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12. 在一次测试中，小强语文和英语两科的平均成绩是76分，语文、英语和数学三科的平均成绩不低于80分。设小强的数学成绩为$x$分，则可列出的不等式为
$76 × 2 + x ≥ 80 × 3$
。答案
12. $76 × 2 + x ≥ 80 × 3$
13. (2025·江苏常州期末)如下是测量1颗玻璃球体积的过程：① 如图①，将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；② 如图②，将4颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③ 如图③，再将1颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样1颗玻璃球的体积在
40
$cm^{3}$以上、50
$cm^{3}$以下。答案
13. 40 50 解析: 由题意, 得 4 颗玻璃球的体积小于 $200 cm^{3}$, 5 颗玻璃球的体积大于 $200 cm^{3}$, 所以 1 颗玻璃球的体积在 $40 cm^{3}$ 以上, $50 cm^{3}$ 以下.
·易错警示·
要找准题中的不等关系.
·易错警示·
要找准题中的不等关系.
14. 新趋势 推导探究 你能比较$2024^{2025}$和$2025^{2024}$的大小吗？
为了解决这个问题，我们可先探索$n^{n + 1}$和$(n + 1)^{n}$之间的大小关系($n$为正整数)。为了探索其规律，可从$n = 1$，2，3，4，…这些简单的情形入手，从中观察、比较、猜想、归纳并得出结论。
(1)利用计算器比较下列各组中两个数的大小：(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
① $1^{2}\_\_\_\_\_\_2^{1}$；② $2^{3}\_\_\_\_\_\_3^{2}$；
③ $3^{4}\_\_\_\_\_\_4^{3}$；④ $5^{4}\_\_\_\_\_\_5^{4}$；
⑤ $5^{6}\_\_\_\_\_\_6^{5}$；
(2)试归纳出$n^{n + 1}$与$(n + 1)^{n}$之间的大小关系：
① 当$n = 1$或$n = 2$时，；
② 当$n≥ 3$时，；
(3)运用归纳的结论，试比较$2024^{2025}$和$2025^{2024}$的大小。
为了解决这个问题，我们可先探索$n^{n + 1}$和$(n + 1)^{n}$之间的大小关系($n$为正整数)。为了探索其规律，可从$n = 1$，2，3，4，…这些简单的情形入手，从中观察、比较、猜想、归纳并得出结论。
(1)利用计算器比较下列各组中两个数的大小：(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)
① $1^{2}\_\_\_\_\_\_2^{1}$；② $2^{3}\_\_\_\_\_\_3^{2}$；
③ $3^{4}\_\_\_\_\_\_4^{3}$；④ $5^{4}\_\_\_\_\_\_5^{4}$；
⑤ $5^{6}\_\_\_\_\_\_6^{5}$；
(2)试归纳出$n^{n + 1}$与$(n + 1)^{n}$之间的大小关系：
① 当$n = 1$或$n = 2$时，；
② 当$n≥ 3$时，；
(3)运用归纳的结论，试比较$2024^{2025}$和$2025^{2024}$的大小。
答案
14. (1) ① ＜ ② ＜ ③ ＞ ④ ＞ ⑤ ＞
(2) ① $n^{n + 1} ＜ (n + 1)^{n}$ ② $n^{n + 1} ＞ (n + 1)^{n}$
(3) $2024^{2025} ＞ 2025^{2024}$.
(2) ① $n^{n + 1} ＜ (n + 1)^{n}$ ② $n^{n + 1} ＞ (n + 1)^{n}$
(3) $2024^{2025} ＞ 2025^{2024}$.
15. 已知$a$g菜汤里含有$b$g盐($0 ＜ b ＜ a$)。若加热菜汤蒸发了$c$g水($0 ＜ c ＜ a$)，则菜汤变咸了。根据这一事实可以提炼出的一个不等式为(
A.$\frac{b}{a} ＞ \frac{b + c}{a + c}$
B.$\frac{b}{a} ＜ \frac{b}{a + c}$
C.$\frac{b}{a} ＜ \frac{b - c}{a - c}$
D.$\frac{b}{a} ＜ \frac{b}{a - c}$
D
)A.$\frac{b}{a} ＞ \frac{b + c}{a + c}$
B.$\frac{b}{a} ＜ \frac{b}{a + c}$
C.$\frac{b}{a} ＜ \frac{b - c}{a - c}$
D.$\frac{b}{a} ＜ \frac{b}{a - c}$
答案
15. D 解析: 因为 a g 菜汤里含有 b g 盐, 所以加热前盐的含量为 $ \frac{b}{a}$. 因为蒸发掉 c g 水后, 菜汤的质量变为 $(a - c)g$, 而盐的质量仍然为 b g, 所以加热后盐的含量为 $ \frac{b}{a - c}$. 因为菜汤变咸了, 所以加热前盐的含量小于加热后盐的含量, 即 $ \frac{b}{a} ＜ \frac{b}{a - c}$.
16. (2025·江苏淮安期末)燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在礼花弹燃放前转移到10m以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.02m/s，人离开的速度为4m/s，导火线的长为$x$m，则$x$满足的不等式为
$ \frac{x}{0.02} ＞ \frac{10}{4}$
。答案
16. $ \frac{x}{0.02} ＞ \frac{10}{4}$
17. 一般来说，在水中加入的糖越多，糖溶解后，糖水就越甜。将$a$kg白糖加水配成$b$kg糖水（$b ＞ a ＞ 0$），此时糖水的含糖量为$\frac{a}{b}$。若再加入$m$kg白糖（$m ＞ 0$），则糖水的含糖量变为$\frac{a + m}{b + m}$。显然，加糖后糖水的含糖量增大，糖水更甜。（糖全部溶于水中）
（1）请你根据这一生活常识提炼出一个不等式；
（2）利用上述结论比较$\frac{2022}{2023}$，$\frac{2023}{2024}$，$\frac{2024}{2025}$这三个数的大小。
（1）请你根据这一生活常识提炼出一个不等式；
（2）利用上述结论比较$\frac{2022}{2023}$，$\frac{2023}{2024}$，$\frac{2024}{2025}$这三个数的大小。
答案
17. (1) $ \frac{a}{b} ＜ \frac{a + m}{b + m}$.
(2) 因为 $ \frac{a}{b} ＜ \frac{a + m}{b + m}$, 所以 $ \frac{2022}{2023} ＜ \frac{2022 + 1}{2023 + 1} ＜ \frac{2022 + 1 + 1}{2023 + 1 + 1}$, 即 $ \frac{2022}{2023} ＜ \frac{2023}{2024} ＜ \frac{2024}{2025}$.
(2) 因为 $ \frac{a}{b} ＜ \frac{a + m}{b + m}$, 所以 $ \frac{2022}{2023} ＜ \frac{2022 + 1}{2023 + 1} ＜ \frac{2022 + 1 + 1}{2023 + 1 + 1}$, 即 $ \frac{2022}{2023} ＜ \frac{2023}{2024} ＜ \frac{2024}{2025}$.
