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1. (2025·广西)有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有 $a$ g 水和 $b$ g 水$(a ＞ b)$。都加入 $c$ g 水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是(
A.$a + c ＞ b + c$
B.$a + c = b + c$
C.$a + c ＜ b + c$
D.$a - c ＜ b - c$
A
)A.$a + c ＞ b + c$
B.$a + c = b + c$
C.$a + c ＜ b + c$
D.$a - c ＜ b - c$
答案
1. A
2. (2024·上海)若 $x ＞ y$，则下列不等式正确的是(
A.$x + 5 ≤ y + 5$
B.$x - 5 ＜ y - 5$
C.$5x ＞ 5y$
D.$-5x ＞ -5y$
C
)A.$x + 5 ≤ y + 5$
B.$x - 5 ＜ y - 5$
C.$5x ＞ 5y$
D.$-5x ＞ -5y$
答案
2. C
3. 已知 $a ＜ b$，用“＞”或“＜”号填空：
(1) $a - 5$
(2) $2a$
(1) $a - 5$
＜
$b - 5$；(2) $2a$
＜
$a + b$。答案
3. (1) ＜ (2) ＜
4. (2025·江苏徐州期末)已知 $a$，$b$ 为有理数，且 $a ＞ b ＞ 0$，则 $a^2$，$ab$，$b^2$ 之间的大小关系为
$ b^{2}＜ab＜a^{2} $
。(用“＜”号连接)答案
4. $ b^{2}＜ab＜a^{2} $ 解析：因为 $ a＞b $ 且 $ a＞0,b＞0 $，所以根据不等式的基本性质 2，得 $ a^{2}＞ab,ab＞b^{2} $，所以 $ a^{2},ab,b^{2} $ 之间的大小关系为 $ b^{2}＜ab＜a^{2} $。
5. (教材 P121 练习 4 变式)利用不等式的基本性质，将下列不等式化成 $x ＞ c$ 或 $x ＜ c$（$c$ 为常数）的形式：
(1) $x - 4 ＞ 3$；
(2) $\frac{1}{2}x ＜ \frac{1}{3}(x - 2)$。
(1) $x - 4 ＞ 3$；
(2) $\frac{1}{2}x ＜ \frac{1}{3}(x - 2)$。
答案
5. (1) 在原不等式的两边都加上 4，得 $ x＞7 $。
(2) 在原不等式的两边都乘 6，得 $ 3x＜2(x - 2) $。去括号，得 $ 3x＜2x - 4 $。在不等式 $ 3x＜2x - 4 $ 的两边都减去 $ 2x $，得 $ x＜-4 $。
(2) 在原不等式的两边都乘 6，得 $ 3x＜2(x - 2) $。去括号，得 $ 3x＜2x - 4 $。在不等式 $ 3x＜2x - 4 $ 的两边都减去 $ 2x $，得 $ x＜-4 $。
6. (2023·北京)已知 $a - 1 ＞ 0$，则下列结论正确的是(
A.$-1 ＜ -a ＜ a ＜ 1$
B.$-a ＜ -1 ＜ 1 ＜ a$
C.$-a ＜ -1 ＜ a ＜ 1$
D.$-1 ＜ -a ＜ 1 ＜ a$
B
)A.$-1 ＜ -a ＜ a ＜ 1$
B.$-a ＜ -1 ＜ 1 ＜ a$
C.$-a ＜ -1 ＜ a ＜ 1$
D.$-1 ＜ -a ＜ 1 ＜ a$
答案
6. B
7. 用不等号填空：若 $a + b ＜ 0$，$ab ＞ 0$，则 $a$
＜
$0$，$b$＜
$0$。答案
7. ＜ ＜
8. 已知 $a ＜ b$，$m$ 为有理数，用不等号填空：
(1) $m^2a$
(2) 若 $|m| ＞ m$，则 $ma$
(1) $m^2a$
≤
$m^2b$；(2) 若 $|m| ＞ m$，则 $ma$
＞
$mb$。答案
8. (1) ≤ (2) ＞
9. 甲同学与乙同学讨论一个与不等式有关的问题时，甲说：“当每个苹果的大小一样时，5 个苹果的质量大于 4 个苹果的质量。设每个苹果的质量为 $x$ g，则有 $5x ＞ 4x$。”乙说：“这肯定是正确的。”甲又说：“设 $a$ 为一个有理数，那么 $5a$ 一定大于 $4a$，对吗？”乙说：“这与 $5x ＞ 4x$ 不是一回事吗？当然是正确的。”请问：乙同学的回答正确吗？试说明理由。
答案
9. 乙同学的回答不正确。理由如下：因为 $ 5＞4 $，所以当 $ a＞0 $ 时，$ 5a＞4a＞0 $；当 $ a = 0 $ 时，$ 5a = 4a = 0 $；当 $ a＜0 $ 时，$ 5a＜4a＜0 $。综上所述，$ 5a $ 不一定大于 $ 4a $，乙同学的回答不正确。
10. 新素养 推理能力 如图，四个小朋友在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重(分别用字母 $A$，$B$，$C$，$D$ 表示)按从小到大的顺序排列为
$ B＜A＜D＜C $
。(用“＜”号连接)答案
10. $ B＜A＜D＜C $ 解析：由题图①，得 $ A＜D $。由题图②，得 $ B + D＜A + C $。由题图③，得 $ B + C = A + D $。因为 $ A＜D,B + D＜A + C $，所以 $ B - C＜A - D＜0 $，所以 $ B＜C $。因为 $ B + C = A + D,B + D＜A + C $，所以 $ B - A = D - C,B - A＜C - D $，所以 $ D - C＜C - D $，所以 $ 2D＜2C $，所以 $ D＜C $，所以 $ B - A = D - C＜0 $，所以 $ B＜A $。故 $ B＜A＜D＜C $。
11. 【阅读材料】已知两个正整数的和与积相等，求这两个正整数。
解：不妨设这两个正整数分别为 $a$，$b$，且 $0 ＜ a ≤ b$。由题意，得 $ab = a + b$（*）。因为 $ab = a + b ≤ b + b = 2b$，所以 $a ≤ 2$。因为 $a$ 是正整数，所以 $a = 1$ 或 $a = 2$。① 当 $a = 1$ 时，代入（*），得 $1 × b = 1 + b$，则 $b$ 不存在；② 当 $a = 2$ 时，代入（*），得 $2b = 2 + b$，解得 $b = 2$。综上所述，这两个正整数是 2 和 2。
【解决问题】根据阅读材料的启示，思考是否存在三个正整数，它们的和与积相等，试说明你的理由。
解：不妨设这两个正整数分别为 $a$，$b$，且 $0 ＜ a ≤ b$。由题意，得 $ab = a + b$（*）。因为 $ab = a + b ≤ b + b = 2b$，所以 $a ≤ 2$。因为 $a$ 是正整数，所以 $a = 1$ 或 $a = 2$。① 当 $a = 1$ 时，代入（*），得 $1 × b = 1 + b$，则 $b$ 不存在；② 当 $a = 2$ 时，代入（*），得 $2b = 2 + b$，解得 $b = 2$。综上所述，这两个正整数是 2 和 2。
【解决问题】根据阅读材料的启示，思考是否存在三个正整数，它们的和与积相等，试说明你的理由。
答案
解：存在，理由如下：
不妨设三个正整数分别为$a$，$b$，$c$，且$0 ＜ a ≤ b ≤ c$。由题意得$abc = a + b + c$。
因为$abc = a + b + c ≤ c + c + c = 3c$，且$c$是正整数（$c≠0$），两边同时除以$c$得$ab ≤ 3$。
因为$a$是正整数且$a ≤ b$，分情况讨论：
①当$a=1$时，$ab ≤ 3$即$b ≤ 3$：
- 若$b=1$，代入$abc = a + b + c$得$1×1×c = 1+1+c$，即$c=2+c$，此方程无解，$c$不存在；
- 若$b=2$，代入$abc = a + b + c$得$1×2×c = 1+2+c$，即$2c=3+c$，解得$c=3$，符合$b≤c$的条件；
- 若$b=3$，代入$abc = a + b + c$得$1×3×c = 1+3+c$，即$3c=4+c$，解得$c=2$，与$c≥b=3$矛盾，舍去；
②当$a≥2$时，$ab ≥ 2×2=4＞3$，与$ab ≤ 3$矛盾，故$a≥2$时不存在这样的正整数。
综上，存在三个正整数1、2、3，它们的和与积相等（$1+2+3=6$，$1×2×3=6$）。
不妨设三个正整数分别为$a$，$b$，$c$，且$0 ＜ a ≤ b ≤ c$。由题意得$abc = a + b + c$。
因为$abc = a + b + c ≤ c + c + c = 3c$，且$c$是正整数（$c≠0$），两边同时除以$c$得$ab ≤ 3$。
因为$a$是正整数且$a ≤ b$，分情况讨论：
①当$a=1$时，$ab ≤ 3$即$b ≤ 3$：
- 若$b=1$，代入$abc = a + b + c$得$1×1×c = 1+1+c$，即$c=2+c$，此方程无解，$c$不存在；
- 若$b=2$，代入$abc = a + b + c$得$1×2×c = 1+2+c$，即$2c=3+c$，解得$c=3$，符合$b≤c$的条件；
- 若$b=3$，代入$abc = a + b + c$得$1×3×c = 1+3+c$，即$3c=4+c$，解得$c=2$，与$c≥b=3$矛盾，舍去；
②当$a≥2$时，$ab ≥ 2×2=4＞3$，与$ab ≤ 3$矛盾，故$a≥2$时不存在这样的正整数。
综上，存在三个正整数1、2、3，它们的和与积相等（$1+2+3=6$，$1×2×3=6$）。
