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一、选择题
1. 若$\sqrt{a^{2}} = - a$，则实数$a$的数轴上的对应点一定在(
A.原点左侧
B.原点右侧
C.原点或原点左侧
D.原点或原点右侧
1. 若$\sqrt{a^{2}} = - a$，则实数$a$的数轴上的对应点一定在(
C
)。A.原点左侧
B.原点右侧
C.原点或原点左侧
D.原点或原点右侧
答案
1. C
解析
$\because \sqrt{a^{2}} = |a|$，又$\sqrt{a^{2}} = - a$，$\therefore |a| = - a$。
$\because |a| ≥ 0$，$\therefore - a ≥ 0$，即$a ≤ 0$。
$\therefore$实数$a$在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧。
C
$\because |a| ≥ 0$，$\therefore - a ≥ 0$，即$a ≤ 0$。
$\therefore$实数$a$在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧。
C
2. 正整数$m$，$n$分别满足$\sqrt[3]{32} ＜ m ＜ \sqrt[3]{100}$，$\sqrt{2} ＜ n ＜ \sqrt{8}$，则$m^{n}$的值为(
A.9
B.16
C.25
D.64
B
)。A.9
B.16
C.25
D.64
答案
2. B
解析
因为$\sqrt[3]{32} ＜ m ＜ \sqrt[3]{100}$，且$3^3 = 27$，$4^3 = 64$，$5^3 = 125$，所以$4 ＜ \sqrt[3]{32} ＜ 5$，$4 ＜ \sqrt[3]{100} ＜ 5$不成立，应为$3^3=27 ＜ 32$，$4^3=64 ＞ 32$，$4^3=64 ＜ 100$，$5^3=125 ＞ 100$，故$4 ＜ m ＜ 5$，又因为$m$是正整数，所以$m = 4$；
因为$\sqrt{2} ＜ n ＜ \sqrt{8}$，$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$，且$n$是正整数，所以$n = 2$；
则$m^n = 4^2 = 16$。
B
因为$\sqrt{2} ＜ n ＜ \sqrt{8}$，$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$，且$n$是正整数，所以$n = 2$；
则$m^n = 4^2 = 16$。
B
3. 1，2，3，…，100 这 100 个自然数的算术平方根中，整数的个数为(
A.12 个
B.11 个
C.9 个
D.10 个
D
)。A.12 个
B.11 个
C.9 个
D.10 个
答案
3. D
解析
设自然数$ n $的算术平方根为整数，即$ \sqrt{n}=k $（$ k $为整数），则$ n=k^{2} $。
因为$ n $是1到100中的自然数，所以$ 1 ≤ k^{2} ≤ 100 $。
解得$ 1 ≤ k ≤ 10 $（$ k $为整数），则$ k $可取1，2，…，10，共10个值。
D
因为$ n $是1到100中的自然数，所以$ 1 ≤ k^{2} ≤ 100 $。
解得$ 1 ≤ k ≤ 10 $（$ k $为整数），则$ k $可取1，2，…，10，共10个值。
D
二、填空题
4. 使$\sqrt{12n}$是整数的最小正整数$n =$
4. 使$\sqrt{12n}$是整数的最小正整数$n =$
3
。答案
4. 3
5. 已知$a$，$b$是一个数的两个平方根，$c$，$d$是另一个非零数的两个平方根，则$a + b + \frac{c}{d} =$
-1
。答案
5. -1
解析
因为$a$，$b$是一个数的两个平方根，所以$a + b = 0$。
因为$c$，$d$是另一个非零数的两个平方根，所以$c = -d$，即$\frac{c}{d}=-1$。
则$a + b + \frac{c}{d}=0+(-1)=-1$。
$-1$
因为$c$，$d$是另一个非零数的两个平方根，所以$c = -d$，即$\frac{c}{d}=-1$。
则$a + b + \frac{c}{d}=0+(-1)=-1$。
$-1$
6. 当$x ≥ 5$时，$\sqrt{(5 - x)^{2}} =$
$ x - 5 $
；当$x ＜ - 4$时，$\sqrt{(x + 4)^{2}} =$$ -x - 4 $
。答案
6. $ x - 5 $ $ -x - 4 $
解析
当$x ≥ 5$时，$\sqrt{(5 - x)^{2}} = |5 - x| = x - 5$；当$x ＜ - 4$时，$\sqrt{(x + 4)^{2}} = |x + 4| = -x - 4$。
三、解答题
7. 求下列各式中的$x$：
(1) $9(x - 2)^{2} = 25$；
(2) $27(x + 1)^{3} = 64$。
7. 求下列各式中的$x$：
(1) $9(x - 2)^{2} = 25$；
(2) $27(x + 1)^{3} = 64$。
答案
7. (1) $ \dfrac{11}{3} $ 或 $ \dfrac{1}{3} $ (2) $ \dfrac{1}{3} $
解析
(1) $(x-2)^{2}=\dfrac{25}{9}$
$x-2=\pm\dfrac{5}{3}$
$x-2=\dfrac{5}{3}$或$x-2=-\dfrac{5}{3}$
$x=\dfrac{11}{3}$或$x=\dfrac{1}{3}$
(2) $(x+1)^{3}=\dfrac{64}{27}$
$x+1=\dfrac{4}{3}$
$x=\dfrac{1}{3}$
$x-2=\pm\dfrac{5}{3}$
$x-2=\dfrac{5}{3}$或$x-2=-\dfrac{5}{3}$
$x=\dfrac{11}{3}$或$x=\dfrac{1}{3}$
(2) $(x+1)^{3}=\dfrac{64}{27}$
$x+1=\dfrac{4}{3}$
$x=\dfrac{1}{3}$
8. 已知$a$，$b$，$c$在数轴上的位置如图所示。
答案
8. 0
9. 已知$a$的两个平方根是$2x + 3y = 2$的一组解。
求：(1) $a$的值；
(2) $a^{3}$的平方根。
求：(1) $a$的值；
(2) $a^{3}$的平方根。
答案
9. (1) $ a = 4 $ (2) $ \pm 8 $
解析
(1) 设$a$的两个平方根为$m$和$-m$，则$\begin{cases}x=m\\y=-m\end{cases}$是方程$2x + 3y = 2$的解，代入得$2m + 3(-m)=2$，解得$m=-2$，所以$a = m^{2}=(-2)^{2}=4$。
(2) $a^{3}=4^{3}=64$，$64$的平方根是$\pm\sqrt{64}=\pm8$。
(2) $a^{3}=4^{3}=64$，$64$的平方根是$\pm\sqrt{64}=\pm8$。
