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1. 若关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}2x - ay = 6, \\ bx + 6y = - 12\end{cases}$ 有无数组解，则 $ a $，$ b $ 的值分别为 ( )
A.$ 3,4 $
B.$ 3,-4 $
C.$ -3,4 $
D.$ -3,-4 $
A.$ 3,4 $
B.$ 3,-4 $
C.$ -3,4 $
D.$ -3,-4 $
答案
1. B 解析：原方程组可化为$\{\begin{array}{l} -4x+2ay=-12,\\ bx+6y=-12.\end{array} $因为该方程组有无数组解，所以$b=-4$，$2a=6$，解得$a=3$。
2. 若关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}kx - y = 1, \\ 4x + my = 2\end{cases}$ 有无数组解，求代数式 $ k - m $ 的值.
答案
2. 原方程组可化为$\{\begin{array}{l} 2kx-2y=2,\\ 4x+my=2.\end{array} $因为该方程组有无数组解，所以$2k=4$，$m=-2$，解得$k=2$，所以$k-m=2-(-2)=4$。
3. 若关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}ax - y = 4, \\ x - 3y = 3\end{cases}$ 无解，则 $ a $ 的值为 ( )
A.$\frac{1}{3}$
B.$ 1 $
C.$ -1 $
D.$ 3 $
A.$\frac{1}{3}$
B.$ 1 $
C.$ -1 $
D.$ 3 $
答案
3. A 解析：$\{\begin{array}{l} ax-y=4①,\\ x-3y=3②.\end{array} $①$-$②$× a$，得$(3a-1)y=4-3a$。因为原方程组无解，所以$3a-1=0$且$4-3a≠ 0$，解得$a=\frac {1}{3}$。
4. （2025·江苏徐州期末）二元一次方程组有可能无解. 例如方程组 $\begin{cases}x + 2y = 1①, \\ 2x + 4y = 3②\end{cases}$ 无解，原因如下：将①$× 2$，得 $ 2x + 4y = 2 $，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解. 若关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}x + ay = b, \\ 2x + 3y = 4\end{cases}$ 无解，求 $ a,b $ 应满足的条件.
答案
4. $\{\begin{array}{l} x+ay=b①,\\ 2x+3y=4②.\end{array} $①$× 2-$②，得$(2a-3)y=2b-4$。因为原方程组无解，所以$2a-3=0$且$2b-4≠ 0$，解得$a=\frac {3}{2}$且$b≠ 2$。
5. 新素养 运算能力 若关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}ax + 2y = 7, \\ x - y = 1\end{cases}$ 有非负整数解，则满足条件的所有整数 $ a $ 的值之和为 ( )
A.$ -12 $
B.$ 7 $
C.$ 8 $
D.$ 13 $
A.$ -12 $
B.$ 7 $
C.$ 8 $
D.$ 13 $
答案
5. B 解析：解方程组$\{\begin{array}{l} ax+2y=7,\\ x-y=1,\end{array} $得$\{\begin{array}{l} x=\frac {9}{a+2},\\ y=\frac {7-a}{a+2}.\end{array} $因为原方程组有非负整数解，且$a$为整数，所以$a+2$可取$1$，$3$，$9$，且$a≤ 7$，所以$a$可取$-1$，$1$，$7$，所以满足条件的所有整数$a$的值之和为$-1+1+7=7$。
6. 已知 $ a $ 为正整数，且关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}ax + 2y = 10, \\ 3x - 2y = 0\end{cases}$ 有整数解，则 $ a^{2} =$ ______ .
答案
6. 4 解析：解方程组$\{\begin{array}{l} ax+2y=10,\\ 3x-2y=0,\end{array} $得$\{\begin{array}{l} x=\frac {10}{a+3},\\ y=\frac {15}{a+3}.\end{array} $因为该方程组有整数解，所以$a+3$可取$\pm 1$，$\pm 5$。因为$a$为正整数，所以$a+3=5$，解得$a=2$，所以$a^{2}=4$。
7. （2025·江苏连云港期末）若关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $\begin{cases}x - 2y = 0, \\ 2x + ay = 16\end{cases}$ 有正整数解，求正整数 $ a $ 的值.
答案
7. 解方程组$\{\begin{array}{l} x-2y=0,\\ 2x+ay=16,\end{array} $得$\{\begin{array}{l} x=\frac {32}{a+4},\\ y=\frac {16}{a+4}.\end{array} $因为原方程组有正整数解，且$a$为正整数，所以$a+4$可取$8$，$16$，所以正整数$a$的值为$4$或$12$。
8. （1）解方程组：$\begin{cases}3x + 4y = 16①, \\ 6x + 10y = 25②\end{cases}$；
（2）已知 $ x,y $ 满足方程组 $\begin{cases}x^{2} + xy + 3y^{2} = 45①, \\ 3x^{2} - xy + 9y^{2} = 151②.\end{cases}$
① 求 $ xy $ 的值；
② 求该方程组的所有整数解.
（2）已知 $ x,y $ 满足方程组 $\begin{cases}x^{2} + xy + 3y^{2} = 45①, \\ 3x^{2} - xy + 9y^{2} = 151②.\end{cases}$
① 求 $ xy $ 的值；
② 求该方程组的所有整数解.
答案
8. （1）将②变形，得$6x+8y+2y=25$，即$2(3x+4y)+2y=25$③。把①代入③，得$2× 16+2y=25$，解得$y=-\frac {7}{2}$。把$y=-\frac {7}{2}$代入①，得$3x+4× (-\frac {7}{2})=16$，解得$x=10$。故原方程组的解为$\{\begin{array}{l} x=10,\\ y=-\frac {7}{2}.\end{array} $
（2）①将①变形，得$x^{2}+3y^{2}=45-xy$③。将②变形，得$3(x^{2}+3y^{2})-xy=151$④。把③代入④，得$3(45-xy)-xy=151$，所以$xy=-4$。
②因为$x$，$y$是整数，且$xy=-4$，所以$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=-4\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=4\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-2\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=2\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=-1\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=-4,\\ y=1.\end{array} $因为$x^{2}+3y^{2}=45-(-4)=49$，所以$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=-4,\end{array} \{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=4\end{array} $符合题意。故该方程组的所有整数解为$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=-4,\end{array} \{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=4.\end{array} $
（2）①将①变形，得$x^{2}+3y^{2}=45-xy$③。将②变形，得$3(x^{2}+3y^{2})-xy=151$④。把③代入④，得$3(45-xy)-xy=151$，所以$xy=-4$。
②因为$x$，$y$是整数，且$xy=-4$，所以$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=-4\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=4\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=-2\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=-2,\\ y=2\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=4,\\ y=-1\end{array} $或$\{\begin{array}{l} x=-4,\\ y=1.\end{array} $因为$x^{2}+3y^{2}=45-(-4)=49$，所以$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=-4,\end{array} \{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=4\end{array} $符合题意。故该方程组的所有整数解为$\{\begin{array}{l} x=1,\\ y=-4,\end{array} \{\begin{array}{l} x=-1,\\ y=4.\end{array} $
