运动到任一时刻，总有PD=3AC，请求出AP的长；
(3)在(2)的条件下，若点Q是直线AB上一点，且AQ−BQ=PQ，请求出PQ的长.

图6-2-15

1. 解:(1)由题意可知,BD=3×1=3(cm),
PC=1cm,则 BD=3PC.
因为 PD=3AC,
所以 AB-AC-PC-BD=24-AC-PC-3PC=3AC,
所以 4AC+4PC=24,
所以 AC+PC=6,
所以 AP=AC+CP=6cm.
(2)根据点 C,D 的运动速度可知,
BD=3PC. 因为 PD=3AC,
所以 AB-AP-BD=3(AP-PC),
所以 24-AP-3PC=3AP-3PC,
所以 4AP=24,所以 AP=6cm.
(3)存在以下两种情况:
①如答图 6-2-6①,当点 Q 在线段 AB 上时,
因为 AQ-BQ=PQ,所以 AQ=PQ+BQ,
因为 AQ=AP+PQ,所以 AP=BQ=6cm,
所以 PQ=AB-AP-BQ=24-6-6=12(cm).

②如答图 6-2-6②,当点 Q 在线段 AB 的延长线上时,
因为 AQ-BQ=PQ,所以 AQ=PQ+BQ.
因为 AQ=AP+PQ,所以 AP=BQ=6cm,
所以 PQ=AQ-AP=AB+BQ-AP=AB+BQ-BQ=AB=24cm.

综上所述,PQ 的长为 12cm 或 24cm.

2.【实际应用问题】某公司员工分别住在A,B,C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在同一条直线上，位置如图6-2-16所示.该公司的接送车打算只设一个停靠站.为了使所有员工步行到停靠站的路程之和最小，那么停靠站应设在哪个位置？

图6-2-16

2. 解:当停靠站设在 A 区时,总路程之和为:
30×0+15×100+10×(100+200)=1500+3000=4500(米).
当停靠站设在 B 区时,总路程之和为:
30×100+15×0+10×200=3000+2000=5000(米).
当停靠站设在 C 区时,总路程之和为:
30×(100+200)+15×200+10×0=9000+3000=12000(米).
当停靠站设在 A,B 两区之间时,不妨设点 P 为停靠站,如答图 6-2-7 所示.

设 AP=x 米,则总路程之和为:
30x+15(100-x)+10[200+(100-x)]
=30x+1500-15x+3000-10x
=4500+5x.
因为 x＞0,所以 4500+5x＞4500.
当停靠站设在 B,C 两区之间时,不妨设点 P'为停靠站,如答图6-2-8 所示.

设 BP'=x 米,则总路程之和为:
30(100+x)+15x+10(200-x)
=3000+30x+15x+2000-10x
=5000+35x.
因为 x＞0,所以 5000+35x＞5000.
综上所述,当停靠站设在 A 区时,总路程之和最小.
点拨:此题考查的是两点间的距离在实际生活中的应用.此题根据实际生活建立数学模型,进而转化为有关线段的计算题,分五种情况进行讨论,即 A 区,B 区,C 区,A,B 两区之间和 B,C 两区之间.