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1. (2024·哈尔滨)二次函数$y=2(x+1)^2+3$的最小值是 ()
A.-1
B.1
C.2
D.3
A.-1
B.1
C.2
D.3
答案
D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的最值问题，解题思路如下：第一步，先识别所给二次函数的表达形式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）；第二步，根据$a$的正负判断抛物线开口方向：若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数在顶点处取得最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数在顶点处取得最大值；第三步，确定顶点式中的$k$值，就是对应的最值。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
1. 观察所给函数$y=2(x+1)^2+3$，可得$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为顶点的纵坐标$k$；
2. 该函数中$k=3$，因此二次函数的最小值是3。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质、二次函数的最值
【点评】
本题是基础题型，核心考查对二次函数顶点式各参数意义的掌握，熟悉二次函数开口方向和最值的对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的最值问题，解题思路如下：第一步，先识别所给二次函数的表达形式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）；第二步，根据$a$的正负判断抛物线开口方向：若$a＞0$，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数在顶点处取得最小值；若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数在顶点处取得最大值；第三步，确定顶点式中的$k$值，就是对应的最值。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
1. 观察所给函数$y=2(x+1)^2+3$，可得$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值为顶点的纵坐标$k$；
2. 该函数中$k=3$，因此二次函数的最小值是3。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质、二次函数的最值
【点评】
本题是基础题型，核心考查对二次函数顶点式各参数意义的掌握，熟悉二次函数开口方向和最值的对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 抛物线$y=a(x+1)(x-3)(a≠0)$的对称轴是直线（）
A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x=-3$
D.$x=3$
A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x=-3$
D.$x=3$
答案
A
解析
【分析】
本题给出的是二次函数的交点式解析式，解题思路如下：首先回忆交点式的性质：抛物线$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$与x轴的交点坐标为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$；又因为抛物线是轴对称图形，其对称轴过两个交点的中点，因此只需计算两个交点横坐标的平均值，即可得到对称轴的直线表达式，不需要展开成一般式计算，可简化解题过程。
【解析】
方法一（利用交点式性质求解）：
对于抛物线$y=a(x+1)(x-3)(a≠0)$，令$y=0$，可得$x+1=0$或$x-3=0$，即抛物线与x轴的两个交点横坐标为$x=-1$和$x=3$。
抛物线的对称轴为两个交点横坐标的中点，即：
$x=\frac{-1+3}{2}=1$
因此对称轴是直线$x=1$。
方法二（展开为一般式验证）：
将解析式展开得：
$y=a(x+1)(x-3)=a(x^2-2x-3)=ax^2-2ax-3a$
对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a$得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$
结果一致。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数交点式；二次函数对称轴计算；二次函数图像对称性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查交点式的灵活应用，利用交点求对称轴的方法比展开一般式计算更高效，同学们需要熟练掌握不同形式二次函数解析式对应的对称轴求解方法。
【难度系数】
0.8
本题给出的是二次函数的交点式解析式，解题思路如下：首先回忆交点式的性质：抛物线$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$与x轴的交点坐标为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$；又因为抛物线是轴对称图形，其对称轴过两个交点的中点，因此只需计算两个交点横坐标的平均值，即可得到对称轴的直线表达式，不需要展开成一般式计算，可简化解题过程。
【解析】
方法一（利用交点式性质求解）：
对于抛物线$y=a(x+1)(x-3)(a≠0)$，令$y=0$，可得$x+1=0$或$x-3=0$，即抛物线与x轴的两个交点横坐标为$x=-1$和$x=3$。
抛物线的对称轴为两个交点横坐标的中点，即：
$x=\frac{-1+3}{2}=1$
因此对称轴是直线$x=1$。
方法二（展开为一般式验证）：
将解析式展开得：
$y=a(x+1)(x-3)=a(x^2-2x-3)=ax^2-2ax-3a$
对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a$得：
$x=-\frac{-2a}{2a}=1$
结果一致。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数交点式；二次函数对称轴计算；二次函数图像对称性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查交点式的灵活应用，利用交点求对称轴的方法比展开一般式计算更高效，同学们需要熟练掌握不同形式二次函数解析式对应的对称轴求解方法。
【难度系数】
0.8
3. 抛物线$y=-3x^2 -x +4$与坐标轴的交点的个数是 （）
A.3
B.2
C.1
D.0
A.3
B.2
C.1
D.0
答案
A
解析
【分析】
要确定抛物线与坐标轴的交点个数，需分两类讨论：第一类是抛物线与y轴的交点，直接令x=0代入解析式即可判断，抛物线必然和y轴有1个交点；第二类是抛物线与x轴的交点，令y=0将问题转化为一元二次方程的实根个数问题，通过计算根的判别式Δ的符号判断实根个数，也就是抛物线与x轴的交点个数，最后将两类交点数量相加即可，注意排除交点重合的情况。
【解析】
解：①求抛物线与y轴的交点：
令$x=0$，代入$y=-3x^2 -x +4$，得$y=4$，
因此抛物线与y轴的交点为$(0,4)$，共1个交点。
②求抛物线与x轴的交点：
令$y=0$，可得方程：$-3x^2 -x +4 = 0$，
其中二次项系数$a=-3$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=4$，
根据根的判别式公式：$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×(-3)×4 = 1 + 48 = 49 ＞ 0$，
说明该一元二次方程有2个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个交点。
由于$(0,4)$不在x轴上，两类交点无重合，因此总交点个数为$1+2=3$个。
【答案】
A
【知识点】
抛物线与坐标轴的交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，解题核心是分类讨论和二次函数与一元二次方程的转化，易错点为遗漏抛物线与y轴的交点，或是计算判别式时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
要确定抛物线与坐标轴的交点个数，需分两类讨论：第一类是抛物线与y轴的交点，直接令x=0代入解析式即可判断，抛物线必然和y轴有1个交点；第二类是抛物线与x轴的交点，令y=0将问题转化为一元二次方程的实根个数问题，通过计算根的判别式Δ的符号判断实根个数，也就是抛物线与x轴的交点个数，最后将两类交点数量相加即可，注意排除交点重合的情况。
【解析】
解：①求抛物线与y轴的交点：
令$x=0$，代入$y=-3x^2 -x +4$，得$y=4$，
因此抛物线与y轴的交点为$(0,4)$，共1个交点。
②求抛物线与x轴的交点：
令$y=0$，可得方程：$-3x^2 -x +4 = 0$，
其中二次项系数$a=-3$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=4$，
根据根的判别式公式：$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×(-3)×4 = 1 + 48 = 49 ＞ 0$，
说明该一元二次方程有2个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个交点。
由于$(0,4)$不在x轴上，两类交点无重合，因此总交点个数为$1+2=3$个。
【答案】
A
【知识点】
抛物线与坐标轴的交点；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，解题核心是分类讨论和二次函数与一元二次方程的转化，易错点为遗漏抛物线与y轴的交点，或是计算判别式时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
4. 如图
所示，直线l为二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象的对称轴，则下列说法正确的是（）
A.b恒大于0
B.a,b同号
C.a,b异号
D.以上说法都不对
所示，直线l为二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象的对称轴，则下列说法正确的是（）A.b恒大于0
B.a,b同号
C.a,b异号
D.以上说法都不对
答案
C
解析
【分析】
解题思路：首先回忆二次函数对称轴的计算公式，再结合图象判断对称轴的取值范围，通过列不等式推导a与b的符号关系，最后匹配选项得出答案。第一步，明确二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$；第二步，观察图象可知对称轴在x轴正半轴，即对称轴$x＞0$；第三步，根据不等式化简判断a、b的符号关系，对应选项判断正误。
【解析】
解：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴公式为$\boldsymbol{x=-\dfrac{b}{2a}}$。
由图可知，对称轴$l$位于$x$轴正半轴，因此$-\dfrac{b}{2a}＞0$。
对不等式化简：两边同时乘2（2为正数，不等号方向不变），可得$-\dfrac{b}{a}＞0$，即$\dfrac{b}{a}＜0$，说明$a$和$b$的乘积为负，因此$a$、$b$异号。
逐一判断选项：
A选项：$b$的符号由$a$决定，若$a＞0$则$b＜0$，若$a＜0$则$b＞0$，因此$b$不恒大于0，A错误；
B选项：由上述推导可知$a$、$b$异号，B错误；
C选项：$a$、$b$异号，C正确；
D选项：C正确，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴性质；不等式基本性质；有理数符号判断
【点评】
本题考查二次函数图象与系数的关系，核心是掌握二次函数对称轴公式和“左同右异”的规律（对称轴在y轴左侧则a、b同号，在右侧则a、b异号），属于基础题型，熟练掌握该规律可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆二次函数对称轴的计算公式，再结合图象判断对称轴的取值范围，通过列不等式推导a与b的符号关系，最后匹配选项得出答案。第一步，明确二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$；第二步，观察图象可知对称轴在x轴正半轴，即对称轴$x＞0$；第三步，根据不等式化简判断a、b的符号关系，对应选项判断正误。
【解析】
解：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴公式为$\boldsymbol{x=-\dfrac{b}{2a}}$。
由图可知，对称轴$l$位于$x$轴正半轴，因此$-\dfrac{b}{2a}＞0$。
对不等式化简：两边同时乘2（2为正数，不等号方向不变），可得$-\dfrac{b}{a}＞0$，即$\dfrac{b}{a}＜0$，说明$a$和$b$的乘积为负，因此$a$、$b$异号。
逐一判断选项：
A选项：$b$的符号由$a$决定，若$a＞0$则$b＜0$，若$a＜0$则$b＞0$，因此$b$不恒大于0，A错误；
B选项：由上述推导可知$a$、$b$异号，B错误；
C选项：$a$、$b$异号，C正确；
D选项：C正确，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴性质；不等式基本性质；有理数符号判断
【点评】
本题考查二次函数图象与系数的关系，核心是掌握二次函数对称轴公式和“左同右异”的规律（对称轴在y轴左侧则a、b同号，在右侧则a、b异号），属于基础题型，熟练掌握该规律可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 将抛物线$y=2x^2$向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的表达式为（）
A.$y=2(x-3)^2 -5$
B.$y=2(x+3)^2 +5$
C.$y=2(x-3)^2 +5$
D.$y=2(x+3)^2 -5$
A.$y=2(x-3)^2 -5$
B.$y=2(x+3)^2 +5$
C.$y=2(x-3)^2 +5$
D.$y=2(x+3)^2 -5$
答案
A
解析
【分析】
拿到这道题，我们首先回忆二次函数图象平移的核心规律：平移遵循“左加右减，上加下减”的原则。其中“左加右减”针对自变量x生效：图象向右平移n个单位时，将原式中的x替换为x-n；向左平移n个单位时，将x替换为x+n。“上加下减”针对函数整体生效：图象向下平移m个单位时，整个表达式减m；向上平移m个单位时，整个表达式加m。接下来我们分两步应用规律，先处理水平方向的平移，再处理竖直方向的平移，最后匹配选项即可。
【解析】
已知原抛物线的表达式为$y=2x^2$：
1. 第一步，将抛物线向右平移3个单位长度，根据“左加右减”规则，把自变量$x$替换为$x-3$，得到平移后的表达式：$y=2(x-3)^2$；
2. 第二步，将上述抛物线再向下平移5个单位长度，根据“上加下减”规则，在表达式整体后减去5，得到最终表达式：$y=2(x-3)^2 -5$。
该结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数图象平移 2.函数平移“左加右减，上加下减”规则
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查平移规律的直接应用，熟练掌握平移规则就能快速得到答案，属于考试中的基础得分题。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，我们首先回忆二次函数图象平移的核心规律：平移遵循“左加右减，上加下减”的原则。其中“左加右减”针对自变量x生效：图象向右平移n个单位时，将原式中的x替换为x-n；向左平移n个单位时，将x替换为x+n。“上加下减”针对函数整体生效：图象向下平移m个单位时，整个表达式减m；向上平移m个单位时，整个表达式加m。接下来我们分两步应用规律，先处理水平方向的平移，再处理竖直方向的平移，最后匹配选项即可。
【解析】
已知原抛物线的表达式为$y=2x^2$：
1. 第一步，将抛物线向右平移3个单位长度，根据“左加右减”规则，把自变量$x$替换为$x-3$，得到平移后的表达式：$y=2(x-3)^2$；
2. 第二步，将上述抛物线再向下平移5个单位长度，根据“上加下减”规则，在表达式整体后减去5，得到最终表达式：$y=2(x-3)^2 -5$。
该结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数图象平移 2.函数平移“左加右减，上加下减”规则
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查平移规律的直接应用，熟练掌握平移规则就能快速得到答案，属于考试中的基础得分题。
【难度系数】
0.9
6. (2025·福建)已知点$A(-2,y_1)$,$B(1,y_2)$在抛物线$y=3x^2+bx+1$上,若$3＜b＜4$,则下列判断正确的是 ()
A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
答案
A
解析
【分析】
要比较y₁、y₂和1的大小，首先可以将点A、B的横坐标分别代入抛物线解析式，用含b的代数式表示出y₁和y₂，再结合已知的b的取值范围3＜b＜4，利用不等式的性质分别求出y₁、y₂的取值范围，最后比较三者的大小即可得出结论。也可以结合二次函数开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，这里代入计算的方法更直接易懂。
【解析】
将点A(-2,y₁)代入抛物线y=3x²+bx+1得：
$y_1=3×(-2)^2 + b×(-2) + 1 = 12 - 2b + 1 = 13 - 2b$
将点B(1,y₂)代入抛物线y=3x²+bx+1得：
$y_2=3×1^2 + b×1 + 1 = 3 + b + 1 = 4 + b$
已知3＜b＜4：
① 求y₁的范围：
不等式3＜b＜4两边同乘-2，不等号方向改变，得$-8＜-2b＜-6$
两边同时加13，得$13-8＜13-2b＜13-6$，即$5＜y_1＜7$
② 求y₂的范围：
不等式3＜b＜4两边同时加4，得$3+4＜4+b＜4+4$，即$7＜y_2＜8$
综上可得：$1＜5＜y_1＜7＜y_2$，即$1＜y_1＜y_2$
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质，不等式的性质，代数式求值
【点评】
本题考查二次函数上点的函数值大小比较，有两种常用解法：一是代入横坐标得到含参数的函数值表达式，结合参数范围求函数值范围再比较；二是利用二次函数开口方向、对称轴与点的位置关系，通过点到对称轴的距离判断函数值大小，解题时可选择自己熟悉的方法。
【难度系数】
0.7
要比较y₁、y₂和1的大小，首先可以将点A、B的横坐标分别代入抛物线解析式，用含b的代数式表示出y₁和y₂，再结合已知的b的取值范围3＜b＜4，利用不等式的性质分别求出y₁、y₂的取值范围，最后比较三者的大小即可得出结论。也可以结合二次函数开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，这里代入计算的方法更直接易懂。
【解析】
将点A(-2,y₁)代入抛物线y=3x²+bx+1得：
$y_1=3×(-2)^2 + b×(-2) + 1 = 12 - 2b + 1 = 13 - 2b$
将点B(1,y₂)代入抛物线y=3x²+bx+1得：
$y_2=3×1^2 + b×1 + 1 = 3 + b + 1 = 4 + b$
已知3＜b＜4：
① 求y₁的范围：
不等式3＜b＜4两边同乘-2，不等号方向改变，得$-8＜-2b＜-6$
两边同时加13，得$13-8＜13-2b＜13-6$，即$5＜y_1＜7$
② 求y₂的范围：
不等式3＜b＜4两边同时加4，得$3+4＜4+b＜4+4$，即$7＜y_2＜8$
综上可得：$1＜5＜y_1＜7＜y_2$，即$1＜y_1＜y_2$
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质，不等式的性质，代数式求值
【点评】
本题考查二次函数上点的函数值大小比较，有两种常用解法：一是代入横坐标得到含参数的函数值表达式，结合参数范围求函数值范围再比较；二是利用二次函数开口方向、对称轴与点的位置关系，通过点到对称轴的距离判断函数值大小，解题时可选择自己熟悉的方法。
【难度系数】
0.7
7.已知二次函数$y=2x^2 -4x -1$在$0≤x≤a$时，y取得的最大值为15，则a的值为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
D
解析
【分析】
解决本题首先要掌握二次函数的基本性质：先确定二次函数的开口方向、对称轴，判断其增减性。该函数开口向上，对称轴为x=1，顶点为最小值点。先计算区间左端点x=0的函数值为-1，远小于最大值15，说明最大值不可能在x=0处取得，因此最大值只能在区间右端点x=a处取得，代入y=15求解正根即可得到a的值。
【解析】
解：对于二次函数$y=2x^2 -4x -1$，
1. 确定函数基本性质：二次项系数$2＞0$，因此函数图象开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2×2}=1$，在对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大，顶点处取得最小值。
2. 验证左端点函数值：当$x=0$时，$y=2×0^2-4×0-1=-1＜15$，若$a≤1$，则区间$0≤ x≤ a$内最大值为x=0处的-1，不符合题意，因此$a＞1$。
3. 求最大值对应x值：因为$a＞1$，且x＞1时y随x增大而增大，因此区间内最大值在$x=a$处取得，令$y=15$，代入得：
$2a^2 -4a -1=15$
整理得：$a^2-2a-8=0$
因式分解得：$(a-4)(a+2)=0$
解得$a=4$或$a=-2$，因为$a＞1$，因此舍去$a=-2$。
4. 验证：当$a=4$时，$0≤ x≤4$，x=4时y取最大值15，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数最值的典型题型，解题核心是结合二次函数的开口方向、对称轴判断区间内最值的取值位置，再代入计算即可，注意求解后要验证根是否符合自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要掌握二次函数的基本性质：先确定二次函数的开口方向、对称轴，判断其增减性。该函数开口向上，对称轴为x=1，顶点为最小值点。先计算区间左端点x=0的函数值为-1，远小于最大值15，说明最大值不可能在x=0处取得，因此最大值只能在区间右端点x=a处取得，代入y=15求解正根即可得到a的值。
【解析】
解：对于二次函数$y=2x^2 -4x -1$，
1. 确定函数基本性质：二次项系数$2＞0$，因此函数图象开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2×2}=1$，在对称轴左侧y随x增大而减小，对称轴右侧y随x增大而增大，顶点处取得最小值。
2. 验证左端点函数值：当$x=0$时，$y=2×0^2-4×0-1=-1＜15$，若$a≤1$，则区间$0≤ x≤ a$内最大值为x=0处的-1，不符合题意，因此$a＞1$。
3. 求最大值对应x值：因为$a＞1$，且x＞1时y随x增大而增大，因此区间内最大值在$x=a$处取得，令$y=15$，代入得：
$2a^2 -4a -1=15$
整理得：$a^2-2a-8=0$
因式分解得：$(a-4)(a+2)=0$
解得$a=4$或$a=-2$，因为$a＞1$，因此舍去$a=-2$。
4. 验证：当$a=4$时，$0≤ x≤4$，x=4时y取最大值15，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值；一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数最值的典型题型，解题核心是结合二次函数的开口方向、对称轴判断区间内最值的取值位置，再代入计算即可，注意求解后要验证根是否符合自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
8. 已知抛物线 $ y = ax^2 + 2x + 3 $（$ a $ 为常数）的对称轴为直线 $ x = 2 $，平移该抛物线，使其顶点始终在直线 $ y = x + 3 $ 上，则平移后所得抛物线与 $ y $ 轴交点的纵坐标有 $\quad (\quad)$
A.最大值 $ \dfrac{7}{2} $
B.最大值 3
C.最小值 -3
D.最小值 $ -\dfrac{7}{2} $
A.最大值 $ \dfrac{7}{2} $
B.最大值 3
C.最小值 -3
D.最小值 $ -\dfrac{7}{2} $
答案
A
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，先根据原抛物线的对称轴求出参数a的值，确定抛物线的二次项系数；第二步，利用平移不改变抛物线开口大小和方向，且平移后顶点在直线$y=x+3$上，设出平移后抛物线的顶点式；第三步，令$x=0$求出抛物线与y轴交点的纵坐标的表达式，将其转化为关于顶点横坐标的二次函数，再求该二次函数的最值即可得到答案。
【解析】
1. 求原抛物线的参数$a$：
对于抛物线$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=2$，对称轴为$x=2$，代入得：
$-\frac{2}{2a}=2$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
2. 设平移后抛物线的解析式：
抛物线平移时二次项系数不变，仍为$a=-\frac{1}{2}$，设平移后抛物线的顶点横坐标为$h$，因为顶点在直线$y=x+3$上，所以顶点纵坐标为$h+3$，因此平移后抛物线的顶点式为：
$y=-\frac{1}{2}(x-h)^2 + (h+3)$。
3. 求抛物线与y轴交点的纵坐标并求最值：
抛物线与y轴交点处$x=0$，代入解析式得交点纵坐标：
$y=-\frac{1}{2}(0-h)^2 + h + 3 = -\frac{1}{2}h^2 + h + 3$。
这是关于$h$的二次函数，二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，开口向下，存在最大值，对其配方得：
$y=-\frac{1}{2}(h^2-2h) + 3 = -\frac{1}{2}(h-1)^2 + \frac{7}{2}$。
当$h=1$时，$y$取得最大值$\frac{7}{2}$，即平移后抛物线与y轴交点的纵坐标最大值为$\frac{7}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
抛物线对称轴公式；抛物线平移性质；二次函数最值
【点评】
本题综合考查了抛物线的基本性质、平移规律和二次函数最值的求解，核心是通过设顶点式将交点纵坐标问题转化为二次函数最值问题，是二次函数章节的典型综合题。
【难度系数】
0.6
解题思路分三步：第一步，先根据原抛物线的对称轴求出参数a的值，确定抛物线的二次项系数；第二步，利用平移不改变抛物线开口大小和方向，且平移后顶点在直线$y=x+3$上，设出平移后抛物线的顶点式；第三步，令$x=0$求出抛物线与y轴交点的纵坐标的表达式，将其转化为关于顶点横坐标的二次函数，再求该二次函数的最值即可得到答案。
【解析】
1. 求原抛物线的参数$a$：
对于抛物线$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$b=2$，对称轴为$x=2$，代入得：
$-\frac{2}{2a}=2$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
2. 设平移后抛物线的解析式：
抛物线平移时二次项系数不变，仍为$a=-\frac{1}{2}$，设平移后抛物线的顶点横坐标为$h$，因为顶点在直线$y=x+3$上，所以顶点纵坐标为$h+3$，因此平移后抛物线的顶点式为：
$y=-\frac{1}{2}(x-h)^2 + (h+3)$。
3. 求抛物线与y轴交点的纵坐标并求最值：
抛物线与y轴交点处$x=0$，代入解析式得交点纵坐标：
$y=-\frac{1}{2}(0-h)^2 + h + 3 = -\frac{1}{2}h^2 + h + 3$。
这是关于$h$的二次函数，二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，开口向下，存在最大值，对其配方得：
$y=-\frac{1}{2}(h^2-2h) + 3 = -\frac{1}{2}(h-1)^2 + \frac{7}{2}$。
当$h=1$时，$y$取得最大值$\frac{7}{2}$，即平移后抛物线与y轴交点的纵坐标最大值为$\frac{7}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
抛物线对称轴公式；抛物线平移性质；二次函数最值
【点评】
本题综合考查了抛物线的基本性质、平移规律和二次函数最值的求解，核心是通过设顶点式将交点纵坐标问题转化为二次函数最值问题，是二次函数章节的典型综合题。
【难度系数】
0.6
