8.如图15-3-39所示，在△ABC中，D是AB边上的一点，且AD=DC=DB，∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形.

图15-3-39

证明:$\because DC=DB,\therefore ∠ B=∠ DCB=30°.$
$\therefore ∠ ADC=∠ DCB+∠ B=60°.$
又$\because AD=DC,$
$\therefore △ ADC$是等边三角形.

1. 如图15-3-40，直线$l // m$，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若$∠ ABE=21°$，则$∠ ACD$的度数是()

A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$

图15-3-40 图15-3-41 图15-3-42

1.B

2.如图15-3-41，已知△ABC是等边三角形，AB=AD，且AC⊥AD，垂足为A，则∠BEC的度数为.

2. $75°$ 点拨: $\because △ ABC$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ BAC=60°. \because AC ⊥ AD, \therefore ∠ CAD=90°, \therefore ∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=150°.$
$\because AB = AD, \therefore ∠ ABD = ∠ D =\frac{180°-∠ BAD}{2}=15°,\therefore ∠ BEC=∠ ABD+∠ BAC=15°+60°=75°.$

3.三个等边三角形的位置如图15-3-42，若∠3=50°，则∠1+∠2=。

3. $130°$

4. 如图15-3-43所示，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$AD⊥ BC$，垂足为点$G$，且$AD=AB$，$∠ EDF=60°$，其两边分别交边$AB$，$AC$于点$E$，$F$，连接$BD$。求证：
(1)$△ ABD$是等边三角形。
(2)$BE=AF$。

图15-3-43

证明:(1)$\because AB=AC,AD⊥ BC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC.$
$\because ∠ BAC=120°,$
$\therefore ∠ BAD=∠ DAC=\frac{1}{2}× 120°=60°.$
$\because AD=AB,\therefore △ ABD$ 是等边三角形.
(2)$\because △ ABD$ 是等边三角形，
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=60°,BD=AD.$
$\because ∠ EDF=60°,\therefore ∠ BDE=∠ ADF.$
在$△ BDE$ 和$△ ADF$ 中，
$\begin{cases}∠ DBE=∠ DAF=60°,\\BD=AD,\\∠ BDE=∠ ADF,\end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ ADF(\mathrm{ASA}),\therefore BE=AF.$