9. 「2025 山东济南期中，★☆」将点 $ P(-2,m) $ 先向下平移 $ 3 $ 个单位长度，再向左平移 $ 4 $ 个单位长度后得到点 $ Q(n,-1) $，则 $ n^m = $。

9. 答案 36
解析
∵将点P(-2,m)先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度后得到点Q(n,-1)，
∴n = -2 - 4 = -6，m - 3 = -1，
∴m = 2，
∴n^m = (-6)² = 36。

10. 「2025 山东青岛期中，★☆」将点 $ P(2m - 3,m - 2) $ 向下平移 $ 2 $ 个单位得到 $ P' $，且 $ P' $ 在 $ x $ 轴上，那么点 $ P $ 的坐标是。

10. 答案 (5,2)
解析 由题意，点P'的坐标为(2m - 3,m - 2 - 2)，即(2m - 3,m - 4)。
∵P'在x轴上，
∴m - 4 = 0，解得m = 4，
∴点P的坐标为(5,2)。

11. 「2025 广东江门新会期末，★☆」如图，在平面直角坐标系中，$ △ ABC $ 的三个顶点 $ A $，$ B $，$ C $ 的坐标分别为 $ (2,5) $，$ (-1,1) $，$ (4,2) $，将 $ △ ABC $ 向左平移 $ 3 $ 个单位长度，再向下平移 $ 4 $ 个单位长度得到 $ △ A'B'C' $。
(1) 画出平移后的 $ △ A'B'C' $，并写出 $ A' $，$ B' $，$ C' $ 的坐标。
(2) $ △ A'B'C' $ 内部一点 $ P' $ 的坐标为 $ (a,b) $，写出平移前点 $ P' $ 的对应点 $ P $ 的坐标。
(3) 请在 $ x $ 轴上找一点 $ G $，使得 $ △ A'C'G $ 的面积为 $ 8 $，求出满足条件的点 $ G $ 坐标。

11. 解析 (1)如图，△A'B'C'即为所求作。
由图可得A'(-1,1)，B'(-4,-3)，C'(1,-2)。

(2)由题意得，点P的坐标为(a + 3,b + 4)。
(3)如图，分别取格点M，N，设BC'交x轴于点Q，连接QN，BN，C'N，
∵S△BC'N = S△BQN + S△C'QN，
∴1/2×2×3 = 1/2×3×QM + 1/2×2×2，
∴QM = 2/3，
∴OQ = 1/3，
∴点Q的坐标为(-1/3,0)。
设点G坐标为(m,0)，
∵△A'C'G的面积为8，
∴1/2×|-1/3 - m|×1 + 1/2×|-1/3 - m|×2 = 8，
解得m = -17/3或5，
∴点G坐标为(-17/3,0)或(5,0)。

12. 「2025 四川泸州合江期末」如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $，$ B $ 的坐标分别为 $ (3,5) $，$ (3,0) $，将线段 $ AB $ 向下平移 $ 2 $ 个单位长度，再向左平移 $ 4 $ 个单位长度，得到线段 $ CD $，连接 $ AC $，$ BD $。
(1) 直接写出坐标：点 $ C $（ ），点 $ D $（ ）。
(2) $ M $，$ N $ 分别是线段 $ AB $，$ CD $ 上的动点，点 $ M $ 从点 $ A $ 出发向点 $ B $ 运动，速度为每秒 $ 1 $ 个单位长度，点 $ N $ 从点 $ D $ 出发向点 $ C $ 运动，速度为每秒 $ 0.5 $ 个单位长度，若两点同时出发，则多少秒时 $ MN // x $ 轴？
(3) 点 $ P $ 是直线 $ BD $ 上一个动点，连接 $ PC $，$ PA $，当点 $ P $ 在直线 $ BD $ 上运动时，请直接写出 $ ∠ CPA $ 与 $ ∠ PCD $，$ ∠ PAB $ 的数量关系。

12. 解析 (1)由题意得C(-1,3)，D(-1,-2)。
(2)设t秒时MN//x轴，
∴5 - t = 0.5t - 2，
解得t = 14/3，
∴14/3秒时，MN//x轴。
(3)①如图1，当点P在线段BD上时，∠CPA = ∠PCD + ∠PAB。

②如图2，当点P在BD的延长线上时，∠PAB = ∠PCD + ∠CPA。

③如图3，当点P在DB的延长线上时，∠PCD = ∠PAB + ∠CPA。